2011年北京市四中自主招生考试数学试卷
2011年北京市四中自主招生考试数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分）
1．（5分）已知＜cosA＜sin80°，则锐角A的取值范围是
2222
4．（5分）代数式的最小值为
5．（5分）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1至6六个数．连续掷两次，
2
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
327．（5分）多项式6x﹣11x+x+4可分解为．
8．（5分）已知点P（x，y）位于第二象限，并且y≤2x+6，x、y为整数，则点P的个数是．
9．（5分）（2002?黄石）已知⊙O的半径OA=1，弦AB、AC的长分别是
数是15°或75°．
、，则∠BAC的度
3
10．（5分）方程（2007x）﹣2006×2008x﹣1=0的较大根为a，方程x+2006x﹣2007=0的较小根为b，则a﹣b=．
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11．（5分）已知x=
，则x+12x的算术平方根是3．
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12．（5分）（2008?昆明）如图，Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=6．△ABC以点B为中心逆时针旋转，使点C旋转至AB边延长线上的C′处，那么AC边转过的图形（图中阴影部分）的面积是9π．
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三、解答题（共5小题，满分60分）13．（12分）现将一个表面涂满红色的正方体的每条棱十等分，此正方体分割成若干个小正方体．在这些小正方体中，求：
（1）两面涂有红色的小正方体的个数；
（2）任取一个小正方体，各面均无色的小正方体的概率；
（3）若将原正方体每条棱n等分，只有一面涂有红色的小正方体的个数．
14．（12分）已知x、y均为实数，且满足xy+x+y=17，xy+xy=66，求：代数式x+xy+xy+xy+y的值．
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15．（12分）在直角△ABC中，∠C=90°，直角边BC与直角坐标系中的x轴重合，其内切圆的圆心
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坐标为P（0，1），若抛物线y=kx+2kx+1的顶点为A．求：（1）求抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向；（2）用k表示B点的坐标；
（3）当k取何值时，∠ABC=60°？
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16．（12分）如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB．P是OA上的任意一点，BP的延长线交⊙O于点Q，点R在OA的延长线上，且RP=RQ．（1）求证：RQ是⊙O的切线；
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（2）求证：OB=PB?PQ+OP；
（3）当RA≤OA时，试确定∠B的取值范围．
8
17．（12分）平面上有n个点（n≥3，n为自然数），其中任何三点不在同一直线上．证明：一定存在三点，以这三点作为顶点的三角形中至少有一个内角不大于
．
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三、解答题（共5小题，满分60分）
13．（12分）现将一个表面涂满红色的正方体的每条棱十等分，此正方体分割成若干个小正方体．在这些小正方体中，求：
（1）两面涂有红色的小正方体的个数；
（2）任取一个小正方体，各面均无色的小正方体的概率；
（3）若将原正方体每条棱n等分，只有一面涂有红色的小正方体的个数．
14．（12分）已知x、y均为实数，且满足xy+x+y=17，xy+xy=66，求：代数式x+xy+xy+xy+y的值．
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15．（12分）在直角△ABC中，∠C=90°，直角边BC与直角坐标系中的x轴重合，其内切圆的圆心
2坐标为P（0，1），若抛物线y=kx+2kx+1的顶点为A．求：
（1）求抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向；
（2）用k表示B点的坐标；
（3）当k取何值时，∠ABC=60°？
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16．（12分）如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB．P是OA上的任意一点，BP的延长线交⊙O于点Q，点R在OA的延长线上，且RP=RQ．
（1）求证：RQ是⊙O的切线；
22（2）求证：OB=PB?PQ+OP；
（3）当RA≤OA时，试确定∠B的取值范围．
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17．（12分）平面上有n个点（n≥3，n为自然数），其中任何三点不在同一直线上．证明：一定存在三点，以这三点作为顶点的三角形中至少有一个内角不大于．
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