2014年重点高中自主招生考试数学模拟试卷(一)及答案
及答案)
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2014年重点高中自主招生考试数学模拟试卷(一)
班级：姓名：学号：成绩：
一、填空题（本大题共有8小题，每题4分，共32分）1．在△ABC中，∠C＝90°，cosB3
，a＝3，则b＝_______．2
20
2．同时抛掷两枚正方体骰子，所得点数之和为7的概率是_________．a＋b
3．设a＞b＞0，a2＋b2＝4ab的值等于________．
a－b
BE
D
C
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝20?，且AE＝AD，则∠CDE＝________．5．已知实数x、y满足x2－2x＋4y＝5，则x＋2y的最大值为________．
6．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝3，BC＝5，AB＝1，把线段CD绕点D逆时针旋转90°到DE位置，连结AE，则AE的长为_________．7．将正偶数按下表排列：
根据上面的规律，则2006所在行、列分别是_____________．8．如图是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图，若组成这个几何体的小正方体的块数为n，则n的所有可能的值之和为_____________．
主视图
俯视图
E
AC
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（C）第一象限（D）第二象限
10．将直径为64cm的圆形铁皮，做成四个相同圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），
那么每个圆锥容器的高为
（A）15cm（B）17cm（C）163cm（D）16cm
11．甲、乙、丙、丁四名运动员参加4×100米接力赛，甲必须为第一接力棒或第四接力棒的运动员，那
么这四名运动员在比赛过程中的接棒顺序有
（A）3种（B）4种（C）6种（D）12种
12．如图，把一个边长为1的正方形经过三次对折后沿中位线（虚线）剪下，则右图展开得到的图形的
面积为
（A）3
4沿虚线剪开（B）1
2（C）3
8（D）316
13．如图，圆柱形开口杯底部固定在长方体水池底，向水池匀速注入水（倒
在杯外），水池中水面高度是h，注水时间为t，则h与t之间的关系大
致为下图中的
ABCD
15＞x－3?x＋
214．关于x的不等式组?只有4个整数解，则a的取值范围是2x＋2?3x＋a
14（A）－5≤a≤－3141414（B）－5≤a＜－（C）－5＜a≤－（D）－5＜a＜－333
1015．已知如图，则不含阴影部分的矩形的个数是（A）15
（C）25（B）24（D）2681316．在3×3
方格上做填字游戏，要求每行每列及对角线上三个方格中的数
-2-
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字和都等于S，又填在图中三格中的数字如图，若要能填成，则（A）S＝24（B）S＝30（C）S＝31（D）S＝39
三、解答题（本大题共6小题，满分66分）．
17．（本题10分）在“3.15”消费者权益日的活动中，对甲、乙两家商场售后服务的满意度进行了抽查．如
图反映了被抽查用户对两家商场售后服务的满意程度（以下称：用户满意度），分为很不满意、不满意、较满意、很满意四个等级，并依次记为1分、2分、3分、4分．
（1）请问：甲商场的用户满意度分数的众数为______；乙商场的用户满意度分数的众数为_____．（2）分别求出甲、乙两商场的用户满意度分数的平均值（计算结果精确到0.01）．（3）请你根据所学的统计知识，判断哪家商场的用户满意度较高，并简要说明理由．
18．（本题10分）已知，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，使DE＝DC，连接AE、BD．（1）求证：△AGE≌△DAB
（2）过点E作EF∥DB，交BC于点F，连AF，求∠AFE的度数．
B
F
C
E
-3-
.cn
19．（本题10分）某公司开发的960件新产品，需加工后才能投放市场，现有甲、乙两个工厂都想加
工这批产品，已知甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用20天，而乙工厂每天比甲工厂多加工8件产品．在加工过程中，公司需每天支付50元劳务费请工程师到厂进行技术指导．
（1）甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品？
（2）该公司要选择省时又省钱的工厂加工，乙工厂预计甲工厂将向公司报加工费用为每天800元，
请问：乙工厂向公司报加工费用每天最多为多少元时，才可满足公司要求，有望加工这批产品．
20．（本小题满分12分）如图，已知直线y＝－m(x－4)（m＞0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，以
OA为直径作半圆，圆心为C．过A作x轴的垂线AT，Ｍ是线段OB上一动点（与O点不重合），过M点作半圆的切线交直线AT于N，交AB于F，切点为P．连结CN、CM．
（1）证明：∠MCN＝90°；
（2）设OM＝x，AN＝y，求y关于x的函数解析式；
（3）若OM＝1，当m为何值时，直线AB恰好平分梯形OMNA的面积．
-4-
21．（本题12分）已知平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上．（1）若AB＝10，AB与CD间距离为8，AE＝EB，BF＝FC，求△DEF的面积．（2）若△ADE、△BEF、△CDF的面积分别为5、3、4，求△DEF的面积．
22．（本题12分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（1，2）．
（1）若a＝1，抛物线顶点为A，它与x轴交于两点B、C，且△ABC为等边三角形，求b的值．（2）若abc＝4，且a≥b≥c，求｜a｜＋｜b｜＋｜c｜的最小值．
D
F
B
C
参考答案
一．填空题（本大题共有8小题，每题4分，共32分）．
19
1．1234．10°5．6．27．第45行，第13列8．38
62二．选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
9．D10．A11．D12．A13．B14．C15．C16．B三．解答题（本大题共6小题，满分66分）．
17．解：（1）3；3－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－（２分）（2）甲商场抽查用户数为：500＋1000＋2000＋1000＝4500（户）
乙商场抽查用户数为：100＋900＋2200＋1300＝4500（户）－－－－－（３分）所以甲商场满意度分数的平均值＝
500×1＋1000×2＋2000×3＋1000×4
≈2.78（分）－－－－－（５分）
4500
100×1＋900×2＋2200×3＋1300×4
乙商场满意度分数的平均值＝≈3.04（分）
4500
答：甲、乙两商场用户满意度分数的平均值分别为2.78分、3.04分.－－－－－－－－－－－（7分）（3）因为乙商场用户满意度分数的平均值较高(或较满意和很满意的人数较多)，
所以乙商场的用户满意度较高．－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－（10分）
18．解：（1）∵△ABC是等边三角形，DG∥BC，∴△AGD是等边三角形AG＝GD＝AD，∠AGD＝60°
∵DE＝DC，∴GE＝GD＋DE＝AD＋DC＝AC＝AB∵∠AGD＝∠BAD，AG＝AD，
∴△AGE≌△DAB－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－（5分）（2）由（1）知AE＝BD，∠ABD＝∠AEG－－－－－（6分）
∵EF∥DB，DG∥BC，∴四边形BFED是平行四边形－－－－－－－－－－－－－（7分）∴EF＝BD，∴EF＝AE．－－－－－－－－－－－－－－－－－（8分）∵∠DBC＝∠DEF，∴∠ABD＋∠DBC＝∠AEG＋∠DEF，即∠AEF＝∠ABC＝60°（9分）∴△ABC是等边三角形，∠AFE＝60°－－－－－－－－－－－－－－－－－（10分）
19．解：（1）设甲工厂每天加工x件，则乙工厂每天加工（x＋8）件－－－－（1分）
B
F
C
E
960960
由题意得：－20＝－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－（3分）
xx＋8解之得：x1＝－24，x2＝16.
经检验，x1、x2均为所列方程的根，但x1＝－24不合题意，舍去．此时x＋8＝24．答：甲工厂每天加工16件，乙工厂每天加工24件．－－－－－－－－－－（5分）
（2）由（1）可知加工960件产品，甲工厂要60天，乙工厂要40天．所以甲工厂的加工总费用
为60（800＋50）＝51000(元)．－－－－－－－－－－－－（6分）设乙工厂报价为每天m元，则乙工厂的加工总费用为40（m＋50）元．
由题意得：40（m＋50）≤51000，解之得m≤1225－－－－－－－－－（9分）答：乙工厂所报加工费每天最多为1225元时，可满足公司要求，有望加工这批产品．－（10分）
20解（1）证明：∵AT⊥AO，OM⊥AO，AO是⊙C的直径，∴AT、OM是⊙C的切线．又∵MN切⊙C于点P
11
∴∠CMN＝OMN，∠CNMANM－－－（1分）
22∵OM∥AN
∴∠ANM＋∠OMN＝180°
11
∴∠CMN＋∠CNM＝∠OMNANM
22
11
＝∠OMN＋∠ANM)＝90°，∴∠CMN＝90°－－－－－－－－－－－－（3分）22（2）由（1）可知：∠1＋∠2＝90°，而∠2＋∠3＝900，∴∠1＝∠3；
OMOC∴Rt△MOC∽Rt△CAN∴＝－－－－－－－－－－－－－（5分）
ACAN∵直线y＝－m(x–4)交x轴于点A，交y轴于点B，∴A（4，0），∴AC＝CO＝2x24
∵OM＝x，AN＝y，∵＝∴y＝－－－－－－－－－－－－－－－（7分）
2yx（3）∵OM＝1，∴AN＝y＝4，此时S四边形ANMO＝10
∵直线AB平分梯形ANMO的面积，∴△ANF的面积为5－－－－－－－－－－－－－－（8分）15
过点F作FG⊥AN于G，则FG·AN＝5，∴FG＝22
53
∴点F的横坐标为4－＝－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－（9分）
223
∵M（0，1），N（4，4）∴直线MN的解析式为y＝x＋1－－10分）
4
∵F点在直线MN上，∴F点的纵坐标为y＝
17317
∴F（－－－－－－－－－（11分）828
17317
∵点F又在直线y＝－m(x－4)上∴＝－m(－4)∴m＝－－－－－－－－（12分）
822021．解：⑴∵AB＝10，AB与CD间距离为8，∴SABCD＝80－－－－－－－（1分）∵AE＝BE，BF＝CF．
111
∴S△AED＝SABCD，S△BEF＝SABCD，S△DCF＝SABCD
484
D
C
3
∴S△DEF＝SABCD－S△AED－S△BEF－S△DCF＝ABCD＝30－－－－－－（4分）
88
⑵设AB＝x，AB与CD间距离为y，由S△DCF＝4知F到CD的距离为－－－－－－－－－（5分）
x818
则F到AB的距离为y－，∴S△BEF＝（y－）＝3，－－－－－－－（7分）
x2xx(xy－14)6x6x
∴BE＝AE＝x－
xy－8xy－8xy－8
11x(xy－14)
S△AED＝AE×y＝×y＝5，得（xy）2－24xy＋80＝0，xy＝20或4－－－－（10分）
22xy－8∵SABCD＝xy＞S△AED＝5，∴xy＝4不合，∴xy＝20
S△DEF＝SABCD－S△AED－S△BEF－S△DCF＝20－5－3－4＝8－－－－－－－－－－（12分）
22．解：⑴由题意，a＋b＋c＝2，∵a＝1，∴b＋c＝1－－－－－－－－－－－－（1分）bb2
抛物线顶点为Ac－B（x1，0），C（x2，0），
24∵x1＋x2＝－b，x1x2＝c，△＝b2－4c＞0
∴｜BC｜＝｜x1－x2|x1－x2|＝（x1＋x2）－4x1x2＝b－4c
b23∵△ABC为等边三角形，∴－c＝b－4c－－－－－－－－－－－－－（4分）
42即b2－4c＝2b－4c，∵b2－4c＞0，∴b－4c＝23
∵c＝1－b，∴b2＋4b－16＝0，b＝－2±25，所求b值为－2±25－－－（6分）⑵∵a≥b≥c，若a＜0，则b＜0，c＜0，a＋b＋c＜0，与a＋b＋c＝2矛盾.∴a＞0．－－（7分）44
∵b＋c＝2－a，bc＝，∴b、c是一元二次方程x2－(2－a)x＋＝0的两实根．
aa
4
∴△＝（2－a）2－≥0，∴a3－4a2＋4a－16≥0，即（a2＋4）(a－4)≥0，故a≥4－－－（9分）
a∵abc＞0，∴a、b、c为全大于０或一正二负．
①若a、b、c均大于０，∵a≥4，与a＋b＋c＝2矛盾；－－－－－－（10分）
②若a、b、c为一正二负，则a＞0，b＜0，c＜0，
则｜a｜＋｜b｜＋｜c｜＝a－b－c＝a－(2－a)＝2a－2，－－－－－－－－－－－（11分）∵a≥4，故2a－2≥6，当a＝4，b＝c＝－1时，满足题设条件且使不等式等号成立．故｜a｜＋｜b｜＋｜c｜的最小值为6．－－－－－－－－－－（12分）
参考答案
一．填空题（本大题共有8小题，每题4分，共32分）．
19
1．1234．10°5．6．27．第45行，第13列8．38
62二．选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
9．D10．A11．D12．A13．B14．C15．C16．B三．解答题（本大题共6小题，满分66分）．
17．解：（1）3；3－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－（２分）（2）甲商场抽查用户数为：500＋1000＋2000＋1000＝4500（户）
乙商场抽查用户数为：100＋900＋2200＋1300＝4500（户）－－－－－（３分）所以甲商场满意度分数的平均值＝
500×1＋1000×2＋2000×3＋1000×4
≈2.78（分）－－－－－（５分）
4500
100×1＋900×2＋2200×3＋1300×4
乙商场满意度分数的平均值＝≈3.04（分）
4500
答：甲、乙两商场用户满意度分数的平均值分别为2.78分、3.04分.－－－－－－－－－－－（7分）（3）因为乙商场用户满意度分数的平均值较高(或较满意和很满意的人数较多)，
所以乙商场的用户满意度较高．－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－（10分）
18．解：（1）∵△ABC是等边三角形，DG∥BC，∴△AGD是等边三角形AG＝GD＝AD，∠AGD＝60°
∵DE＝DC，∴GE＝GD＋DE＝AD＋DC＝AC＝AB∵∠AGD＝∠BAD，AG＝AD，
∴△AGE≌△DAB－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－（5分）（2）由（1）知AE＝BD，∠ABD＝∠AEG－－－－－（6分）
∵EF∥DB，DG∥BC，∴四边形BFED是平行四边形－－－－－－－－－－－－－（7分）∴EF＝BD，∴EF＝AE．－－－－－－－－－－－－－－－－－（8分）∵∠DBC＝∠DEF，∴∠ABD＋∠DBC＝∠AEG＋∠DEF，即∠AEF＝∠ABC＝60°（9分）∴△ABC是等边三角形，∠AFE＝60°－－－－－－－－－－－－－－－－－（10分）
19．解：（1）设甲工厂每天加工x件，则乙工厂每天加工（x＋8）件－－－－（1分）
B
F
C
E
960960
由题意得：－20＝－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－（3分）
xx＋8解之得：x1＝－24，x2＝16.
经检验，x1、x2均为所列方程的根，但x1＝－24不合题意，舍去．此时x＋8＝24．答：甲工厂每天加工16件，乙工厂每天加工24件．－－－－－－－－－－（5分）
（2）由（1）可知加工960件产品，甲工厂要60天，乙工厂要40天．所以甲工厂的加工总费用
为60（800＋50）＝51000(元)．－－－－－－－－－－－－（6分）设乙工厂报价为每天m元，则乙工厂的加工总费用为40（m＋50）元．
由题意得：40（m＋50）≤51000，解之得m≤1225－－－－－－－－－（9分）答：乙工厂所报加工费每天最多为1225元时，可满足公司要求，有望加工这批产品．－（10分）
20解（1）证明：∵AT⊥AO，OM⊥AO，AO是⊙C的直径，∴AT、OM是⊙C的切线．又∵MN切⊙C于点P
11
∴∠CMN＝OMN，∠CNMANM－－－（1分）
22∵OM∥AN
∴∠ANM＋∠OMN＝180°
11
∴∠CMN＋∠CNM＝∠OMNANM
22
11
＝∠OMN＋∠ANM)＝90°，∴∠CMN＝90°－－－－－－－－－－－－（3分）22（2）由（1）可知：∠1＋∠2＝90°，而∠2＋∠3＝900，∴∠1＝∠3；
OMOC∴Rt△MOC∽Rt△CAN∴＝－－－－－－－－－－－－－（5分）
ACAN∵直线y＝－m(x–4)交x轴于点A，交y轴于点B，∴A（4，0），∴AC＝CO＝2x24
∵OM＝x，AN＝y，∵＝∴y＝－－－－－－－－－－－－－－－（7分）
2yx（3）∵OM＝1，∴AN＝y＝4，此时S四边形ANMO＝10
∵直线AB平分梯形ANMO的面积，∴△ANF的面积为5－－－－－－－－－－－－－－（8分）15
过点F作FG⊥AN于G，则FG·AN＝5，∴FG＝22
53
∴点F的横坐标为4－＝－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－（9分）
223
∵M（0，1），N（4，4）∴直线MN的解析式为y＝x＋1－－10分）
4
∵F点在直线MN上，∴F点的纵坐标为y＝
17317
∴F（－－－－－－－－－（11分）828
17317
∵点F又在直线y＝－m(x－4)上∴＝－m(－4)∴m＝－－－－－－－－（12分）
822021．解：⑴∵AB＝10，AB与CD间距离为8，∴SABCD＝80－－－－－－－（1分）∵AE＝BE，BF＝CF．
111
∴S△AED＝SABCD，S△BEF＝SABCD，S△DCF＝SABCD
484
D
C
3
∴S△DEF＝SABCD－S△AED－S△BEF－S△DCF＝ABCD＝30－－－－－－（4分）
88
⑵设AB＝x，AB与CD间距离为y，由S△DCF＝4知F到CD的距离为－－－－－－－－－（5分）
x818
则F到AB的距离为y－，∴S△BEF＝（y－）＝3，－－－－－－－（7分）
x2xx(xy－14)6x6x
∴BE＝AE＝x－
xy－8xy－8xy－8
11x(xy－14)
S△AED＝AE×y＝×y＝5，得（xy）2－24xy＋80＝0，xy＝20或4－－－－（10分）
22xy－8∵SABCD＝xy＞S△AED＝5，∴xy＝4不合，∴xy＝20
S△DEF＝SABCD－S△AED－S△BEF－S△DCF＝20－5－3－4＝8－－－－－－－－－－（12分）
22．解：⑴由题意，a＋b＋c＝2，∵a＝1，∴b＋c＝1－－－－－－－－－－－－（1分）bb2
抛物线顶点为Ac－B（x1，0），C（x2，0），
24∵x1＋x2＝－b，x1x2＝c，△＝b2－4c＞0
∴｜BC｜＝｜x1－x2|x1－x2|＝（x1＋x2）－4x1x2＝b－4c
b23∵△ABC为等边三角形，∴－c＝b－4c－－－－－－－－－－－－－（4分）
42即b2－4c＝2b－4c，∵b2－4c＞0，∴b－4c＝23
∵c＝1－b，∴b2＋4b－16＝0，b＝－2±25，所求b值为－2±25－－－（6分）⑵∵a≥b≥c，若a＜0，则b＜0，c＜0，a＋b＋c＜0，与a＋b＋c＝2矛盾.∴a＞0．－－（7分）44
∵b＋c＝2－a，bc＝，∴b、c是一元二次方程x2－(2－a)x＋＝0的两实根．
aa
4
∴△＝（2－a）2－≥0，∴a3－4a2＋4a－16≥0，即（a2＋4）(a－4)≥0，故a≥4－－－（9分）
a∵abc＞0，∴a、b、c为全大于０或一正二负．
①若a、b、c均大于０，∵a≥4，与a＋b＋c＝2矛盾；－－－－－－（10分）
②若a、b、c为一正二负，则a＞0，b＜0，c＜0，
则｜a｜＋｜b｜＋｜c｜＝a－b－c＝a－(2－a)＝2a－2，－－－－－－－－－－－（11分）∵a≥4，故2a－2≥6，当a＝4，b＝c＝－1时，满足题设条件且使不等式等号成立．故｜a｜＋｜b｜＋｜c｜的最小值为6．－－－－－－－－－－（12分）
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