2004-2014北大清华等自主招生考试数学试题汇编(word)(无答案)

2004-2013北大清华等自主招生考试数学试题

2004年名牌大学自主招生考试试题(l)

适用高校：复旦大学

一、填空题(每题8分，共80分)

1

．设x8?1?(x42?1)(x4?ax2?1)，则.

2．已知|5x+3|+|5x?4|=7，则x的取值范围是.

x2y2

3.椭圆??1内接矩形的周长最大值是.169

4.12只手套(左右有区别)形成6双不同的搭配,要从中取出6只正好能形成2双,有种取法．

5．已知等比数列?an?中a1=3,，且第l项至第8项的几何平均数为9，则第3项为

6．若x2?(a?1)x?a?0的所有整数解之和为27，则实数a的取值范围是(x?4)2y2x2y2

??1,则?的最大值为.7．己知4949

28．设x1、x2是方程x?xsin?＋cos?=0的两个实数解，那么arctanx1+arctanx23

535

9.方程z?z的非零解是.

10．方程y?21?x

1?x3的值域是.

二、解答题(每题15分,共120分)

1.解方程

:log5(x?1.

2.已知sin(???)?

3．已知过两抛物线C1：x＋1=(y?1)2，及C2：(y?1)2＝?4x?a+11的一个交点的两条切线互相垂直，求a的值．

124?,sin(???)??,且??0,??0,????,求tan2?.1352

4．若存在M,使任意x∈D(D为函数f(x)的定义域)，都有|f(x)|≤M．则称函数f(x)有

11?1?界,函数f(x)=sin在x??0,?上是否有界？xx?2?

5.求证

:1

6.已知E是棱长为a的正方体ABCD?A1BC11D1的棱AB的中点,求点B到平面A1EC的距离.

7.比较log2425与log2526的大小,并说明理由.

8.已知数列?an?,?bn?满足an?1??an?2bn,且bn?1?6an?6bn,又a1?2,b1?4,

求:(1)an,bn,;(2)1imliman.n??bn

2004年名牌大学自主招生考试试题(2)

适用高校：上海交通大学

一、填空题(每题4分,共40分)

1．已知x、y、z是作负整数,且x+y+z=10，x+2y+3z=30，则x+5y+3z的取值范围是

2．长为1的钢丝折成三段与另一墙面围成封闭矩形，则矩形面积的最大值是.

3

．函数y?0?x????的值域是.2?

4．已知三角形又边的长a、b、c均为正整数，且a≤b≤c，b=n，则满足条件的三角形r的个数为5．设x2+ax+b和x2+bx+c的最大公因式为x+1，最小公倍式为x3+(c?1)x2+(b+3)x+d，则(a,b.c,d)=

6．已知

1?a?

?|x|的相异实根的个数是.

8182004?36?7．整数?7的个位数是8．已知数列{an}满足a1=l,a2=2,且an?2?3an?1?2an,则a2004.

9．在n×n的正方格中,任意取得的长方形(长方形的边与正方格的边平行或重合)是正方形的概率是.

10．已知6xyzabc?7abcxyz，则xyzabc?.

二、解答题(本大题共60分)

1.已知矩形的长、宽分别为a、b,现在把矩形翻折,使矩形的对顶点重合,求所得折痕的长.

2.某二项式展开式中,相邻a(a≥3,a∈N+)项的二项式系数之比为1:2:3:?:a,求二项式的次数与a的值,以及各项的二项式系数.

3.已知f(x)=ax?x?(5?8a)x?6x?9a,证明:432

(1)恒有实数x,使f(x)=0,

(2)存在实数x，使f(x)的值恒不为0.

1?x4.已知f1(x)=,对于一切正整数n,都有fn?1(x)?f1[fn(x)],且f36(x)?f6(x),求1?x

f28(x).

5.对于两条垂直直线和一个椭圆,已知椭圆无论如何滑动都与两条直线相切,求椭圆中心的轨迹.

6．已知｛an｝是公差为6的等差数列，bn?1?an?1?an(n∈N+).

(l)用a1、b1、n表示数｛an｝的通项公式；

(2)若a1＝b1=a，a∈[27,33]，求an的最小值及取最小值时n的值．

2005年名牌大学自主招生考试试题(l)

适用高校：复旦大学

一、填空题(每题5分,共50分)

1．已知集合A={x|log2(x2?x?1)?0,x?R},B={x|2x?21?x?1,x?R},则AeR.

2.设数x满足x＋11300=?1,则x?300.xx

3．圆?

＝??5cos?的圆心的极坐标为,其中??[0,2?).

4．设抛物线y=2x2+2ax+a2与直线y=x+1交于A，B两点,当|AB|最大时,a＝.

5

．计算：.n??6．化简：l+3+6＋…＋n(n?1).2

7．一个班有20个学生，其中有3个女生，抽4个人去参观展览馆，恰好抽到l个女生的概率为.

8．写出31000在十进制中的最后4位.

9．设定义在R上的函数f(x)满足f(x)+2f?

10.函数y＝?x?2002??=4015?x(x≠1),则.x?1??1?sinx的最大值是.2?cosx

二、解答(本大题共70分)

x2y2

1.在四分之一个椭圆2?2?1(x?0,y?0,a,b?0)上取一点P,使过点P椭圆的切线与坐标轴所成ab

的三角形的面积最小.

2.在?ABC中,已知tanA:tanB:tanC?1:2:3,求AC.AB

3．在单位正方体ABCD?A1B1C1D1中,E、F、G分别是AD、AA1、A1B1的中点,求：(l)点B到面EFG的距离；(2)二而角G?EF?D1的平面角?.

4

的实数根．

5.

已知sin??cos??a(0?a?,求sin??cos?关于a的表达式.nn

6．设直线l与双曲线xy=l交于P、Q两点，直线l与x轴交于点A,与y轴交于点B,求证：|AP|=|BQ|.

4x?1?7．已知定义在R上的函数f(x)=x,Sn?f???4?2?n??2?f????n?

11??S2S3?n?1??f??,n=1,2,3?,n???1?M?Sn?1(1)求Sn；(2)是否存在常数M>0对，对任意n?2,有

2005年名牌大学自主招生考试试题(2)

适用高校：上海交通大学

一、填空题(每题5分，共

50分)

1.已知方程x?px?2144=0(p?R)的两根x1,x2满足x1?x2?2,则.22p

2.设sinx?cosx?8841???,x??0,?,则.128?2?

n?1?1?3.已知n?Z,且?1?

??n?1????1???2004?2004,则4．如图，将3个12cm×12cm的正方形沿邻边的中点剪开，分成两部分，将这6部分接在一个边长为

6

.

二、解答题(本大题共50分)

1.已知方程x3+ax2+bx＋c＝0的三根分别为a、b、c，且a、b、c是不全为零的有理数,求a、b、c的值．

2．是否存在三边为连续自然数的三角形，使得

(l)最大角是最小角的两倍？

(2)最大角是最小角的三倍？

若存在，分别求出该三角形；若不存在，请说明理由．

ax2?8x?b3．已知函数y=的最大值为9，最小值为1．求实数a、b的值2x?1

4.已知月利率为y,采用等额还款方式,若本金为1万元,试推导每月等额还款金额m关于y的函数关系式(假设贷款时间为2年).

5．对于数列?an?:1,3,3,3,5,5,5,5,5,?,即正奇数k有k个·是否存在整数r，s，t，使得对于任意正整数n,

都有an?r?t恒成立([x]表示不超过x的最大整数)?

2006年名牌大学自主招生考试试题(l)

适用高校：复旦大学

选择题(共150分，每题5分,答对得5分，答错例扣2分，不答得0分)

1．在(x2?110)的展开式中系数ZD的项是_____.x

A．第4、6项B．第5、6项C．第5、7项D．第6、7项

2．设函数y=?(x)对一切实数x均满足?(5+x)=?(5?x)，且方程?(x)=0恰好有6个不同的实根，则这6个实根的和为____.

A．10B．12C．18D．30

3．若非空集合X=｛x｜a+1≤x≤3a?5｝，Y=｛x｜1≤x≤16｝，则使得X?X∪Y成立的所有a的集合是_____.

A．｛a｜0≤a≤7｝B．｛a｜3≤a≤7｝C．｛a｜a≤7｝D．空集

4．设z为复数，E=｛z｜(z?1)2=|z?1|2｝，则下列___是正确的

A．E={纯虚数}B．E={实数}

C．{实数}?E?{复数}D．E={复数}

(y?1)2

5．把圆x+(y?1)=1与椭圆x+=1的公共点，用线段连接起来所得到的图形为_____.9222A．线段B．等边三角形C．不等边三角形D．四边形

6．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若

1，则AB1与C1B所成的角的大小是___.

A．60°B．75°C．90°D．105°

在最合理的安排下，获得的最大利润是______百元.

A．58B．60C．62D．64

8．若向量a+3b垂直于向量7a?5b，并且向量a?4b垂直于向量7a?2b，则向量a与b的夹角为A．????；B．；C．；D．.2346

9．复旦大学外语系某年级举行一次英语口语演讲比赛，共有十人参赛，其中一班有三位，二班有两位，其它班有五位.若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班的三位同学恰好演讲序号相连.问二班的两位同学的演讲序号不相连的概率是____.

A．1111B．C．

D．20406090

310．已知sin?，cos?是关于x

的方程x2?αx+α=0的两个根，这里α∈R.则sin3?+cos?=___.

A．?

1B．

C．?

D．2

11．设z1，z2为一对共轭复数，如果|z1?z2z1为实数，那么|z1|=|z2|=____.2z2

A

B．2C．3D12．若四面体的一条棱长是x，其余棱长都是1，体积是V(x)，则函数V(x)在其定义域上为____.

A．增函数但无最大值

B．增函数且有最大值

C．不是增函数且无最大值D．不是增函数但有最大值

13．下列正确的不等式是____.

A．

16<k?120120；

B．18<；k?1

120；D．22<k?1C．

20<k?120

14．设{αn}是正数列，其前n项和为Sn，满足：对一切n∈Z+，αn和2的等差中项等于Sn和2的等比中项，则lim?n=______.x??n

A．0B．4C．12D．100

15．已知x1，x2是方程x2?(α?2)x+(α2+3α+5)=0(α为实数)的两个实根，则x12+x22的最大值为______.

A．18

B．19C．20D．不存在

16.条件乙：sin??+cos=α.则下列________是正确的.22

A．甲是乙的充分必要条件B．甲是乙的必要条件

C．甲是乙的充分条件D．甲不是乙的必要条件，也不是充分条件

17．已知函数?(x)的定义域为(0，1)，则函数g(x)=?(x+c)+?(x?c)在0<c<1时的定义域为____.2

A．(?c,1+c);B．(1?c,c);C．(1+c,?c);D．(c,1?c);

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