师大附中2013年高一自主招生考试数学测试题及参考答案

师大附中高一分班考试

数学测试题

本卷满分150分考试时间120分钟

一、选择题（每小题6分，共30分。每小题均给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填均得0分）

3?1?1、下列图中阴影部分面积与算式?????2?1的结果相同的是??????【】4?2?

2、下列命题中正确的个数有???????????????????????【】

①实数不是有理数就是无理数；②a＜a＋a；③121的平方根是±11；④在实数范围内，

非负数一定是正数；⑤两个无理数之和一定是无理数

A.1个B.2个C.3个D.4

3、某家庭三口人准备在“五一”期间参加旅行团外出旅游。甲旅行社告知：父母买全票，

女儿按

半价优惠；乙旅行社告知：家庭旅行可按团体票计价，即每人均按八折收费。若这两家旅行社每人的原标价相同，那么??????????????????????????

【】

A、甲比乙更优惠B、乙比甲更优惠C、甲与乙相同D、与原标价有关

4、如图，∠ACB＝60○，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为

【】A、2πB、πC、23D、4

5、平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有m个，最少有n个，

则m?n

等于?????????????????????????????【】

A、36B、37C、38D、39

二、填空题（每小题6分，共48分）

1、甲、乙两人骑自行车，同时从相距65

千米的两地相向而行，甲、乙两人的速度和为12

32.5千米/时，则经过

2、若化简?x?x2?8x?16的结果为2x?5，则x的取值范围是。

3、某校把学生的笔试、实践能力和成长记录三项成绩分别按50％、20％和30％的比例计入学期总评成绩，90分以上为优秀。甲、乙、丙三人的各项成绩（单位：分）如下表，

的图像在第一象限内的交点，x

点B在x轴的负半轴上，且OA?OB（O为坐标原点），则?AOB的面积4、已知点A是一次函数y?x的图像与反比例函数y?为。

5、如果多项式x2?px?12可以分解成两个一次因式的积，那么整数p的值是。

6、如右图所示，P是边长为1的正三角形ABC的BC边上一点，从P向AB作垂线PQ，Q为垂足。延长QP与AC的延长线交于R，设BP=x（0?x?1），△BPQ与△CPR的面积之和为y，把y表示为x的函数是。

7、已知x1，x2为方程x?4x?2?0的两实根，则2

x13?14x2

?55?

8、小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，

如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3

人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多道。

三、解答题（本大题6小题，共72分）

1、（10分）在?ABC中，AB?AC，?A?45?。AC的垂直平分线分别交AB、AC于D、E两点，连结CD，如果AD?1，求：tan?BCD的值。

2

2、（12分）某公司为了扩大经营，决定购买6台机器用于生产活塞。现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器的日生产活塞数量如下表所示。经过预算，

⑴按该公司的要求，可以有几种购买方案？

⑵若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，为了节约资金，应选择哪种购买方案？

3、（12分）如图所示，已知边长为4的正方形钢板有一个角锈蚀，其中AF?2，BF?1。为了合理利用这块钢板．将在五边形EABCD内截取一个矩形块MDNP，使点P在AB上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率。

4、（12分）如图所示等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD?CB,对角线AC与BD交于O,?ACD?60,点S、P、Q分别是OD、OA、BC的中点。求证：△PQS是等边三角形。

5、（12分）如右图，直线OB是一次函数y?2x的图像，点A的坐标是（0，2），点C在直线OB上且△ACO为等腰三角形，求C点坐标。

6、（14分）已知关于x的方程(m2?1)x2?3(3m?1)x?18?0有两个正整数根（m是整数）。

△ABC的三边a、b、c满足c?23，m?am?8a?0，m?bm?8b?0。求：⑴m的值；⑵△ABC的面积。

2

2

2

2

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数学试题参考答案

一、1、B，2、B，3、B，4、C，5、B

二、1、22、1?x?43、甲、乙4、25、?7,?8,?136

、78、20

三1、有已知可得?ADE和?CDE均为等腰直角三角形，计算得BD?角形BCD中，tan?BCD?

x2?4x?2)7、8

2?1，在直角三

BD

?2?1。CD

2、（1）设购买x台甲机器，则7x?5(6?x)?34，所以x?2。即x取0、1、2三个值，有三种购买方案：①不购买甲机器，购6台乙机器；②购买1台甲机器，5台乙机器；③购买2台甲机器，购4台乙机器。

（2）按方案①，所需资金6?5?30（万元），日产量为6?60?360（个）；按方案②，所需资金1?7?5?5?32（万元），日产量为1?100?5?60?400（个）；按方案③，所需资金为2?7?5?4?34（万元），日产量为2?100?4?60?440（个）。所以，选择方案②。

3、如图所示，为了表达矩形MDNP的面积，设DN＝x，PN＝y，则面积S＝xy，①因为点P在AB上，由△APQ∽△ABF得

4?y1

?，即x?10?2y．

2?(4?x)2

代入①，得S?(10?2y)y??2y2?10y，

EM

A

P

Q

FB

D5225

即S??2(y?)?．

22

55

因为3≤y≤4，而y＝不在自变量的取值范围内，所以y＝不是最值点，

22

N

C

当y＝3时，S＝12；当y＝4时，S＝8．故面积的最大值是S＝12．

此时，钢板的最大利用率是80％。4、连CS。

∵ABCD是等腰梯形，且AC与BD相交于O，

∴AO=BO,CO=DO.

∵∠ACD=60°，∴△OCD与△OAB均为等边三角形.∵S是OD的中点，∴CS⊥DO.

1

在Rt△BSC中，Q为BC中点，SQ是斜边BC的中线，∴SQ=BC.

2

同理BP⊥AC.

1

在Rt△BPC中，PQ=BC.

2

11

又SP是△OAD的中位线，∴SP=AD=BC.

22

∴SP=PQ=SQ.

故△SPQ为等边三角形.

5、若此等腰三角形以OA为一腰，且以A为顶点，则AO=AC1=2.

8816

设C1（x,2x），则得x2?(2x?2)2?22，解得x?，得C1（,）

555

若此等腰三角形以OA为一腰，且以O为顶点，则OC2=OC3=OA=2.设C2（x',2x'），则得x'2?(2x')2?

22，解得x'?又由点C3与点C2关于原点对称，得C3

（得C2

11

若此等腰三角形以OA为底边，则C4的纵坐标为1，从而其横坐标为，得C4（,1）.

22

所以，满足题意的点C有4个，坐标分别为：1816（,），

，

（，C4（,1）2556、（1）方程有两个实数根，则m?1?0，解方程得

2

x1?

?m?0,1,2,5,?m?1?1,2,3,6,63

，x2?．由题意，得?即?m?1m?1m?1?1,3,m?2,4.??

2

2

故m?2．

（2）把m?2代入两等式，化简得a?4a?2?0，b?4b?2?0，当a?b时，a?b?2?2．

2

当a?b时，a、b是方程x?4x?2?0的两根，而△＞0，由韦达定理得，

a?b?4＞0，ab?2＞0，则a＞0、b＞0．

2222

①a?b，c?2时，由于a?b?(a?b)?2ab?16?4?12?c

故△ABC为直角三角形，且∠C＝90°，S△ABC＝

1

ab?1．2

②a?b?2?2，c?2时，因2(2?2)?23，故不能构成三角形，不合题意，舍去．

③a?b?2?2，c?2时，因2(2?2)＞23，故能构成三角形．

1

S△ABC

＝?2

综上，△ABC的面积为1或9?2．

5、（12分）如右图，直线OB是一次函数y?2x的图像，点A的坐标是（0，2），点C在直线OB上且△ACO为等腰三角形，求C点坐标。

6、（14分）已知关于x的方程(m2?1)x2?3(3m?1)x?18?0有两个正整数根（m是整数）。

△ABC的三边a、b、c满足c?23，m?am?8a?0，m?bm?8b?0。求：⑴m的值；⑵△ABC的面积。

2

2

2

2

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数学试题参考答案

一、1、B，2、B，3、B，4、C，5、B

二、1、22、1?x?43、甲、乙4、25、?7,?8,?136

、78、20

三1、有已知可得?ADE和?CDE均为等腰直角三角形，计算得BD?角形BCD中，tan?BCD?

x2?4x?2)7、8

2?1，在直角三

BD

?2?1。CD

2、（1）设购买x台甲机器，则7x?5(6?x)?34，所以x?2。即x取0、1、2三个值，有三种购买方案：①不购买甲机器，购6台乙机器；②购买1台甲机器，5台乙机器；③购买2台甲机器，购4台乙机器。

（2）按方案①，所需资金6?5?30（万元），日产量为6?60?360（个）；按方案②，所需资金1?7?5?5?32（万元），日产量为1?100?5?60?400（个）；按方案③，所需资金为2?7?5?4?34（万元），日产量为2?100?4?60?440（个）。所以，选择方案②。

3、如图所示，为了表达矩形MDNP的面积，设DN＝x，PN＝y，则面积S＝xy，①因为点P在AB上，由△APQ∽△ABF得

4?y1

?，即x?10?2y．

2?(4?x)2

代入①，得S?(10?2y)y??2y2?10y，

EM

A

P

Q

FB

D5225

即S??2(y?)?．

22

55

因为3≤y≤4，而y＝不在自变量的取值范围内，所以y＝不是最值点，

22

N

C

当y＝3时，S＝12；当y＝4时，S＝8．故面积的最大值是S＝12．

此时，钢板的最大利用率是80％。4、连CS。

∵ABCD是等腰梯形，且AC与BD相交于O，

∴AO=BO,CO=DO.

∵∠ACD=60°，∴△OCD与△OAB均为等边三角形.∵S是OD的中点，∴CS⊥DO.

1

在Rt△BSC中，Q为BC中点，SQ是斜边BC的中线，∴SQ=BC.

2

同理BP⊥AC.

1

在Rt△BPC中，PQ=BC.

2

11

又SP是△OAD的中位线，∴SP=AD=BC.

22

∴SP=PQ=SQ.

故△SPQ为等边三角形.

5、若此等腰三角形以OA为一腰，且以A为顶点，则AO=AC1=2.

8816

设C1（x,2x），则得x2?(2x?2)2?22，解得x?，得C1（,）

555

若此等腰三角形以OA为一腰，且以O为顶点，则OC2=OC3=OA=2.设C2（x',2x'），则得x'2?(2x')2?

22，解得x'?又由点C3与点C2关于原点对称，得C3

（得C2

11

若此等腰三角形以OA为底边，则C4的纵坐标为1，从而其横坐标为，得C4（,1）.

22

所以，满足题意的点C有4个，坐标分别为：1816（,），

，

（，C4（,1）2556、（1）方程有两个实数根，则m?1?0，解方程得

2

x1?

?m?0,1,2,5,?m?1?1,2,3,6,63

，x2?．由题意，得?即?m?1m?1m?1?1,3,m?2,4.??

2

2

故m?2．

（2）把m?2代入两等式，化简得a?4a?2?0，b?4b?2?0，当a?b时，a?b?2?2．

2

当a?b时，a、b是方程x?4x?2?0的两根，而△＞0，由韦达定理得，

a?b?4＞0，ab?2＞0，则a＞0、b＞0．

2222

①a?b，c?2时，由于a?b?(a?b)?2ab?16?4?12?c

故△ABC为直角三角形，且∠C＝90°，S△ABC＝

1

ab?1．2

②a?b?2?2，c?2时，因2(2?2)?23，故不能构成三角形，不合题意，舍去．

③a?b?2?2，c?2时，因2(2?2)＞23，故能构成三角形．

1

S△ABC

＝?2

综上，△ABC的面积为1或9?2．

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数学试题参考答案

一、1、B，2、B，3、B，4、C，5、B

二、1、22、1?x?43、甲、乙4、25、?7,?8,?136

、78、20

三1、有已知可得?ADE和?CDE均为等腰直角三角形，计算得BD?角形BCD中，tan?BCD?

x2?4x?2)7、8

2?1，在直角三

BD

?2?1。CD

2、（1）设购买x台甲机器，则7x?5(6?x)?34，所以x?2。即x取0、1、2三个值，有三种购买方案：①不购买甲机器，购6台乙机器；②购买1台甲机器，5台乙机器；③购买2台甲机器，购4台乙机器。

（2）按方案①，所需资金6?5?30（万元），日产量为6?60?360（个）；按方案②，所需资金1?7?5?5?32（万元），日产量为1?100?5?60?400（个）；按方案③，所需资金为2?7?5?4?34（万元），日产量为2?100?4?60?440（个）。所以，选择方案②。

3、如图所示，为了表达矩形MDNP的面积，设DN＝x，PN＝y，则面积S＝xy，①因为点P在AB上，由△APQ∽△ABF得

4?y1

?，即x?10?2y．

2?(4?x)2

代入①，得S?(10?2y)y??2y2?10y，

EM

A

P

Q

FB

D5225

即S??2(y?)?．

22

55

因为3≤y≤4，而y＝不在自变量的取值范围内，所以y＝不是最值点，

22

N

C

当y＝3时，S＝12；当y＝4时，S＝8．故面积的最大值是S＝12．

此时，钢板的最大利用率是80％。4、连CS。

∵ABCD是等腰梯形，且AC与BD相交于O，

∴AO=BO,CO=DO.

∵∠ACD=60°，∴△OCD与△OAB均为等边三角形.∵S是OD的中点，∴CS⊥DO.

1

在Rt△BSC中，Q为BC中点，SQ是斜边BC的中线，∴SQ=BC.

2

同理BP⊥AC.

1

在Rt△BPC中，PQ=BC.

2

11

又SP是△OAD的中位线，∴SP=AD=BC.

22

∴SP=PQ=SQ.

故△SPQ为等边三角形.

5、若此等腰三角形以OA为一腰，且以A为顶点，则AO=AC1=2.

8816

设C1（x,2x），则得x2?(2x?2)2?22，解得x?，得C1（,）

555

若此等腰三角形以OA为一腰，且以O为顶点，则OC2=OC3=OA=2.设C2（x',2x'），则得x'2?(2x')2?

22，解得x'?又由点C3与点C2关于原点对称，得C3

（得C2

11

若此等腰三角形以OA为底边，则C4的纵坐标为1，从而其横坐标为，得C4（,1）.

22

所以，满足题意的点C有4个，坐标分别为：1816（,），

，

（，C4（,1）2556、（1）方程有两个实数根，则m?1?0，解方程得

2

x1?

?m?0,1,2,5,?m?1?1,2,3,6,63

，x2?．由题意，得?即?m?1m?1m?1?1,3,m?2,4.??

2

2

故m?2．

（2）把m?2代入两等式，化简得a?4a?2?0，b?4b?2?0，当a?b时，a?b?2?2．

2

当a?b时，a、b是方程x?4x?2?0的两根，而△＞0，由韦达定理得，

a?b?4＞0，ab?2＞0，则a＞0、b＞0．

2222

①a?b，c?2时，由于a?b?(a?b)?2ab?16?4?12?c

故△ABC为直角三角形，且∠C＝90°，S△ABC＝

1

ab?1．2

②a?b?2?2，c?2时，因2(2?2)?23，故不能构成三角形，不合题意，舍去．

③a?b?2?2，c?2时，因2(2?2)＞23，故能构成三角形．

1

S△ABC

＝?2

综上，△ABC的面积为1或9?2．

1在Rt△BPC中，PQ=BC.2

11又SP是△OAD的中位线，∴SP=AD=BC.22

∴SP=PQ=SQ.

故△SPQ为等边三角形.

5、若此等腰三角形以OA为一腰，且以A为顶点，则AO=AC1=2.

8816设C1（x,2x），则得x2?(2x?2)2?22，解得x?，得C1（,）555

若此等腰三角形以OA为一腰，且以O为顶点，则OC2=OC3=OA=2.

设C2（x',2x'），则得x'2?(2x')2?

22，解得x'?

又由点C3与点C2关于原点对称，得C3

（得C2

11若此等腰三角形以OA为底边，则C4的纵坐标为1，从而其横坐标为，得C4（,1）.22

所以，满足题意的点C有4个，坐标分别为：1816（,），

，

（，C4（,1）2556、（1）方程有两个实数根，则m?1?0，解方程得2

x1??m?0,1,2,5,?m?1?1,2,3,6,63，x2?．由题意，得?即?m?1m?1m?1?1,3,m?2,4.??

22故m?2．（2）把m?2代入两等式，化简得a?4a?2?0，b?4b?2?0，

当a?b时，a?b?2?2．

2当a?b时，a、b是方程x?4x?2?0的两根，而△＞0，由韦达定理得，

a?b?4＞0，ab?2＞0，则a＞0、b＞0．

2222①a?b，c?2时，由于a?b?(a?b)?2ab?16?4?12?c

故△ABC为直角三角形，且∠C＝90°，S△ABC＝1ab?1．2

②a?b?2?2，c?2时，因2(2?2)?23，故不能构成三角形，不合题

意，舍去．

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③a?b?2?2，c?2时，因2(2?2)＞23，故能构成三角形．

1S△ABC

＝?2

综上，△ABC的面积为1或9?2．

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