2016年高中部自主招生考试试题
数学（试题卷）
一．选择题（共6小题，每小题6分，共36分）
1．一列数a1，a2，a3，…，其中a1=，an=
（n为不小于2的整数），则a100=
2．已知
，则的值为
3．已知AD∥BC，AB⊥AD，点E，点F分别在射线AD，射线BC上．若点E与点B关于AC对称，点E与点F关于BD对称，AC与BD相交于点G，则
4．如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设a=1，则b=
5．如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（﹣3，﹣2），⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则当PQ最小时，P点的坐标为
6．已知抛物线y=﹣x+1的顶点为P，点A是第一象限内该二次函数图象上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图象于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连结PA、PD，PD交AB于点E，△PAD与
二．填空题（共4小题，每小题6分，共24分）
27．如果函数y=b的图象与函数y=x﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3的图象恰有三个交点，则b的可能值是．
8．如图，已知直线交x轴、y轴于点A、B，⊙P的圆心从原点出发以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动，移动时间为t（s），半径为，则t=s时⊙P与直线AB相切．
9．一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体称为集合．一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的．如一组数1，1，2，3，4就可以构成一个集合，记为A={1，2，3，4}．类比实数有加法运算，集合也可以“相加”．定义：集合A与集合B中的所有元素组成的集合称为集合A与集合B的和，记为A+B．若A={﹣2，0，1，5，7}，B={﹣3，0，1，3，5}，则A+B=．
10．对于X，Y定义一种新运算“*”：X*Y=aX+bY，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法的运算．若
成立，那么2*3=．
三．解答题（共5题，每题12分，共60分）
11．如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P从A点出发，以1个单位每秒的速度向点B运动，点Q同时从C点出发，以相同的速度向y轴正方向运动，运动时间为t秒，点P到达B点时，点Q同时停止运动．设PQ交直线AC于点G．
（
1）求直线AC的解析式；
（2）设△PQC的面积为S，求S关于t的函数解析式；
（3）在y轴上找一点M，使△MAC和△MBC都是等腰三角形．直接写出所有满足条件的M点的坐标；
（4）过点P作PE⊥AC，垂足为E，当P点运动时，线段EG的长度是否发生改变，请说明理由．
试题图
备用图
12．已知直线y=﹣x+4与x轴和y轴分别交与B、A两点，另一直线经过点B和点D（11，6）．
（1）求AB、BD的长度，并证明△ABD是直角三角形；
（2）在x轴上找点C，使△ACD是以AD为底边的等腰三角形，求出C点坐标；
（3）一动点P速度为1个单位/秒，沿A﹣B﹣D运动到D点停止，另有一动点Q从D点出发，以相同的速度沿D﹣B﹣A运动到A点停止，两点同时出发，PQ的长度为y（单位长），运动时间为t（秒），求y关于t的函数关系式．
13．在边长为1的正方形ABCD中，以点A为圆心，AB为半径作圆，E是BC边上的一个动点（不运动至B，C），过点E作弧BD的切线EF，交CD于F，H是切点，过点E作EG⊥EF，交AB于点G，连接AE．
（1）求证：△AGE是等腰三角形；
（2）设BE=x，△BGE与△CEF的面积比，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在BC边上（点B、C除外）是否存在一点E，使得GE=EF，若存在，求出此时BE的长，若不存在，请说明理由．
14．如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知∠EAT=30°，AE=3，MN=2．
（1）求∠COB的度数；
（2）求⊙O的半径R；
（3）点F在⊙O上（是劣弧），且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比．
15．如图，直角梯形ABCO的两边OA，OC在坐标轴的正半轴上，BC∥x轴，OA=OC=4，以直线x=1为对称轴的抛物线过A，B，C三点．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）已知直线l的解析式为y=x+m，它与x轴交于点G，在梯形ABCO的一边上取点P．
①当m=0时，如图1，点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH⊥直线l于点H，连结OP，试求△OPH的面积；
②当m=﹣3时，过点P分别作x轴、直线l的垂线，垂足为点E，F．是否存在这样的点P，使以P，E，F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2016年高中部自主招生考试数学参考答案
选择题
1-6.ABABDB
填空题
7.
8.
解答题
11.（1）y=﹣x+2，
x=0时，y=2，
y=0时，x=±2，
∴A（﹣2，0），B（2，0），C（0，2），
设直线AC的解析式是y=kx+b，代入得：，2
解得：k=1，b=2，
即直线AC的解析式是y=x+2；
（2）当0＜t＜2时，
OP=（2﹣t），QC=t，
∴△PQC的面积为：S=（2﹣t）t=﹣t+t，
当2＜t≤4时，
OP=（t﹣2），QC=t，
∴△PQC的面积为：S=（t﹣2）t=t﹣t，22
∴；
（3）当AC=CM=BC时，M的坐标是：（0，），（0，﹣2）；当AM=BM=CM时，M的坐标是：（0，0），（0，）；
一共四个点，（0，），（0，0），（0，），（0，﹣2）；
（4）当0＜t＜2时，过G作GH⊥y轴，垂足为H．
由AP=t，可得AE=
∵GH∥OP∴即=，解得GH=，．
所以GC=GH=．
=．于是，GE=AC﹣AE﹣GC=即GE的长度不变．
当2＜t≤4时，过G作GH⊥y轴，垂足为H．
由AP=t，可得AE=
由即=．，
∴GH（2+t）=t（t﹣2）﹣（t﹣2）GH，
∴GH（2+t）+（t﹣2）GH=t（t﹣2），
∴2tGH=t（t﹣2），
解得GH=
所以GC=，GH=．
﹣t+=，于是，GE=AC﹣AE+GC=2即GE的长度不变．
综合得：当P点运动时，线段EG的长度不发生改变，为定值
12.（1）令x=0，y=4，
令y=0，则﹣x+4=0，
解得x=3，
所以，A（0，4），B（3，0），
由勾股定理得，AB=
BD==10，=5，．
过点D作DH⊥y轴于H，DH=11，AH=2，
由勾股定理得，AD=
∵AB=25，BD=100，
222∴AB+BD=AD，
∴△ABD是直角三角形；
（2）设OC长为x，由等腰三角形以及勾股定理得到x+4=（11﹣x）+6，解得x=
所以，C（，，0）；222222==，
（3）设t秒时相遇，由题意得，t+t=5+10，
解得t=7.5，
点P在AB上时，0≤t≤5，PB=5﹣t，BQ=10﹣t，PQ=
==，点P、Q都在BD上重合前，5＜t≤7.5，PQ=5+10﹣t﹣t=15﹣2t，
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