安徽省芜湖市第一中学2015级高一数学自主招生考试试题
芜湖一中2015年高一自主招生考试
数学试卷
一、选择题（本大题共7个小题，每小题6分，共42分，每小题只有一个选项正确，把正确的选项序号填在答题栏中）
1．已知非零实数a,b满足
5?3a?b?3A．?1
2．已知B．05?3a,则a?b?C．1D．?511?x?1，则?x的值为．xx
B．5C．?D．或1A．?
3．若关于x的方程1?2a?2的解为正数，则实数a的取值范围是2x?1
33331A．a?B．a?C．a?且a?2D．a?且a?22222
4．如果一直线l经过不同三点A?a,b?,B?b,a?,C?a?b,b?a?，那么直线l经过
A．第二、四象限B．第一、二象限
C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限
5．已知平面四边形ABCD，下列条件：①AB∥CD；②BC∥AD；③AB=CD；④BC=AD⑤∠A=∠C；⑥∠B=∠D.任取其中两个，可以得出“平面四边形ABCD是平行四边形”的概率是
A．23B．815C．35D．715
6．一个正方体内接于一个球(正方体的顶点均在球面上)，过球心作一个截面，如下图所示，则截面的可能图形是
（1）（2）（3）（4）
A．（3）（4）
B．（1）（2）（4
）C．
（2）（
4）
D．（1）（2）（3）
7．直角?ABC的三个顶点A,B,C均在抛物线y?x上，并且斜边AB平行于x轴，若斜边上h21
二、填空题（本大题共7个小题，每小题7分，共49分）
8
．二次根式2m2
?0有两个实根x1、x2满足x2?x1?2，则m的9．已知关于x的方程：x?(m?2)x?4
值为
10．若关于x的不等式组??5x?a?0的整数解仅有1、2、3，则满足这个不等式组的有序整数对
?3x?b?0
?a,b?的个数为
11．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，A?x1,y1?是反比例函数y?
点，B?x2,y2?是反比例函数y??1?x?0?的图像上的一x4?x?0?的图像上的一点，则?AOB的面积的最小值为x
12．有一个半径为1cm的圆，在边长为6cm的正六边形内任意挪动（圆可以与正六边形的边相切）。则圆在正六边形内能到达的部分的面积为cm
13．如右图所示，?ABC的面积为3，D,E,F,G分别
是BC,AC边上的三等分点，AE,BF相交于点H，
则四边形CEHF的面积是
14
．已知2
????,?2015，则n?1?．m2
芜湖一中2015年高一自主招生考试
数学答题卷
一、选择题（本大题共7个小题，每小题6分，共42分，每小题只有一个选项正确，把正确的
选项序号填在答题栏中）
2
二、填空题（本大题共7个小题，每小题7分，共49分）
8．9．10．11．12．13．14．
三、解答题（本大题共5
个小题，计59分，写出必要的推算或演算步骤）
15．（本小题10分）已知a,b是一元二次方程
t?t?1?0的两个实根，解关于x,y的方程组2
?xy??x?1??ab?xy???y?1??ba
16．（本小题10分）为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出多少个?1.4）
3
4
17．（本小题13分）如图，直线y??x?3与x轴，y轴分别相交于点B、C，经过B、C两点的抛物线y?ax2?bx?c与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x?2．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）连结AC．请问在x轴上是否存在点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与?ABC相似，
若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
18．（本小题13分）在?ABC中
，AB?AC?，?B?72，证明：BC的边长为正整数。
2
19．（本小题13分）若p是大于5的质数，求p?5p?5除以120得到的余数
o
??
2
芜湖一中2015年高一自主招生考试
数学答案
一、选择题（本大题共7个小题，每小题6分，共42分，每小题只有一个选项正确，把正确的选项序号填在答题栏中）
二、填空题（本大题共7个小题，每小题7分，共49分）
8、、0或410、1511、212、?13、
1
14、20152
三、解答题（本大题共5个小题，计59分，写出必要的推算或演算步骤）15、（本小题10分）解：因为a?b?1,ab??1，将方程组通分后代入ab??1得?
??bx?ay???x?1??1?
ax?by??y?12??????
两式相加得?a?b?x??a?b?y??2??x?y?，又因为a?b?1,于是x?y??1，代入(1)式，得?b?a?1?x??1?a，可得2bx??b，所以x??11,y??
22
17、（本小题13分）解：（1）?直线y??x?3与x轴相交于点B，?当y?0时，x?3，?点B的坐标为?3,0?．
?点A的坐标为?1,0?．又?抛物线过x轴上的A,B两点，且对称轴为x?2，根据抛物线的对称性，
?y??x?3过点C，易知C?0,3?，?c?3．又?抛物线y?ax2?bx?c过点A?1,0?,B?3,0?，?a?b?3?0
??
?9a?3b?3?0
解
，
得
?a?1
?b??4?
?y?x2?4x?3．??????????????????5分
（2）连结PB，由?y?x2?4x?3??x?2??1，得P?2,?1?，
2
设抛物线的对称轴交x轴于点M，在Rt?PBM中，PM?MB?1，??PBM?45?,PB?2．由点B?3,0?,C?0,3?易得OB?OC?3，在等腰直角三角形OBC中，?ABC?45?，由勾股定理，得BC?32．??????????????????7分假设在x轴上存在点Q，使得以点P,B,Q为顶点的三角形与?ABC相似．①当
BQPBBQ2
?，?PBQ??ABC?45?时，?PBQ∽?ABC．即，?BQ?3，?BCAB232
?Q1的坐标是?0,0?．??????????????????9分
②当
QBPB2QB2
?，?QBP??ABC?45?时，?QBP∽?ABC．即，?QB?．?ABBC3232
27
?7?33，?Q的坐标是?,0?．?2
?3?
?OB?3，?OQ?OB?QB?3?
?∠PBx?180??45??135?，∠BAC?135?，?∠PBx?∠BAC．
?点Q不可能在B点右侧的x轴上（无此判断，亦不扣分）．
综上所述，在x轴上存在两点Q1?0,0?,Q2?,0?，能使得以点P,B,Q为顶点的三角形与?ABC相似．????????????????????????13分18、（本小题13分）
?7?
?3?
19、（本小题13分）
2222???1??p2?5p?4??p2?5p?6??1p?5p?5?p?5p?5?1????????解：
??p?1??p?2??p?3??p?4??1
设?p?1??p?2??p?3??p?4??M，因为p是大于5的质数，M是4个连续整数的积，所以M必能被24整除。又p除以5所得的余数只能是1,2,3,4中的一个，但此时相应的
p?1,p?2,p?3,p?4必有一数是5的倍数，故M能被5整除。因为120?2?3?4?5，所以M能被120整除，综上余数是1
18．（本小题13分）在?ABC中
，AB?AC?，?B?72，证明：BC的边长为正整数。
2
19．（本小题13分）若p是大于5的质数，求p?5p?5除以120得到的余数
o
??
2
芜湖一中2015年高一自主招生考试
数学答案
一、选择题（本大题共7个小题，每小题6分，共42分，每小题只有一个选项正确，把正确的选项序号填在答题栏中）
二、填空题（本大题共7个小题，每小题7分，共49分）
8、、0或410、1511、212、?13、
1
14、20152
三、解答题（本大题共5个小题，计59分，写出必要的推算或演算步骤）15、（本小题10分）解：因为a?b?1,ab??1，将方程组通分后代入ab??1得?
??bx?ay???x?1??1?
ax?by??y?12??????
两式相加得?a?b?x??a?b?y??2??x?y?，又因为a?b?1,于是x?y??1，代入(1)式，得?b?a?1?x??1?a，可得2bx??b，所以x??11,y??
22
17、（本小题13分）解：（1）?直线y??x?3与x轴相交于点B，?当y?0时，x?3，?点B的坐标为?3,0?．
?点A的坐标为?1,0?．又?抛物线过x轴上的A,B两点，且对称轴为x?2，根据抛物线的对称性，
?y??x?3过点C，易知C?0,3?，?c?3．又?抛物线y?ax2?bx?c过点A?1,0?,B?3,0?，?a?b?3?0
??
?9a?3b?3?0
解
，
得
?a?1
?b??4?
?y?x2?4x?3．??????????????????5分
（2）连结PB，由?y?x2?4x?3??x?2??1，得P?2,?1?，
2
设抛物线的对称轴交x轴于点M，在Rt?PBM中，PM?MB?1，??PBM?45?,PB?2．由点B?3,0?,C?0,3?易得OB?OC?3，在等腰直角三角形OBC中，?ABC?45?，由勾股定理，得BC?32．??????????????????7分假设在x轴上存在点Q，使得以点P,B,Q为顶点的三角形与?ABC相似．①当
BQPBBQ2
?，?PBQ??ABC?45?时，?PBQ∽?ABC．即，?BQ?3，?BCAB232
?Q1的坐标是?0,0?．??????????????????9分
②当
QBPB2QB2
?，?QBP??ABC?45?时，?QBP∽?ABC．即，?QB?．?ABBC3232
27
?7?33，?Q的坐标是?,0?．?2
?3?
?OB?3，?OQ?OB?QB?3?
?∠PBx?180??45??135?，∠BAC?135?，?∠PBx?∠BAC．
?点Q不可能在B点右侧的x轴上（无此判断，亦不扣分）．
综上所述，在x轴上存在两点Q1?0,0?,Q2?,0?，能使得以点P,B,Q为顶点的三角形与?ABC相似．????????????????????????13分18、（本小题13分）
?7?
?3?
19、（本小题13分）
2222???1??p2?5p?4??p2?5p?6??1p?5p?5?p?5p?5?1????????解：
??p?1??p?2??p?3??p?4??1
设?p?1??p?2??p?3??p?4??M，因为p是大于5的质数，M是4个连续整数的积，所以M必能被24整除。又p除以5所得的余数只能是1,2,3,4中的一个，但此时相应的
p?1,p?2,p?3,p?4必有一数是5的倍数，故M能被5整除。因为120?2?3?4?5，所以M能被120整除，综上余数是1
本站(www.100xue.net)部分图文转自网络,刊登本文仅为传播信息之用，绝不代表赞同其观点或担保其真实性。若有来源标注错误或侵犯了您的合法权益，请作者持权属证明与本网联系(底部邮箱)，我们将及时更正、删除，谢谢
