2015年温州中学自主招生选拔考试数学试题
2015年温州中学自主招生选拔考试数学试题
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的的四个选项中，只??????密??????????????????封??????????????????线??????有一项是符合题目要求的．请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置．?x2?bx?c(x?0)1、设函数y??，当x=-4和0时，函数值相等，且当x=-2时，y=-2，?2(x?0)则方程y?x的解的个数有（▲）个A、1B、2C、3D、42、有一个长方体的箱子，它的十二条棱长之和是140，并且从箱子的一角到最远的一角的距离是21，那么这个箱子的表面积是（▲）A、776B、784C、798D、8003、若a、b和c是三个两两不同的奇质数，且方程(b?c)x2?5(a?1)x?225?0有两个相等的实根，则a的最小值是（▲）A、41B、47C、53D、59班级____________________姓名____________________4、某中学从初一到高三年级学生中挑选学生会成员,至少要满足以下一个条件:①初一年级至多选1人；②初二年级至多选2人；③初三年级至多选3人；④高一年级至多选4人；⑤高二年级至多选5人；⑥高三年级至多选6人.则至多要选出(▲)名同学才能做到.A、21B、22C、26D、285、如图，?ABC中，AB?AC,?ABC?40?，BD是?ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD，则?ECA?（▲）A、50B、35C、40D、45第5题图第6题图第7题图6、如图所示，△ABC的边长为6、8、10，一个以点P为圆心且半径为1的圆在其内滚动，
且总是与△ABC的边相切。当P第一次回到它原来的位置时，点P走过的长度是（▲）
A、10B、12C、14D、150000
1
7、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90，内切圆⊙I切AC,BC于E,F，射线BI、AI交直线EF于点M、N，设S△AIB=S1，S△MIN=S2，则0S1的值为（▲）S2
A、
35B、2C、D、322
8、将20个乒乓球（不加区分）装入5个不同的盒子里，要求不同的盒子中的球数互不相同，且盒子都不空，一共有（▲）种不同装法。
4A、7B、14C、C19D、7×5！
9、如图在等边△ABC中，D、E、F是三边中点．在图中可以数出的三角形中，任选一对三角形(不计顺序)，如果这2个三角形至少有一条边相等，便称之为一对“友好三角形”．那么，从图中选出“友好三角形”共有(▲)
A、120对B、240对
C、234对D、114对
22a12?a2???ak10、对k个正实数a1，a2，?，ak，称为这k个数的平方平均数．用k
An表示1，2，?，2014中能被n整除的所有数的平方平均数．则A2、A3、A5A7按大小顺序为（▲）
A、A2>A3>A7>A5B、A2<A3<A7<A5C、A3<A2<A5<A7D、A5<A3<A2<A7、
11、已知实数m、n满足m?n?，m?3n为质数．若m?3n的最大值为s、最小值为t．则s?t的值为（▲）
A、12B、14C、11D、13
12、我们将1×2×3×?n记作n！(读作n的阶乘)，如：2！=1×2,3！=1×2×3,4！=1×2×3×4，若设S=1×1!+2×2!+3×3!+??+2013×2013！，则S除以2014的余数是（▲）2222
2
A、0B、1C、1007D、2013
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填在答题卷的相应位置．
13、如图，在△ABC中，∠B为直角，AD平分∠BAC，边BC上的中线为E，且点D、E恰好顺次分BC成三段的比为1∶2∶3，则sin∠BAC=▲；
14
、2的值为▲．…21?2?1
15、在平面直角坐标系中不等式x?y≤3围成的面积是▲；
16、如图，射线AO交⊙O于B、C两点，AB=1cm,BC=3cm，AD切⊙O于点D，延长DO交⊙O于点E，连结AE交⊙O于点F，则线段DF的长=▲cm．
120、（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y=x2+1，4
点C的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC的顶点A，B在抛物线上，AB与y轴交于点M，已知点Q(x，y)在抛物线上，点P(t，0)在x轴上.
(1)写出点M的坐标；
(2)当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时.
①求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；
②当梯形CMQP的两底的长度之比为1：2时，求t的
值.
21、（本题满分16分）如图，两圆T1、T2相交于A、B两点，过点B的一条直线
分别交圆T1、T2于点C、D，过点B的另一条直线分别交圆T1、T2于点E、F，直
线CF分别交圆T1、T2于点P、Q，设M、N分别是弧PB，弧QB的中点，求证：若
CD=EF，则C，F，M，N四点共圆。
22、（本题满分16分）已知a、b、c为两两互质的正整数，且a2(b3?c3)，b2(c3?a3)，c2(a3?b3)，求a、b、c的值。
4
2015年温州中学自主招生选拔考试数学答题卷
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
??????密??????????????????封??????????????????线??????
13．；14．；15．
16．；17．；18．三、解答题：本大题共4小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．19、（本题满分12分）设直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边长为c。若a、b、
班级____________________姓名____________________
1
c均为整数，且c?ab?(a?b)，求满足条件的直角三角形的周长。
3
5
20、（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y=
12
x+1，4
点C的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC的顶点A，B在抛物线上，AB与y轴交于点M，已知点Q(x，y)在抛物线上，点P(t，0)在x轴上.(1)写出点M的坐标；
(2)当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时.①求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；②当梯形CMQP的两底的长度之比为1：2时，求t的值.
21、（本题满分16分）如图，两圆T1、T2相交于A、B两点，过点B的一条直线分别交圆T1、T2于点C、D，过点B的另一条直线分别交圆T1、T2于点E、F，直线CF分别交圆T1、T2于点P、Q，设M、N分别是弧PB，弧QB的中点，求证：若CD=EF，则C，F，M，N四点共圆。
233233
22、（本题满分16分）已知a、b、c为两两互质的正整数，且a(b?c)，b(c?a)，
c2(a3?b3)，求a、b、c的值。
2015年温州中学自主招生选拔考试数学参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
?密??????????????????封??????????????????线??????
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．13．
2；14．；15．5班级____________________姓名____________________
6；17．018．3＜a＜4或4＜a≤5或a=6；13
三、解答题：本大题共4小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．19、（本题满分12分）
16．
c?解：∵c?a?b，
222
11222222
ab?(a?b)，∴a?b?(ab)?ab(a?b)?a?2ab?b，393
∴ab?6(a?b)?18?0，(a?6)(b?6)?18，
∵a、b均为正整数，不妨设a?b，则?
?a?6?1?a?6?2?a?6?3
，?，?，
?b?6?18?b?6?9?b?6?6
∴（a、b、c）=（7，24，25），（8，15，17），（9，12，15）。∴满足条件的直角三角形有三个，周长分别为：56或40或36。20、（本题满分16分）
解：(1)∵OABC是平行四边形，∴AB∥OC，且AB=OC=4，
∵A，B在抛物线上，y轴是抛物线的对称轴，∴A，B的横坐标分别是2和–2，代入y=
12
x+1得，A(2,2)，B(–2，2)，∴M(0，2)，4
yx?t?,即：t=x–2y,24
(2)①过点Q作QH?x轴，设垂足为H，则HQ=y，HP=x–t，由△HQP∽△OMC，得：
∵Q(x,y)在y=
121
x+1上，∴t=–x2+x–2.42
当点P与点C重合时，梯形不存在，此时，t=–4，解得x=1?5,当Q与B或A重合时，四边形为平行四边形，此时，x=?2
∴x的取值范围是x?1?5,且x??2的所有实数.
②分两种情况讨论：1）当CM>PQ时，则点P在线段OC上，∵CM∥PQ，CM=2PQ，∴点M纵坐标为点Q纵坐标的2倍，即2=2(解得x=0，∴t=–
12
x+1)，4
12
0+0–2=–2.2
1
2）当CM<PQ时，则点P在OC的延长线上，∵CM∥PQ，CM=PQ，
2
12
∴点Q纵坐标为点M纵坐标的2倍，即x+1=2?2，解得：x=?2.
4
12
当x=–2时，得t=–(2)–2–2=–8–2,当x=23时，得t=2–8.
2
21、（本题满分16分）
22、（本题满分16分）
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