做题要善于反思

　　学生为什么会陷于题海而无法自拔?原因之一是不善于回顾和反思，往往是做完一道题就只会这一道题。本文通过几个和圆有关的解析几何问题来介绍反思的方法。众所周知，在解析几何中，圆的方程比较简单，而且有着鲜明的特点：

　　是二次方程;

　　没有 项;

　　和 项系数相同。

　　特别值得注意的是，无论坐标轴如何旋转和移动，圆方程的以上特点都不变，这是圆这种图形优于椭圆等圆锥曲线的地方。我在写完反演变换的证明(以下简称《反》文)一文后又思考了几个问题，觉得用解析几何的方法来证明比较方便。(《反》文里先用复数方法，最后才转换为解析几何里的坐标形式)

　　对给定两点的张角为直角的点的集合为圆(除去两个已知点)。

　　阿波罗尼奥斯圆问题——给定两个点，求到两个点距离等于定值的点的集合;

　　求根轴——设已知圆的圆心为 ，半径为 ，某点 对该圆的幂是 。现在有两个已知圆，求对这两个圆的幂相等的点的集合(称为“根轴”)。

　　这几个问题用传统的几何证明方法颇有一定难度(不要小看第一题)，但如果用解析几何方法甚至无须写出过程，结合圆方程的特点，在脑子里想一下就能得到结论了。

　　以本文提到的这几个问题为例，除了前面提到的圆的方程特点以外，可以回顾和反思的内容还包括：

　　如何将已知条件翻译为方程，特别是要让方程尽量简化。比如可以将其中一个圆设成单位圆，或者把其中一个已知点设为原点，另外一个点设在坐标轴上。

　　要善于利用已知条件。以第一题为例，设已知点分别为原点 和坐标轴上一点 ，动点为 ，若只考虑 和 垂直的斜率关系，恐难奏效，而如果考虑到 构成直角三角形，利用勾股定理则迎刃而解。

　　对解的讨论，包括解的几何意义，以及是否有退化情况。后者包括什么时候无解、有无穷多解，以及什么时候圆变成直线等等。以第三题为例，如果两个已知圆同心(但半径不同)，则无解。

　　如果有学生能对照以上问题在解析几何和传统初等几何解法的区别，那就更好了。以第一题为例，如果要用传统的初等几何方法，除了证明圆周上的点对已知点张角是直角，还要证明其它点对已知点的张角不是直角，有点麻烦。

　　自然，前面提到的这些反思内容对初学者来说是比较困难的，特别是初学者在做完一道题后可能很难联想到相关问题，这时老师和参考书的作用就体现出来了：你是让学生一道题接着一道题地做下去，还是说在每道题后面都附有详细的讲解，效果大不一样。有的学生虽然做了很多题，却都是差不多的同类问题，既没有反思，也没有深化，只有重复重复再重复，有什么意义呢?而我初中虽然是一所很普通的学校，但当时的数学老师却说过一句“至理名言”：每道题都有它的命题意图，你必须实现这个意图才算没白做这道题。我不知道现在的数学老师是不是也对学生这样说。

　　还有人可能会说，题目那么多，都这样反思哪有时间?这就需要老师精选题目，所谓“减负增效”是也。

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