2015年“华约”自主招生模拟试题
2015华约数学模拟试题（满分150分）
使向量c?a?(tan2?3)b,d??ma?btan?,且c?d.
(I)求函数m?f(?)的关系式;(II)令t?tan?,求函数m?g(t)的极值.
24.已知双曲线的两个焦点分别为F1,F2,其中F1又是抛物线y?4x的焦点,点A(?1,2),
B(3,2)在双曲线上.
(I)求点F2的轨迹方程;(II)是否存在直线y?x?m与点F2的轨迹有且只有两个公共点?若存在,求实数m的值,若不存在,请说明理由.
5.已知a，b均为正整数，且a?b,sin??
对一切n?N*，An均为整数
2ab?(其中0???),An?(a2?b2)n?sinn?,求证：222a?b
参考答案
一、选择题
22221.由tan??2,得sin??2cos?,有sin??4cos?,即1?cos??4cos?.则cos??212222,原式=16cos??6cos??5cos??5cos??1.5
2.设x?a?bi,a,b?R,代入原方程整理得(2a2?2b2?5a?6?b)?(4ab?a?5b)i?0
3?a??2a2?2b2?5a?6?b?0?a?1?33?2有?,解得?或?,所以x?1?i或x??i.22?b?1?b??3?4ab?a?5b?0
??2
3.直接求x的个位数字很困难，需将与x相关数联系，转化成研究其相关数.【解】令y?(15?220)19?(15?220)82,则x?y?[(15?220)19?(15?220)82]?[(15?220)19?(15?220)82]，由二项式定理知，对任意正整数n.
2(15?220)n?(15?220)n?2(15n?Cn?15n?2?220??)为整数，且个
位数字为零.
因此，x?y是个位数字为零的整数.再对y估值，因为0?15?220?5
15?220?58819?0.2，且(15?220)?(15?220)，25
所以0?y?2(15?220)19?2?0.219?0.4.故x的个位数字为9.
【评述】转化的思想很重要，当研究的问题遇到困难时，将其转化为可研究的问题.
4.解：被7除余2的数可写为7k?2.由100≤7k?2≤600.知14≤k≤85.
57n?2n?2?8n?.77
即n?2应为7的倍数.设n?7m?2代入，得k?57m?16.∴14?57m?16?85.∴m=0,1.于是所求的个数为70．
x?2?0y?2?(?1)5.设点P(x0,y0),M(x,y),有x?0,y?0,得x0?3x,y0?3y?233又若某个k使7k?2能被57整除，则可设7k?2=57n.即k?
而y0?4y0?4x0?0,于是得点M的轨迹方程是9y?12x?4?0.22
二、解答题
1.解：A?x?1?x?3，B?x?x?a??x?3a??0．????
??
当a?0时，B??x3a?x?a?0?，由A当a?0时，B?x0?a?x?3a，由AB??得0?a?3；B??得a??1；
2当a?0时，B?xx?0??，与A??B??不符．
综上所述，a???1,0??0,3?
2.证明：假设该校共有m个班级，他们的建议分别组成集合A1,A2,?,Am。这些集合中没有两个相同（因为没有两个班级提出全部相同的建议），而任何两个集合都有相同的元素，因此任何一个集合都不是另外一个集合的补集。这样在A1,A2,?,Am中至多有A（所有P条建议所组成的集合）的1?2P?2P?1个子集，所以m?2P?1.2
3.解:(I)由c?
d,a?b?
211?0,得c?d?[a?(tan2??3)b]?[?ma?btan?]2223=?ma?(tan3??3tan?)b?0,即ma?(tan??3tan?)b,得21??(tan3??3tan?)(????).422
13(II)由tan??t,得m?g(t)?(t?3t),t?R4
32'''求导得m?g(t)?(t?1),令g(t)?0,得t1??1,t2?14m?
当t?(??,?1),g'(t)?0,g(t)为增函数;当t?(?1,1)时,g'(t)?0,g(t)为减函数;当t?(1,??)时,g(t)?0,g(t)为增函数.
所以当t??1,即???
值?'?4时,m?g(t)有极大值1?;当t?1,即??时,m?g(t)有极小241.2
4
．解:(I)F1(1,0),AF1?BF2?设F2(x,y)则
AF1?AF2?BF1?BF2?2a?0,去掉绝对值号有两种情况,分别得F2的轨迹
(x?1)2(y?2)2
??1(y?0,y?4)方程为x?1和84
(x?1)2(y?2)2
??1(II)直线l1:x?1,l2:y?x?m,D(1,4),椭圆Q:84
①若l2过点F1或D,由F1,D两点既在直线l1上,又在椭圆Q上,但不在F2的轨迹上,知l2与F2的轨迹只有一个公共点,不合题意.
②若l2不过F1,D两点(m??1,m?3).则l2与l1必有一个公共点E,且点E不在椭圆Q上,所以要使l2与F2的轨迹有且只有两个公共点,必须使l2与Q有且只有一个公共点,把y?x?m代入椭圆的方程并整理得3x2?(10?4m)x?2m2?8m?1?0
由??0,
得m?1?5.【思路分析】由sinn?联想到复数棣莫佛定理，复数需要cos?，然后分析An与复数的关系.2ab?a2?b2
2【证明】因为sin??2,且0???,a?b,所以cos???sin??2.222a?ba?b
显然sinn?为(cos??isin?)n的虚部，由于(cos??isin?)n22a?b2ab11n222n?(?i)?(a?b?2abi)?(a?bi).222222n22na?ba?b(a?b)(a?b)
所以(a2?b2)n(cosn??isinn?)?(a?bi)2n.从而An?(a2?b2)nsinn?为(a?bi)2n的虚部.因为a,b为整数，根据二项式定理，(a?bi)2n的虚部当然也为整数，所以对一切n?N*，An为整数.
【评述】把An为与复数(cos??isin?)联系在一起是本题的关键n
参考答案
一、选择题
22221.由tan??2,得sin??2cos?,有sin??4cos?,即1?cos??4cos?.则cos??212222,原式=16cos??6cos??5cos??5cos??1.5
2.设x?a?bi,a,b?R,代入原方程整理得(2a2?2b2?5a?6?b)?(4ab?a?5b)i?0
3?a??2a2?2b2?5a?6?b?0?a?1?33?2有?,解得?或?,所以x?1?i或x??i.22?b?1?b??3?4ab?a?5b?0
??2
3.直接求x的个位数字很困难，需将与x相关数联系，转化成研究其相关数.【解】令y?(15?220)19?(15?220)82,则x?y?[(15?220)19?(15?220)82]?[(15?220)19?(15?220)82]，由二项式定理知，对任意正整数n.
2(15?220)n?(15?220)n?2(15n?Cn?15n?2?220??)为整数，且个
位数字为零.
因此，x?y是个位数字为零的整数.再对y估值，因为0?15?220?5
15?220?58819?0.2，且(15?220)?(15?220)，25
所以0?y?2(15?220)19?2?0.219?0.4.故x的个位数字为9.
【评述】转化的思想很重要，当研究的问题遇到困难时，将其转化为可研究的问题.
4.解：被7除余2的数可写为7k?2.由100≤7k?2≤600.知14≤k≤85.
57n?2n?2?8n?.77
即n?2应为7的倍数.设n?7m?2代入，得k?57m?16.∴14?57m?16?85.∴m=0,1.于是所求的个数为70．
x?2?0y?2?(?1)5.设点P(x0,y0),M(x,y),有x?0,y?0,得x0?3x,y0?3y?233又若某个k使7k?2能被57整除，则可设7k?2=57n.即k?
而y0?4y0?4x0?0,于是得点M的轨迹方程是9y?12x?4?0.22
二、解答题
1.解：A?x?1?x?3，B?x?x?a??x?3a??0．????
??
当a?0时，B??x3a?x?a?0?，由A当a?0时，B?x0?a?x?3a，由AB??得0?a?3；B??得a??1；
2当a?0时，B?xx?0??，与A??B??不符．
综上所述，a???1,0??0,3?
2.证明：假设该校共有m个班级，他们的建议分别组成集合A1,A2,?,Am。这些集合中没有两个相同（因为没有两个班级提出全部相同的建议），而任何两个集合都有相同的元素，因此任何一个集合都不是另外一个集合的补集。这样在A1,A2,?,Am中至多有A（所有P条建议所组成的集合）的1?2P?2P?1个子集，所以m?2P?1.2
3.解:(I)由c?
d,a?b?
211?0,得c?d?[a?(tan2??3)b]?[?ma?btan?]2223=?ma?(tan3??3tan?)b?0,即ma?(tan??3tan?)b,得21??(tan3??3tan?)(????).422
13(II)由tan??t,得m?g(t)?(t?3t),t?R4
32'''求导得m?g(t)?(t?1),令g(t)?0,得t1??1,t2?14m?
当t?(??,?1),g'(t)?0,g(t)为增函数;当t?(?1,1)时,g'(t)?0,g(t)为减函数;当t?(1,??)时,g(t)?0,g(t)为增函数.
所以当t??1,即???
值?'?4时,m?g(t)有极大值1?;当t?1,即??时,m?g(t)有极小241.2
4
．解:(I)F1(1,0),AF1?BF2?设F2(x,y)则
AF1?AF2?BF1?BF2?2a?0,去掉绝对值号有两种情况,分别得F2的轨迹
(x?1)2(y?2)2
??1(y?0,y?4)方程为x?1和84
(x?1)2(y?2)2
??1(II)直线l1:x?1,l2:y?x?m,D(1,4),椭圆Q:84
①若l2过点F1或D,由F1,D两点既在直线l1上,又在椭圆Q上,但不在F2的轨迹上,知l2与F2的轨迹只有一个公共点,不合题意.
②若l2不过F1,D两点(m??1,m?3).则l2与l1必有一个公共点E,且点E不在椭圆Q上,所以要使l2与F2的轨迹有且只有两个公共点,必须使l2与Q有且只有一个公共点,把y?x?m代入椭圆的方程并整理得3x2?(10?4m)x?2m2?8m?1?0
由??0,
得m?1?5.【思路分析】由sinn?联想到复数棣莫佛定理，复数需要cos?，然后分析An与复数的关系.2ab?a2?b2
2【证明】因为sin??2,且0???,a?b,所以cos???sin??2.222a?ba?b
显然sinn?为(cos??isin?)n的虚部，由于(cos??isin?)n22a?b2ab11n222n?(?i)?(a?b?2abi)?(a?bi).222222n22na?ba?b(a?b)(a?b)
所以(a2?b2)n(cosn??isinn?)?(a?bi)2n.从而An?(a2?b2)nsinn?为(a?bi)2n的虚部.因为a,b为整数，根据二项式定理，(a?bi)2n的虚部当然也为整数，所以对一切n?N*，An为整数.
【评述】把An为与复数(cos??isin?)联系在一起是本题的关键n
2当a?0时，B?xx?0??，与A??B??不符．
综上所述，a???1,0??0,3?
2.证明：假设该校共有m个班级，他们的建议分别组成集合A1,A2,?,Am。这些集合中没有两个相同（因为没有两个班级提出全部相同的建议），而任何两个集合都有相同的元素，因此任何一个集合都不是另外一个集合的补集。这样在A1,A2,?,Am中至多有A（所有P条建议所组成的集合）的1?2P?2P?1个子集，所以m?2P?1.2
3.解:(I)由c?
d,a?b?
211?0,得c?d?[a?(tan2??3)b]?[?ma?btan?]2223=?ma?(tan3??3tan?)b?0,即ma?(tan??3tan?)b,得21??(tan3??3tan?)(????).422
13(II)由tan??t,得m?g(t)?(t?3t),t?R4
32'''求导得m?g(t)?(t?1),令g(t)?0,得t1??1,t2?14m?
当t?(??,?1),g'(t)?0,g(t)为增函数;当t?(?1,1)时,g'(t)?0,g(t)为减函数;当t?(1,??)时,g(t)?0,g(t)为增函数.
所以当t??1,即???
值?'?4时,m?g(t)有极大值1?;当t?1,即??时,m?g(t)有极小241.2
4
．解:(I)F1(1,0),AF1?BF2?设F2(x,y)则
AF1?AF2?BF1?BF2?2a?0,去掉绝对值号有两种情况,分别得F2的轨迹
(x?1)2(y?2)2
??1(y?0,y?4)方程为x?1和84
(x?1)2(y?2)2
??1(II)直线l1:x?1,l2:y?x?m,D(1,4),椭圆Q:84
①若l2过点F1或D,由F1,D两点既在直线l1上,又在椭圆Q上,但不在F2的轨迹上,知l2与F2的轨迹只有一个公共点,不合题意.
②若l2不过F1,D两点(m??1,m?3).则l2与l1必有一个公共点E,且点E不在椭圆Q上,所以要使l2与F2的轨迹有且只有两个公共点,必须使l2与Q有且只有一个公共点,把y?x?m代入椭圆的方程并整理得3x2?(10?4m)x?2m2?8m?1?0
由??0,
得m?1?5.【思路分析】由sinn?联想到复数棣莫佛定理，复数需要cos?，然后分析An与复数的关系.2ab?a2?b2
2【证明】因为sin??2,且0???,a?b,所以cos???sin??2.222a?ba?b
显然sinn?为(cos??isin?)n的虚部，由于(cos??isin?)n22a?b2ab11n222n?(?i)?(a?b?2abi)?(a?bi).222222n22na?ba?b(a?b)(a?b)
所以(a2?b2)n(cosn??isinn?)?(a?bi)2n.从而An?(a2?b2)nsinn?为(a?bi)2n的虚部.因为a,b为整数，根据二项式定理，(a?bi)2n的虚部当然也为整数，所以对一切n?N*，An为整数.
【评述】把An为与复数(cos??isin?)联系在一起是本题的关键n
②若l2不过F1,D两点(m??1,m?3).则l2与l1必有一个公共点E,且点E不在椭圆Q上,所以要使l2与F2的轨迹有且只有两个公共点,必须使l2与Q有且只有一个公共点,把y?x?m代入椭圆的方程并整理得3x2?(10?4m)x?2m2?8m?1?0
由??0,
得m?1?5.【思路分析】由sinn?联想到复数棣莫佛定理，复数需要cos?，然后分析An与复数的关系.2ab?a2?b2
2【证明】因为sin??2,且0???,a?b,所以cos???sin??2.222a?ba?b
显然sinn?为(cos??isin?)n的虚部，由于(cos??isin?)n22a?b2ab11n222n?(?i)?(a?b?2abi)?(a?bi).222222n22na?ba?b(a?b)(a?b)
所以(a2?b2)n(cosn??isinn?)?(a?bi)2n.从而An?(a2?b2)nsinn?为(a?bi)2n的虚部.因为a,b为整数，根据二项式定理，(a?bi)2n的虚部当然也为整数，所以对一切n?N*，An为整数.
【评述】把An为与复数(cos??isin?)联系在一起是本题的关键n
2015华约数学模拟试题（满分150分）
使向量c?a?(tan2?3)b,d??ma?btan?,且c?d.
(I)求函数m?f(?)的关系式;(II)令t?tan?,求函数m?g(t)的极值.
24.已知双曲线的两个焦点分别为F1,F2,其中F1又是抛物线y?4x的焦点,点A(?1,2),
B(3,2)在双曲线上.
(I)求点F2的轨迹方程;(II)是否存在直线y?x?m与点F2的轨迹有且只有两个公共点?若存在,求实数m的值,若不存在,请说明理由.
5.已知a，b均为正整数，且a?b,sin??
对一切n?N*，An均为整数
2ab?(其中0???),An?(a2?b2)n?sinn?,求证：222a?b
参考答案
一、选择题
22221.由tan??2,得sin??2cos?,有sin??4cos?,即1?cos??4cos?.则cos??212222,原式=16cos??6cos??5cos??5cos??1.5
2.设x?a?bi,a,b?R,代入原方程整理得(2a2?2b2?5a?6?b)?(4ab?a?5b)i?0
3?a??2a2?2b2?5a?6?b?0?a?1?33?2有?,解得?或?,所以x?1?i或x??i.22?b?1?b??3?4ab?a?5b?0
??2
3.直接求x的个位数字很困难，需将与x相关数联系，转化成研究其相关数.【解】令y?(15?220)19?(15?220)82,则x?y?[(15?220)19?(15?220)82]?[(15?220)19?(15?220)82]，由二项式定理知，对任意正整数n.
2(15?220)n?(15?220)n?2(15n?Cn?15n?2?220??)为整数，且个
位数字为零.
因此，x?y是个位数字为零的整数.再对y估值，因为0?15?220?5
15?220?58819?0.2，且(15?220)?(15?220)，25
所以0?y?2(15?220)19?2?0.219?0.4.故x的个位数字为9.
【评述】转化的思想很重要，当研究的问题遇到困难时，将其转化为可研究的问题.
4.解：被7除余2的数可写为7k?2.由100≤7k?2≤600.知14≤k≤85.
57n?2n?2?8n?.77
即n?2应为7的倍数.设n?7m?2代入，得k?57m?16.∴14?57m?16?85.∴m=0,1.于是所求的个数为70．
x?2?0y?2?(?1)5.设点P(x0,y0),M(x,y),有x?0,y?0,得x0?3x,y0?3y?233又若某个k使7k?2能被57整除，则可设7k?2=57n.即k?
而y0?4y0?4x0?0,于是得点M的轨迹方程是9y?12x?4?0.22
二、解答题
1.解：A?x?1?x?3，B?x?x?a??x?3a??0．????
??
当a?0时，B??x3a?x?a?0?，由A当a?0时，B?x0?a?x?3a，由AB??得0?a?3；B??得a??1；
2当a?0时，B?xx?0??，与A??B??不符．
综上所述，a???1,0??0,3?
2.证明：假设该校共有m个班级，他们的建议分别组成集合A1,A2,?,Am。这些集合中没有两个相同（因为没有两个班级提出全部相同的建议），而任何两个集合都有相同的元素，因此任何一个集合都不是另外一个集合的补集。这样在A1,A2,?,Am中至多有A（所有P条建议所组成的集合）的1?2P?2P?1个子集，所以m?2P?1.2
3.解:(I)由c?
d,a?b?
211?0,得c?d?[a?(tan2??3)b]?[?ma?btan?]2223=?ma?(tan3??3tan?)b?0,即ma?(tan??3tan?)b,得21??(tan3??3tan?)(????).422
13(II)由tan??t,得m?g(t)?(t?3t),t?R4
32'''求导得m?g(t)?(t?1),令g(t)?0,得t1??1,t2?14m?
当t?(??,?1),g'(t)?0,g(t)为增函数;当t?(?1,1)时,g'(t)?0,g(t)为减函数;当t?(1,??)时,g(t)?0,g(t)为增函数.
所以当t??1,即???
值?'?4时,m?g(t)有极大值1?;当t?1,即??时,m?g(t)有极小241.2
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．解:(I)F1(1,0),AF1?BF2?设F2(x,y)则
AF1?AF2?BF1?BF2?2a?0,去掉绝对值号有两种情况,分别得F2的轨迹
(x?1)2(y?2)2
??1(y?0,y?4)方程为x?1和84
(x?1)2(y?2)2
??1(II)直线l1:x?1,l2:y?x?m,D(1,4),椭圆Q:84
①若l2过点F1或D,由F1,D两点既在直线l1上,又在椭圆Q上,但不在F2的轨迹上,知l2与F2的轨迹只有一个公共点,不合题意.
②若l2不过F1,D两点(m??1,m?3).则l2与l1必有一个公共点E,且点E不在椭圆Q上,所以要使l2与F2的轨迹有且只有两个公共点,必须使l2与Q有且只有一个公共点,把y?x?m代入椭圆的方程并整理得3x2?(10?4m)x?2m2?8m?1?0
由??0,
得m?1?5.【思路分析】由sinn?联想到复数棣莫佛定理，复数需要cos?，然后分析An与复数的关系.2ab?a2?b2
2【证明】因为sin??2,且0???,a?b,所以cos???sin??2.222a?ba?b
显然sinn?为(cos??isin?)n的虚部，由于(cos??isin?)n22a?b2ab11n222n?(?i)?(a?b?2abi)?(a?bi).222222n22na?ba?b(a?b)(a?b)
所以(a2?b2)n(cosn??isinn?)?(a?bi)2n.从而An?(a2?b2)nsinn?为(a?bi)2n的虚部.因为a,b为整数，根据二项式定理，(a?bi)2n的虚部当然也为整数，所以对一切n?N*，An为整数.
【评述】把An为与复数(cos??isin?)联系在一起是本题的关键n
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