怎样刷题效率更高

　　经常有人问我：学数学要不要刷题?怎么做题效率才能更高?

　　谈论任何事情都得有个前提，我写这篇文章的前提是：学数学是为了拿高分、进名校。所以，有两种人可以不要看这篇文章。第一种人是投胎技能满级，拥有一位神奇的爸爸，可以让自己一路没有升学压力的就读名校;第二种人是智商属性超高，任何东西都是看一眼就能熟练掌握。如果您觉得自己不是这两种人之一，咱们接着往下聊。

　　先回答第一个问题：刷题可以提高熟练度，让自己在时间极其紧张的考试中拿到高分，所以刷题很有必要。对我辈普通人来说，如果有人胆敢鼓吹既不要专门刷题训练计算能力，也不要做难题，只需要读一读科普书，看一看数学史，甚至在中学阶段就提前学习高等数学，那么这人不是蠢就是坏。碰见这类人，直接操起板砖拍丫的。

　　再回答第二个问题：刷题不能盲目刷，比较高效的方法是吃透一道题的来龙去脉，并且能举一反三。这是我今天重点要讲的内容，下面就以两类数学题为例，介绍一种高效的刷题方法。

　　案例一 硬币转动问题

　　在19年1月11日的文章中(点击链接进入)，我曾经详细讲解过一道非常经典的题目：

　　有两个相同大小的硬币甲和乙，硬币乙固定不动，硬币甲围着乙顺时针绕圈回到原位，全程无滑动的，问硬币甲自身转动了几圈?

　　这个问题的答案是2圈，我是先从硬币转过单个角度开始分析，然后扩展到硬币绕着正n边形转圈，最后扩展到绕着另外一个硬币转圈。

　　如果您详细阅读了那一篇文章，把上面这道题吃透了，就可以试着拓展到下面这道题，题目来自“12345678”网友，感谢他提供的题目。

　　如图：15枚相同的硬币排成一个长方形，另有一个同样大小的硬币沿着外圈滚动一周，回到起始位置。问：硬币自身转动了多少圈?

　　解题过程：如下图，把转动的硬币记作硬币A，把组成长方体的15枚硬币可以分为三类，第一类是长方形4角处的4枚硬币，第二类是四条边上但不含4个角的8枚硬币，第三类是最中间的4枚硬币。对于第一类硬币，A在其中每一枚硬币上都滚动360-60-60-90=150°;对第二类硬币，A在其中每一枚硬币上都滚动60°;对第三类硬币，与滚动无关。因此硬币A沿着外圈滚动一周时，滚动过的角度是150*4+60*8=1080°=3*360°，即硬币A相当于绕着某一硬币3圈。根据上面的例题，每绕1圈，硬币A自身转动2圈，所以硬币自身转动了6圈。

　　通过这两道题目，相信您一定能熟练掌握硬币绕圆环外圈转动的问题，类似的，还可以推广到硬币绕圆形杯子内部转动。这样刷题，只需要几道典型题目，就可以彻底掌握这类问题。

　　案例二 m/n的最值问题

　　在前天的文章中(点击链接进入)，我讲了下面一个题目：

　　已知a/b和c/d都是正的最简分数，且bc-ad=1。m和n是满足a/b < m/n< c/d的两个自然数。求证：m的最小值是a+c，n的最小值是b+d。

　　这个问题的证明是通过求解关于m和n方程组bm-an=p,cn-dm=q,最后得到m和n的最小值。

　　观察原题不难发现，总有一些m满足条件时，n的取值wei/yi。自然想到这样的m最大值是多少，这就是前天的思考题，可以抽象为如下题目：

　　已知a/b和c/d都是正的最简分数，且bc-ad=1。m和n是满足a/b < m/n< c/d的两个自然数。对m的有些取值，只能找到wei/yi的n使上述大小关系成立，把这样的m叫做幸运数。求证：幸运数的最大值是2ac。

　　解题过程：只需先让不等式最左和最右的分子相等，由于a/b=ac/bc,c/d=ac/ad，注意到bc-ad=1,故m=ac时没有满足条件的n，接着让m=2ac,此时n的取值wei/yi且是2bc-1=bc+ad。如果m再大一点，n的取值就不再wei/yi。所以幸运数的最大取值是2ac。

　　这道题还可以继续推广为：

　　已知a/b和c/d都是正的最简分数，且bc-ad=1。m和n是满足a/b < m/n< c/d的两个自然数。对n的有些取值，只能找到wei/yi的m使上述大小关系成立，把这样的m叫做快乐数。求证：快乐数的最大值是2bd。

　　证明过程类似于上面的题目，在此不再赘述。

　　如果能吃透上面的3道题，这类题目想必不会再有问题。这样的刷题方式，你能说它不香?

　　最后，给出一道思考题。

　　思考题(4星难度):

　　正实数x,y的和是1，求证：1/(x2021+1)+1/(y2021+1)>1.5。

　　欢迎把您的答案写在留言区，如果没有人给出正确解答，明天上午我将在公众号推送昨天和今天这道题的详细解答。

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