2014北约自主招生数学试题及详解(含文、理)

今年北约自招笔试已落下帷幕，从试题的整体难度来看，它不像我们平时觉得的有竞赛的难度，与往年相比难度也是大有降低，具体体现在试题中的前六道，属于高考基本题型，只要准备过自招考试的基本能拿满分，但也要熟悉反三角函数的处理以及无理性的证明思路.

有区分度的点在最后三道，最后一题属于不等式的延伸内容，北约的考试尤其是解答题从来都不是基于课内知识点的反复强调和训练，往往来源于一些很基本的甚至是近似于数学常识的知识，比如去年考试中“任意三个数的和都是质数”的理解，和今年证明是无理数这样的问题，都属于不强调复杂的计算，只求看清楚问题的本质的处理手法。去年和今年也都考察了对数列的理解，去年考察奇偶项和的理解，今年考察对数项形式的分析，所以北约的数学试题做起来如果很繁琐，说明往往已经偏离了命题人的基本想法。下面附上试题及解析，供考完的对照以及明年参加北约考试的孩子参考。希望对同学们有所帮助.

2014北约理科数学试题

1、圆心角为?的扇形面积为6?,求它围成圆锥的表面积.3

1【解析】S扇??R2,?R?6,l??R?2?,从而圆锥底面周长为2

2??2?r,?S底??r2??,S?6????7?.

2、将10个人分成3组，一组4人，两组各3人，求共有几种分法.

C4?C63?C33【解析】平均分堆问题.10?2100.2!

?a?2b?f?a??2f?b?,f?1??1,f?4??7,求f?2014?.3、f???3?3?

【解析】观察等式可知，函数显然为线性一次函数，可设f?x??kx?m,f?1??1,f?4??7代

入求得k?2,m??1,从而f?2014??4027.

4、f?x??lg?x2?2ax?a?的值域为R,求a的取值范围.

【解析】值域问题.??4a2?4a?0,?a?1或a?0.

5、已知x?y??1,且x,y都为负实数，求xy?1的取值范围.xy

1171【解析】均值不等式，对勾函数性质.1???x???

?y???0?xy?,从而xy??.xy44

6、f?x??arctan

2?2x?11?

?C在??,?上为奇函数，求C的值.1?4x?44?

【解析】f?0??0,?C??arctan2.下面证明：

f?x??f??x??arctan

2?2x2?2x?4?

?arctan?2C?arctan????2arctan2?0.1?4x1?4x?3?

7、求证：tan3??Q.

【解析】反证法.假设tan3??Q,则tan6??Q,?tan12??Q,?tan24??Q,从而tan30??Q,矛

盾.?tan3??Q.

8、已知实系数二次函数f?x?与g?x?,f?x??g?x?和3f?x??g?x??0有两重根，f?x?有两相异实根，求证：g?x?没有实根.

【解析】设f?x??ax2?bx?c,g?x??dx2?ex?f,

则由f?x??g?x?，可得

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716

M??ai?aj?ak|1?i?j?k?13?,问：9、a1a2......a13是等差数列，0,,是否可以同时在M

23

中，并证明你的结论.

【解析】数列中的项.分析M中项的构成，若按照从小到大的顺序排列，最小的项为

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10、xi?0?i?1,2,...n?,

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【解析】不等式；柯西不等式或AM?GM平均不等式.法一：AM?GM不等式.

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2014北约文科数学试题

1、圆心角为

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的扇形面积为6?,求它围成圆锥的表面积.3

1

【解析】S扇??R2,?R?6,l??R?2?,从而圆锥底面周长为

2

2??2?r,?S底??r2??,S?6????7?.

2、将10个人分成3组，一组4人，两组各3人，求共有几种分法.

C4?C63?C33

【解析】平均分堆问题.10?2100.

2!

?a?2b?f?a??2f?b?,f?1??1,f?4??7,求f?2014?.3、f???

3?3?

【解析】观察等式可知，函数显然为线性一次函数，可设f?x??kx?m,f?1??1,f?4??7代

入求得k?2,m??1,从而f?2014??4027.

4、f?x??lg?x2?2ax?a?的值域为R,求a的取值范围.【解析】值域问题.??4a2?4a?0,?a?1或a?0.

5、已知x?y??1,且x,y都为负实数，求xy?

1

的取值范围.xy

1171

【解析】均值不等式，对勾函数性质.1???x???

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6、f?x??arctan

2?2x?11?

?C在??,?上为奇函数，求C的值.1?4x?44?

【解析】f?0??0,?C??arctan2.下面证明：

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2?2x2?2x?4?

?arctan?2C?arctan????2arctan2?0.1?4x1?4x?3?

7、等比数列?4n?1??1?n?200?,?6m?3??1?m?200?的公共项之和.【解析】此题考察数的同余问题；设公共项为a，a?1mod(4),a?3mod(6).

易得a最小的数为9.4和6的最小公倍数为12,则a?9?12k,k?N.

9?12k?4?200?1,?k?66.?公共项之和为S?

8、梯形的对角线长分别为5和7，高是3,求梯形的面积.【解析】如图，梯形面积为S?

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67?9?801?

2

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11

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9、求证：tan3??Q.

【解析】反证法.假设tan3??Q,则tan6??Q,?tan12??Q,?tan24??Q,从而tan30??Q,矛

盾.?tan3??Q.

10、已知实系数二次函数f?x?与g?x?,f?x??g?x?和3f?x??g?x??0有两重根，f?x?有两相异实根，求证：g?x?没有实根.

【解析】设f?x??ax2?bx?c,g?x??dx2?ex?f,

则由f?x??g?x?，可得

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化简得3b2?e2?12ac?4df,即e2?4df?3?4ac?b2?又b2?4ac?0.

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2014北约文科数学试题

1、圆心角为

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的扇形面积为6?,求它围成圆锥的表面积.3

1

【解析】S扇??R2,?R?6,l??R?2?,从而圆锥底面周长为

2

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2、将10个人分成3组，一组4人，两组各3人，求共有几种分法.

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【解析】平均分堆问题.10?2100.

2!

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【解析】观察等式可知，函数显然为线性一次函数，可设f?x??kx?m,f?1??1,f?4??7代

入求得k?2,m??1,从而f?2014??4027.

4、f?x??lg?x2?2ax?a?的值域为R,求a的取值范围.【解析】值域问题.??4a2?4a?0,?a?1或a?0.

5、已知x?y??1,且x,y都为负实数，求xy?

1

的取值范围.xy

1171

【解析】均值不等式，对勾函数性质.1???x???

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6、f?x??arctan

2?2x?11?

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【解析】f?0??0,?C??arctan2.下面证明：

f?x??f??x??arctan

2?2x2?2x?4?

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7、等比数列?4n?1??1?n?200?,?6m?3??1?m?200?的公共项之和.【解析】此题考察数的同余问题；设公共项为a，a?1mod(4),a?3mod(6).

易得a最小的数为9.4和6的最小公倍数为12,则a?9?12k,k?N.

9?12k?4?200?1,?k?66.?公共项之和为S?

8、梯形的对角线长分别为5和7，高是3,求梯形的面积.【解析】如图，梯形面积为S?

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2

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11

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9、求证：tan3??Q.

【解析】反证法.假设tan3??Q,则tan6??Q,?tan12??Q,?tan24??Q,从而tan30??Q,矛

盾.?tan3??Q.

10、已知实系数二次函数f?x?与g?x?,f?x??g?x?和3f?x??g?x??0有两重根，f?x?有两相异实根，求证：g?x?没有实根.

【解析】设f?x??ax2?bx?c,g?x??dx2?ex?f,

则由f?x??g?x?，可得

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2014北约文科数学试题

1、圆心角为?的扇形面积为6?,求它围成圆锥的表面积.3

1【解析】S扇??R2,?R?6,l??R?2?,从而圆锥底面周长为2

2??2?r,?S底??r2??,S?6????7?.

2、将10个人分成3组，一组4人，两组各3人，求共有几种分法.

C4?C63?C33【解析】平均分堆问题.10?2100.2!

?a?2b?f?a??2f?b?,f?1??1,f?4??7,求f?2014?.3、f???3?3?

【解析】观察等式可知，函数显然为线性一次函数，可设f?x??kx?m,f?1??1,f?4??7代

入求得k?2,m??1,从而f?2014??4027.

4、f?x??lg?x2?2ax?a?的值域为R,求a的取值范围.

【解析】值域问题.??4a2?4a?0,?a?1或a?0.

5、已知x?y??1,且x,y都为负实数，求xy?1的取值范围.xy

1171【解析】均值不等式，对勾函数性质.1???x???

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6、f?x??arctan2?2x?11??C在??,?上为奇函数，求C的值.1?4x?44?

【解析】f?0??0,?C??arctan2.下面证明：

f?x??f??x??arctan2?2x2?2x?4??arctan?2C?arctan????2arctan2?0.1?4x1?4x?3?

7、等比数列?4n?1??1?n?200?,?6m?3??1?m?200?的公共项之和.

【解析】此题考察数的同余问题；设公共项为a，a?1mod(4),a?3mod(6).

易得a最小的数为9.4和6的最小公倍数为12,则a?9?12k,k?N.

9?12k?4?200?1,?k?66.?公共项之和为S?

8、梯形的对角线长分别为5和7，高是3,求梯形的面积.【解析】如图，梯形面积为S?

S?67?9?801?2?27135.11?AB?CD?h??DF?

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DF?EC?h?4?3?6?22?

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9、求证：tan3??Q.

【解析】反证法.假设tan3??Q,则tan6??Q,?tan12??Q,?tan24??Q,从而tan30??Q,矛

盾.?tan3??Q.

10、已知实系数二次函数f?x?与g?x?,f?x??g?x?和3f?x??g?x??0有两重根，f?x?有两相异实根，求证：g?x?没有实根.

【解析】设f?x??ax2?bx?c,g?x??dx2?ex?f,

则由f?x??g?x?，可得

?a?d?x2??b?e?x??c?f??0,???b?e?

由3f?x??g?x??0可得2?4?a?d??c?f??0.

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化简得3b2?e2?12ac?4df,即e2?4df?3?4ac?b2?又b2?4ac?0.

?e2?4df?0.?g?x?没有实根.

9?12k?4?200?1,?k?66.?公共项之和为S?

8、梯形的对角线长分别为5和7，高是3,求梯形的面积.【解析】如图，梯形面积为S?

S?67?9?801?2?27135.11?AB?CD?h??DF?

EC?h，易求得DF?EC?4,2211?

DF?EC?h?4?3?6?22?

AB

DEF

9、求证：tan3??Q.

【解析】反证法.假设tan3??Q,则tan6??Q,?tan12??Q,?tan24??Q,从而tan30??Q,矛

盾.?tan3??Q.

10、已知实系数二次函数f?x?与g?x?,f?x??g?x?和3f?x??g?x??0有两重根，f?x?有两相异实根，求证：g?x?没有实根.

【解析】设f?x??ax2?bx?c,g?x??dx2?ex?f,

则由f?x??g?x?，可得

?a?d?x2??b?e?x??c?f??0,???b?e?

由3f?x??g?x??0可得2?4?a?d??c?f??0.

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今年北约自招笔试已落下帷幕，从试题的整体难度来看，它不像我们平时觉得的有竞赛的难度，与往年相比难度也是大有降低，具体体现在试题中的前六道，属于高考基本题型，只要准备过自招考试的基本能拿满分，但也要熟悉反三角函数的处理以及无理性的证明思路.

有区分度的点在最后三道，最后一题属于不等式的延伸内容，北约的考试尤其是解答题从来都不是基于课内知识点的反复强调和训练，往往来源于一些很基本的甚至是近似于数学常识的知识，比如去年考试中“任意三个数的和都是质数”的理解，和今年证明是无理数这样的问题，都属于不强调复杂的计算，只求看清楚问题的本质的处理手法。去年和今年也都考察了对数列的理解，去年考察奇偶项和的理解，今年考察对数项形式的分析，所以北约的数学试题做起来如果很繁琐，说明往往已经偏离了命题人的基本想法。下面附上试题及解析，供考完的对照以及明年参加北约考试的孩子参考。希望对同学们有所帮助.

2014北约理科数学试题

1、圆心角为

?

的扇形面积为6?,求它围成圆锥的表面积.3

1

【解析】S扇??R2,?R?6,l??R?2?,从而圆锥底面周长为

2

2??2?r,?S底??r2??,S?6????7?.

2、将10个人分成3组，一组4人，两组各3人，求共有几种分法.

C4?C63?C33

【解析】平均分堆问题.10?2100.

2!

?a?2b?f?a??2f?b?,f?1??1,f?4??7,求f?2014?.3、f???

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【解析】观察等式可知，函数显然为线性一次函数，可设f?x??kx?m,f?1??1,f?4??7代

入求得k?2,m??1,从而f?2014??4027.

4、f?x??lg?x2?2ax?a?的值域为R,求a的取值范围.【解析】值域问题.??4a2?4a?0,?a?1或a?0.

5、已知x?y??1,且x,y都为负实数，求xy?

1

的取值范围.xy

1171

【解析】均值不等式，对勾函数性质.1???x???

?y???0?xy?,从而xy??.

xy44

6、f?x??arctan

2?2x?11?

?C在??,?上为奇函数，求C的值.1?4x?44?

【解析】f?0??0,?C??arctan2.下面证明：

f?x??f??x??arctan

2?2x2?2x?4?

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7、求证：tan3??Q.

【解析】反证法.假设tan3??Q,则tan6??Q,?tan12??Q,?tan24??Q,从而tan30??Q,矛

盾.?tan3??Q.

8、已知实系数二次函数f?x?与g?x?,f?x??g?x?和3f?x??g?x??0有两重根，f?x?有两相异实根，求证：g?x?没有实根.

【解析】设f?x??ax2?bx?c,g?x??dx2?ex?f,

则由f?x??g?x?，可得

?a?d?x2??b?e?x??c?f??0,???b?e?

由3f?x??g?x??0可得

2

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化简得3b2?e2?12ac?4df,即e2?4df?3?4ac?b2?又b2?4ac?0.

?e2?4df?0.?g?x?没有实根.

716

M??ai?aj?ak|1?i?j?k?13?,问：9、a1a2......a13是等差数列，0,,是否可以同时在M

23

中，并证明你的结论.

【解析】数列中的项.分析M中项的构成，若按照从小到大的顺序排列，最小的项为

n

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10、xi?0?i?1,2,...n?,

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xi?1.求证：?

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【解析】不等式；柯西不等式或AM?GM平均不等式.法一：AM?GM不等式.

调和平均值

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2014北约文科数学试题

1、圆心角为

?

的扇形面积为6?,求它围成圆锥的表面积.3

1

【解析】S扇??R2,?R?6,l??R?2?,从而圆锥底面周长为

2

2??2?r,?S底??r2??,S?6????7?.

2、将10个人分成3组，一组4人，两组各3人，求共有几种分法.

C4?C63?C33

【解析】平均分堆问题.10?2100.

2!

?a?2b?f?a??2f?b?,f?1??1,f?4??7,求f?2014?.3、f???

3?3?

【解析】观察等式可知，函数显然为线性一次函数，可设f?x??kx?m,f?1??1,f?4??7代

入求得k?2,m??1,从而f?2014??4027.

4、f?x??lg?x2?2ax?a?的值域为R,求a的取值范围.【解析】值域问题.??4a2?4a?0,?a?1或a?0.

5、已知x?y??1,且x,y都为负实数，求xy?

1

的取值范围.xy

1171

【解析】均值不等式，对勾函数性质.1???x???

?y???0?xy?,从而xy??.

xy44

6、f?x??arctan

2?2x?11?

?C在??,?上为奇函数，求C的值.1?4x?44?

【解析】f?0??0,?C??arctan2.下面证明：

f?x??f??x??arctan

2?2x2?2x?4?

?arctan?2C?arctan????2arctan2?0.1?4x1?4x?3?

7、等比数列?4n?1??1?n?200?,?6m?3??1?m?200?的公共项之和.【解析】此题考察数的同余问题；设公共项为a，a?1mod(4),a?3mod(6).

易得a最小的数为9.4和6的最小公倍数为12,则a?9?12k,k?N.

9?12k?4?200?1,?k?66.?公共项之和为S?

8、梯形的对角线长分别为5和7，高是3,求梯形的面积.【解析】如图，梯形面积为S?

S?

67?9?801?

2

?27135.

11

?AB?CD?h??DF?

EC?h，易求得DF?EC?4,22

11

?

DF?EC?h?4?3?6?22

?

A

B

D

E

F

9、求证：tan3??Q.

【解析】反证法.假设tan3??Q,则tan6??Q,?tan12??Q,?tan24??Q,从而tan30??Q,矛

盾.?tan3??Q.

10、已知实系数二次函数f?x?与g?x?,f?x??g?x?和3f?x??g?x??0有两重根，f?x?有两相异实根，求证：g?x?没有实根.

【解析】设f?x??ax2?bx?c,g?x??dx2?ex?f,

则由f?x??g?x?，可得

?a?d?x2??b?e?x??c?f??0,???b?e?

由3f?x??g?x??0可得

2

?4?a?d??c?f??0.

?3a?d?x2??3b?e?x??3c?f??0,???3b?e?

2

?4?3a?d??3c?f??0.

化简得3b2?e2?12ac?4df,即e2?4df?3?4ac?b2?又b2?4ac?0.

?e2?4df?0.?g?x?没有实根.

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