2015年绵阳南山中学(实验学校)自主招生考试数学试题及答案

保密★启用前

8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，⊙O为△ABC的内切圆，点D

是斜边AB的中点，则tan∠ODA的值为

绵阳南山中学(实验学校)2015年自主招生考试试题

数学

本套试卷分试题卷和答题卷两部份,试题卷共6页,答题卷共6页,满分150分,考试时间120分钟.

注意事项:

1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔填写在答

BA

D.2

2

9．若关于x的一元二次方程kx?2x?1?0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()

A.k??1B.k??1且k?0C.k?1D.k?1且k?0

10．如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，题卷与机读卡对应位置上,并认真核对姓名与考号;

2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔将机读卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,答在试题卷上无效;

3.非选择题(主观题)用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卷上每题对应的位置上,答在试题卷上无效.作图一律用2B铅笔或0.5毫米黑色签字笔;4.考试结束后,请将本试题卷、答题卷与机读卡一并上交.

以点P为圆心，cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），请写出t可取的一切值______（单位：秒）三．解答题19.计算：（本小题满分16分）

（1

）计算：?32?(1?342)2sin45??(

2014??

)?

（2

）先化简，再求值：(a?2a2?2a?a?1a?4

a2?4a?4)?a?2

,其中a?1.

20.某中学为了了解七年级600名学生在“学雷锋活动月”中做好事的情况，随机调查了七年级50名学生在一个月内做好事的次数，并将所得数据绘制成统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题：（1）所调查的七年级50名学生在这个月内做好事次数的平均数是，众数是，极差是。（2）根据样本数据，估计该校七年级600名学生在“学雷锋活动月”中做好事不少于4次的人数．

21．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相A

D

交于点M，与BD相交于点N，连BM，DN。（1）证：四边形BMDN为菱形；

（2）若AB=4，AD=8，求Sin∠ABM的值。

B

22.已知直线l分别与x轴.y轴交于A.B两点，与双曲线y?a

x

（a≠0，x＞0）分别交于D.E两点.若

点D的坐标为（3，1），点E的坐标为（1，n）（1）分别求出直线l与双曲线的解析式；（2）求△EOD的面积（3）若将直线l向下平移m（m＞0）个单位，当m为何值时，

直线l与双曲线有且只有一个交点？

图22

23.（本题满分12分）某市为创建省卫生城市，有关部门决定利用现有的4200盆甲种花卉和3090

盆乙种花卉，搭配A、B两种园艺造型共60个，摆放于入城大道的两侧，搭配每个造型所需花卉数量的情况下表所示，结合上

述信息，解答下列问题：

（1）符合题意的搭配方案有几种？

（2）如果搭配一个A种造型的成本为1000元，搭配一个B

种造型的成本为1500元，试说明选用那种方案成本最低？最低

成本为多少元？

24.（本小题满分12分）如图：已知AB是⊙O的直径，AB=10，点C、D在⊙O上，DC平分∠ACB，点E在⊙O外，∠EAC=∠D。（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若BC=6，求CD的长；

（3）若∠D=60O

，求阴影部分的面积。

25.（本小题满分14分）如图，抛物线与x轴交于A?x1,0?，B?x2,0?两点，且x1＜x2，与y轴交

于点C?0,?5?，其中x1，x2是方程x2

?4x?5?0的两个根。

（1）求这条抛物线的解析式；（2）点M是线段AB上的一个动点,过点M作MN∥BC,交AC于点N,连接CM,当△CMN的面积最大时，求点M的坐标。；（3）点D?4,k?在（1）中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在x轴是否存在点F，使以A，D，E，F四点为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，直接写出所有满足条件的点F的坐标；如果不存在，请说明理由。

参考答案

一、选择题

1、D2、D3、B4、C5、B6、B7、D8、D9、B10、C11、C12、A二、填空题

13、a(2x-3)214、3915、m>-3且m≠216

、17、?18、2或8或3≤t≤7三、

83

19.①原式??9?8?2??1?(a?2)a?1?a?4

②原式=

???2?a(a?2)(a?2)??a?2

(a?2)(a?2)?a(a?1)a?2

??2

a(a?2)a?4a2?4?a2?aa?2

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a(a?2)2a?4a?4a?21

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??4

5050

②

5?6?1324?5050

24

?600?288(人)50

A

D

21.证明

①∵四边形ABCD为矩形∴MD//BN

∴∠MDB=∠NBO又MN∠平分BO∴BO=DO

∴△MOD≌△NOB∴MO=NO又MN⊥BD

∵四边形BNDM为菱形

②∴由①四边形BNDM为菱形∴BM=MD=x∴AM=8-xAB=4

222

∴在△ABM中4+（8-x）=x

22

∴16+64-16x+x=x∴AM=3∴SM∠ABM=

B

AM3

?BM5

②Q23.

②W利润=1000x+1500(60-x)

=1000x+90000-1500x

=-500x+9000037≤x≤40且为整

∵-500＜0∴W随x的增大而减小∴x=40W=70000

24.解①∵∠D=∠B又∠D=∠CAE∴∠B=∠CAE

又∵AB为⊙O直径∵∠B+∠BAC=90o∴∠BAC+∠CAE=90o∴∠AE为⊙O的切线②过B作BH⊥CD于HBC=6AB=10AC=8∵∠BCD=∠ACD=45oBC=6

∴∠BH=CH=???又∠BCD=∠ACD∴BDAD

∵BD=AD又AB=10

∵BD=AD=∴∠DH=∵CD=③当∠D=60o时，∠COA=120o又AB=10r=5∠OAC=30o∴S阴影=S扇AOC-S△AOC=

120??2525???360325.①x2-4x-5=0(x-5)(x+1=0∴x=5x=-1

∴A(-1,0)B(5,0)C(0,5)∴y=a(x+1)(x-5)-5=a×(-5)∴a=12

∵y=x-4x-5

?OC?OB?5??CBO?45o?MN//BC??NMA?45o设M(x,0)

△ANM∽△ACBNHx?1

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56

5

?NH?(x?1)

6

②S△CMN?S△CAM?S△NAM

115

??(x?1)?5?(x?1)?(x?1)

22655

(x?1)?(x?1)2212

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126

65

?当x=4时S最大=

6

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参考答案

一、选择题

1、D2、D3、B4、C5、B6、B7、D8、D9、B10、C11、C12、A二、填空题

13、a(2x-3)214、3915、m>-3且m≠216

、17、?18、2或8或3≤t≤7三、

83

19.①原式??9?8?2??1?(a?2)a?1?a?4

②原式=

???2?a(a?2)(a?2)??a?2

(a?2)(a?2)?a(a?1)a?2

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②

5?6?1324?5050

24

?600?288(人)50

A

D

21.证明

①∵四边形ABCD为矩形∴MD//BN

∴∠MDB=∠NBO又MN∠平分BO∴BO=DO

∴△MOD≌△NOB∴MO=NO又MN⊥BD

∵四边形BNDM为菱形

②∴由①四边形BNDM为菱形∴BM=MD=x∴AM=8-xAB=4

222

∴在△ABM中4+（8-x）=x

22

∴16+64-16x+x=x∴AM=3∴SM∠ABM=

B

AM3

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②Q23.

②W利润=1000x+1500(60-x)

=1000x+90000-1500x

=-500x+9000037≤x≤40且为整

∵-500＜0∴W随x的增大而减小∴x=40W=70000

24.解①∵∠D=∠B又∠D=∠CAE∴∠B=∠CAE

又∵AB为⊙O直径∵∠B+∠BAC=90o∴∠BAC+∠CAE=90o∴∠AE为⊙O的切线②过B作BH⊥CD于HBC=6AB=10AC=8∵∠BCD=∠ACD=45oBC=6

∴∠BH=CH=???又∠BCD=∠ACD∴BDAD

∵BD=AD又AB=10

∵BD=AD=∴∠DH=∵CD=③当∠D=60o时，∠COA=120o又AB=10r=5∠OAC=30o∴S阴影=S扇AOC-S△AOC=

120??2525???360325.①x2-4x-5=0(x-5)(x+1=0∴x=5x=-1

∴A(-1,0)B(5,0)C(0,5)∴y=a(x+1)(x-5)-5=a×(-5)∴a=12

∵y=x-4x-5

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△ANM∽△ACBNHx?1

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56

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6

②S△CMN?S△CAM?S△NAM

115

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65

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②Q23.

②W利润=1000x+1500(60-x)

=1000x+90000-1500x

=-500x+9000037≤x≤40且为整

∵-500＜0∴W随x的增大而减小∴x=40W=70000

24.解①∵∠D=∠B又∠D=∠CAE∴∠B=∠CAE

又∵AB为⊙O直径∵∠B+∠BAC=90o∴∠BAC+∠CAE=90o∴∠AE为⊙O的切线②过B作BH⊥CD于HBC=6AB=10AC=8∵∠BCD=∠ACD=45oBC=6

∴∠BH=CH=???又∠BCD=∠ACD∴BDAD

∵BD=AD又AB=10

∵BD=AD=∴∠DH=∵CD=③当∠D=60o时，∠COA=120o又AB=10r=5∠OAC=30o∴S阴影=S扇AOC-S△AOC=

120??2525???360325.①x2-4x-5=0(x-5)(x+1=0∴x=5x=-1

∴A(-1,0)B(5,0)C(0,5)∴y=a(x+1)(x-5)-5=a×(-5)∴a=12

∵y=x-4x-5

?OC?OB?5??CBO?45o?MN//BC??NMA?45o设M(x,0)

△ANM∽△ACBNHx?1

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56

5

?NH?(x?1)

6

②S△CMN?S△CAM?S△NAM

115

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22655

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555

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126

65

?当x=4时S最大=

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②S△CMN?S△CAM?S△NAM

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525??(x2?8x)?126

5255??(x?4)2???16

12612

565??(x?4)2?126

65?当x=4时S最大=6

??

保密★启用前

8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，⊙O为△ABC的内切圆，点D

是斜边AB的中点，则tan∠ODA的值为

绵阳南山中学(实验学校)2015年自主招生考试试题

数学

本套试卷分试题卷和答题卷两部份,试题卷共6页,答题卷共6页,满分150分,考试时间120分钟.

注意事项:

1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔填写在答

BA

D.2

2

9．若关于x的一元二次方程kx?2x?1?0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()

A.k??1B.k??1且k?0C.k?1D.k?1且k?0

10．如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，题卷与机读卡对应位置上,并认真核对姓名与考号;

2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔将机读卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,答在试题卷上无效;

3.非选择题(主观题)用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卷上每题对应的位置上,答在试题卷上无效.作图一律用2B铅笔或0.5毫米黑色签字笔;4.考试结束后,请将本试题卷、答题卷与机读卡一并上交.

以点P为圆心，cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），请写出t可取的一切值______（单位：秒）三．解答题19.计算：（本小题满分16分）

（1

）计算：?32?(1?342)2sin45??(

2014??

)?

（2

）先化简，再求值：(a?2a2?2a?a?1a?4

a2?4a?4)?a?2

,其中a?1.

20.某中学为了了解七年级600名学生在“学雷锋活动月”中做好事的情况，随机调查了七年级50名学生在一个月内做好事的次数，并将所得数据绘制成统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题：（1）所调查的七年级50名学生在这个月内做好事次数的平均数是，众数是，极差是。（2）根据样本数据，估计该校七年级600名学生在“学雷锋活动月”中做好事不少于4次的人数．

21．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相A

D

交于点M，与BD相交于点N，连BM，DN。（1）证：四边形BMDN为菱形；

（2）若AB=4，AD=8，求Sin∠ABM的值。

B

22.已知直线l分别与x轴.y轴交于A.B两点，与双曲线y?a

x

（a≠0，x＞0）分别交于D.E两点.若

点D的坐标为（3，1），点E的坐标为（1，n）（1）分别求出直线l与双曲线的解析式；（2）求△EOD的面积（3）若将直线l向下平移m（m＞0）个单位，当m为何值时，

直线l与双曲线有且只有一个交点？

图22

23.（本题满分12分）某市为创建省卫生城市，有关部门决定利用现有的4200盆甲种花卉和3090

盆乙种花卉，搭配A、B两种园艺造型共60个，摆放于入城大道的两侧，搭配每个造型所需花卉数量的情况下表所示，结合上

述信息，解答下列问题：

（1）符合题意的搭配方案有几种？

（2）如果搭配一个A种造型的成本为1000元，搭配一个B

种造型的成本为1500元，试说明选用那种方案成本最低？最低

成本为多少元？

24.（本小题满分12分）如图：已知AB是⊙O的直径，AB=10，点C、D在⊙O上，DC平分∠ACB，点E在⊙O外，∠EAC=∠D。（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若BC=6，求CD的长；

（3）若∠D=60O

，求阴影部分的面积。

25.（本小题满分14分）如图，抛物线与x轴交于A?x1,0?，B?x2,0?两点，且x1＜x2，与y轴交

于点C?0,?5?，其中x1，x2是方程x2

?4x?5?0的两个根。

（1）求这条抛物线的解析式；（2）点M是线段AB上的一个动点,过点M作MN∥BC,交AC于点N,连接CM,当△CMN的面积最大时，求点M的坐标。；（3）点D?4,k?在（1）中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在x轴是否存在点F，使以A，D，E，F四点为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，直接写出所有满足条件的点F的坐标；如果不存在，请说明理由。

参考答案

一、选择题

1、D2、D3、B4、C5、B6、B7、D8、D9、B10、C11、C12、A二、填空题

13、a(2x-3)214、3915、m>-3且m≠216

、17、?18、2或8或3≤t≤7三、

83

19.①原式??9?8?2??1?(a?2)a?1?a?4

②原式=

???2?a(a?2)(a?2)??a?2

(a?2)(a?2)?a(a?1)a?2

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a(a?2)a?4a2?4?a2?aa?2

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20.。

x?

5?2?6?3?13?4?16?5?10?410?18?52?80?40

??4

5050

②

5?6?1324?5050

24

?600?288(人)50

A

D

21.证明

①∵四边形ABCD为矩形∴MD//BN

∴∠MDB=∠NBO又MN∠平分BO∴BO=DO

∴△MOD≌△NOB∴MO=NO又MN⊥BD

∵四边形BNDM为菱形

②∴由①四边形BNDM为菱形∴BM=MD=x∴AM=8-xAB=4

222

∴在△ABM中4+（8-x）=x

22

∴16+64-16x+x=x∴AM=3∴SM∠ABM=

B

AM3

?BM5

②Q23.

②W利润=1000x+1500(60-x)

=1000x+90000-1500x

=-500x+9000037≤x≤40且为整

∵-500＜0∴W随x的增大而减小∴x=40W=70000

24.解①∵∠D=∠B又∠D=∠CAE∴∠B=∠CAE

又∵AB为⊙O直径∵∠B+∠BAC=90o∴∠BAC+∠CAE=90o∴∠AE为⊙O的切线②过B作BH⊥CD于HBC=6AB=10AC=8∵∠BCD=∠ACD=45oBC=6

∴∠BH=CH=???又∠BCD=∠ACD∴BDAD

∵BD=AD又AB=10

∵BD=AD=∴∠DH=∵CD=③当∠D=60o时，∠COA=120o又AB=10r=5∠OAC=30o∴S阴影=S扇AOC-S△AOC=

120??2525???360325.①x2-4x-5=0(x-5)(x+1=0∴x=5x=-1

∴A(-1,0)B(5,0)C(0,5)∴y=a(x+1)(x-5)-5=a×(-5)∴a=12

∵y=x-4x-5

?OC?OB?5??CBO?45o?MN//BC??NMA?45o设M(x,0)

△ANM∽△ACBNHx?1

??

56

5

?NH?(x?1)

6

②S△CMN?S△CAM?S△NAM

115

??(x?1)?5?(x?1)?(x?1)

22655

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