2012安溪一中自主招生考试数学试卷
2012年安溪一中自主招生考试数学科试卷
（时间：100分钟，满分：150分）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上
作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外,其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明
或计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．下列根式中，与2为同类二次根式的是
（A）1；
2（B）a；（C）0.2；（D）.
2．关于二次函数y?2?(x?1)2的图像，下列判断正确的是
（A）图像开口向上；（B）图像的对称轴为直线x?1；
（C）图像有最低点；（D）图像的顶点坐标为(?1，2).
3．关于等边三角形，下列说法不正确的是．
（A）等边三角形是轴对称图形；（B）等边三角形是中心对称图形；
（C）等边三角形是旋转对称图形；（D）等边三角形都相似.
4．把一块周长为20cm，面积为20cm的纸片裁成四块形状、大小完全相同的小三角形纸片（如图1），则每块小三角形纸片的周长和面积分别为
（A）10cm，5cm；（B）10cm，10cm；
（C）5cm，5cm；（D）5cm，10cm.
5．已知e1、e2是两个单位向量，向量a?2e1，b??2e2，那么下列结论中正确的是
（A）e1?e2；（B）??；（C
?；（D
?.
6．图2反映了一辆汽车从甲地开往乙地的过程中，汽车离开甲地的距离s（千米）与所用
时间t（分）之间的函数关系．已知汽车在途中停车加油一次，根据图像，下列描述中，不正确的是．
（A）汽车在途中加油用了10分钟；
（B）汽车在加油前后，速度没有变化；
（C）汽车加油后的速度为每小时90千米；
（D）甲乙两地相距60千米.
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．计算：(?a)2?a?．22222m2m8．计算：??m?1m?1
9．在实数范围内分解因式：x2?2x?2
10．方程2x?3??x的解为：
1
11．已知f(x)?2x3?1，且f(a)?3，则a?．
12．已知函数y?kx?k?2的图像经过第一、三、四象限，则k的取值范围是．13．把抛物线y?x2?2x向左平移一个单位，所得抛物线的表达式为：
14．已知关于x的方程x2?4x?m?0，如果从1、2、3、4、5、6六个数中任取一个数作为
方程的常数项m，那么所得方程有实数根的概率是．
15．如图3，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB=5，CD=3，AD=BC=4，则cos?DAB?16．如图4，小芳与路灯相距3米，她发现自己在地面上的影子（DE）长2米，如果小芳
的身高为1.6
17．如图5，已知AB是⊙O的直径，⊙O1、⊙O2的直径分别是
OA、OB，⊙O3与⊙O、
⊙O1、⊙O2均相切，则⊙O3与⊙O的半径之比为．
18．已知A是平面直角坐标系内一点，先把点A向上平移3个单位得到点B，再把点A绕
点B顺时针方向旋转90°得到点C，若点C关于y轴的对称点为（1,2），那么点A的坐标是．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（本题满分10分）计算：(?1)?(?8)?6(3?2)?1．
20．（本题满分10分，每小题满分5分）
如图6，已知一个正比例函数与一个反比例函数的图像在第一象限的交点为A（2，4）.（1）求正比例函数与反比例函数的解析式；（2）平移直线OA，平移后的直线与x轴交于点B，与反比例函数的图像在第一象限的交点为C（4，n）.求B、C两点的距离．
2
2
13
21．（本题满分10分，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分4分）
如图7，△ABC中，AB=AC，
cos?ABC4，点D在边BC上，BD=6，CD=AB.
(1)求AB的长；(2)求?ADC的正切值.
22．（本题满分10分，每小题各5分）
如图8，已知B是线段AE上一点，ABCD和BEFG都是正方形，联结AG、CE．(1)求证：AG=CE；(2)设CE与GF的交点为P，
求证：PG?PE.
CGAG
23．（本题满分12分，每小题各4分）
为了了解学生关注热点新闻的情况，“两会”期间，小明对班级同学一周内收看“两会”新闻的次数情况作了调查，调查结果统计如图9所示（其中男生收看
3次的人数没有标出）.
根据上述信息，解答下列各题：
(1)该班级女生人数是，女生收看“两会”新闻次数的中位数是；(2)对于某个群体，我们把一周内收看某热点新闻次数不低于3次的人数占其所在群体总人数的百分比叫做该群体对某热点新闻的“关注指数”.
如果该班级男生对“两会”新闻的“关注指数”比女生低5%，试求该班级男生人数；
F
(图8)
(3)为进一步分析该班级男、女生收看“两会”新闻次数的特点，小明给出了男生的部分统计量（如表1）.
根据你所学过的统计知识，适当计算女生的有关统计量，进而比较该班级男、女生收看“两会”新闻次数的波动大小.
3(图9)
（表1）
24．（本题满分12分，每小题各4分）
如图10，已知抛物线y??x?bx?c与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，且OA?OB.
2
(1)求b?c的值；
(2)若点C在抛物线上，且四边形OABC是平行四边形，试求抛物线的解析式；
(3)在(2)的条件下，作∠OBC的角平分线，与抛物线交于点P，求点P的坐标.
25．（本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分5分）
如图11，已知⊙O的半径长为1，PQ是⊙O的直径，点M是PQ延长线上一点，以点M为圆心作圆，与⊙O交于A、B两点，联结PA并延长，交⊙M于另外一点C.
(1)若AB恰好是⊙O的直径，设OM=x，AC=y，试在图12中画出符合要求的大致图形，并求y关于x的函数解析式；
(2)联结OA、MA、MC，若OA⊥MA，且△OMA与△PMC相似，求OM的长度和⊙M的半径长；
(3)是否存在⊙M，使得AB、AC恰好是一个正五边形的两条边？若存在，试求OM的长度和⊙M的半径长；若不存在，试说明理由.
图12
备用图
2012安溪一中自主招生考试数学科试卷评分标准
一选择题、1.A；2.D；3.B；4.A；5.C；6.B.二填空题、7.a3；8.m；9.(x?1?)(x?1?)；10.x??1；11.15.
2；12.0?k?2；13.y?x2?1；14.
2；3
1
；16.4；17.1:3；18.(2,?1).4
6?2
……………………………..（5分）
三解答题、19．解：原式=4?2?2?
=2?23?6(?2)………………………………………（2分）=2?2?32?2………………………………………（2分）=2?32……………………………………..（1分）20.解（1）设正比例函数的解析式为y?k1x，反比例函数的解析式为y?k2……（1分）
x根据题意得：4?k1?2，4?解得：k1?2，k2?8
所以，正比例函数的解析式为y?2x，反比例函数的解析式为y?（2）因为点C（4，n）在反比例函数y?所以，n?
k2
………………………………（2分）2
8
.……（2分）x
8
的图像上x
8
?2，即点C的坐标为(4,2)……………………………（1分）4
因为AO∥BC，所以可设直线BC的表达式为y?2x?b……………（1分）又点C的坐标为(4,2)在直线BC上
所以，2?2?4?b，解得b??6，直线BC的表达式为y?2x?6…...（1分）直线BC与x轴交于点B，设点B的坐标为(m,0)
可以得：0?2m?6，解得m?3，所以点B的坐标为(3,0)……………….（1分）∴BC?5……………………………………………………………………………(1分)21.解：（1）过点A作AH⊥BC，垂足为H……………………………………...（1分）∵AB?AC∴BH?HC?1BC……………………….（1分）
2
设AB?AC?CD?x∵BD?6
∴BC?x?6，BH?x?6……………………...（1分）
2
4
在Rt△AHB中，cos?ABC?BH，又cos?ABC?
5AB
x?6
?4…………………………………….（2分）∴x5
解得：x?10，所以AB?10…………………………………….（1分）
（2）BH?HC?1BC?8
2
DH?CD?CH?10?8?2………………………………………….（1分）
在Rt△AHB中，AH2?BH2?AB2，又AB?10，∴AH?6………..（1分）在Rt△AHD中，tan?ADC?AH?6?3
DH
2
∴?ADC的正切值是3????????????（2分）
22.证明：（1）∵四边形ABCD和BEFG是正方形
∴AB?CB，BG?BE，?ABG??CBE?90?（3分）
∴△ABG≌△CBE??????????（1分）∴AG?CE?????????.（1分）（2）∵PG∥BE
∴PG?CG，BG?PE???????????.（2分）
BE
CB
CBCE
∵BG?BE，AG?CE
∴PG?BG，BG?PE???????????..（2分）
CG
CB
CBAG
∴PG?PE???????????（1分）
CG
AG
23.（1）20（2分），3（2分）；
（2）由题意：该班女生对“两会”新闻的“关注指数”为
13
?100%?65%..（1分）
20
所以，男生对“两会”新闻的“关注指数”为60%……….（1分）设该班的男生有x人则
x?(1?3?6)
，解得：x?25……….（1分）?60%…（1分）
x
答：该班级男生有25人.
（3）该班级女生收看“两会”新闻次数的平均数为
1?2?2?5?3?6?4?5?5?2
?3，…………………………….（2分）
20
女生收看“两会”新闻次数的方差为：
2(3?1)2?5(3?2)2?6(3?3)2?5(3?4)2?2(3?5)213
?
2010
因为2?
13
，所以男生比女生的波动幅度大.（2分）10
24.解：（1）由题意得：点B的坐标为(0,c)，其中c?0，OB?c………（1分）∵OA?OB，点A在x轴的负半轴上，∴点A的坐标为(?c,0)……….（1分）∵点A在抛物线y??x?bx?c上，∴0??c?bc?c???.（1分）∴b?c?1（因为c?0）???（1分）（2）∵四边形OABC是平行四边形
∴BC?AO?c，又BC∥x轴，点B的坐标为(0,c)
∴点C的坐标为(c,c)???..(1分）又点C在抛物线上，
∴c??c?bc?c∴b?c?0或c?0（舍去）????（1分）又由（1）知：b?c?1∴b?
2
2
2
11112
，c?.抛物线的解析式为y??x?x?.………..（2分）2222
（3）过点P作PM?y轴，PN?BC，垂足分别为M、N
∵BP平分?CBO∴PM?PN??????????..（1分）设点P的坐标为(x，?x2?∴
11
x?)22
111
?(?x2?x?)?x???????????（1分）
222
解得：x?
3
或x?0（舍去）……………………………………………（1分）2
所以，点P的坐标为(3,?1)………………………….（1分）
2225.（1）图画正确………………………………………（1分）
过点M作MN?AC，垂足为N
1y2
由题意得：PM?AB，又AB是圆O的直径
∴AN?NC?
∴OA?OP?1∴?APO?45?，PA?∴PN?
2
2?
1
y??????????..（1分）2
PN
PM
又PM?1?x，?NPM?45?在Rt△PNM中，cos?NPM?
2?
∴cos45??
1y
?21?x2
∴y关于x的函数解析式为y?2x?2（x?1）…………………（2分）
（2）设圆M的半径为r
因为OA⊥MA，∴∠OAM=90°，OM?
r2?1
又△OMA与△PMC相似，所以△PMC是直角三角形。
因为OA=OP，MA=MC，所以∠CPM、∠PCM都不可能是直角。
所以∠PMC=90°.?????????（1分）又?AOM?2?P≠∠P，所以，∠AMO=∠P????（1分）
即若△OMA与△PMC相似，其对应性只能是点O与点C对应、点M与点P对应、点A与点M对应.
∴
AMAOr1解得r????????..,即（2分）??，
2PMMC1?r?1r
从而OM?2
所以，OM?2，圆M的半径为3.……………………………………..（1分）（3）假设存在⊙M，使得AB、AC恰好是一个正五边形的两条边联结OA、MA、MC、AQ，设公共弦AB与直线OM相交于点G由正五边形知?AMB??AMC?
360?
?72?，?BAC?108?……………….（1分）
5
∵AB是公共弦，所以OM?AB，?AMO?36?，
从而?P?18?，?AOM?2?P?36?∴?AOM??AMO
∴AM?AO?1，即圆M的半径是1………………..（1分）∵OA?OQ?1，?AOM?36?∴?AQO?72?
∴?QAM??AQO??AMO?36?
∴△MAQ∽△MOA………………..（1分）∴AM?MQ.
OMAM
∵AM?1，MQ?OM?1
∴1?OM?1，解得：OM?1?（负值舍去）
OM
1
2
∴OM??1…………....（2分）
2
所以，存在⊙M，使得AB、AC恰好是一个正五边形的两条边，此时的OM?5?1，圆M的半径是1.
2
2012安溪一中自主招生考试数学科试卷评分标准
一选择题、1.A；2.D；3.B；4.A；5.C；6.B.
二填空题、7.a3；8.m；9.(x?1?)(x?1?)；10.x??1；
11.
15.2；12.0?k?2；13.y?x2?1；14.2；31；16.4；17.1:3；18.(2,?1).4
6
?2……………………………..（5分）三解答题、19．解：原式=4?2?2?
=2?23?6(?2)………………………………………（2分）
=2?2?32?2………………………………………（2分）
=2?32……………………………………..（1分）
20.解（1）设正比例函数的解析式为y?k1x，反比例函数的解析式为y?k2……（1分）x
根据题意得：4?k1?2，4?
解得：k1?2，k2?8
所以，正比例函数的解析式为y?2x，反比例函数的解析式为y?
（2）因为点C（4，n）在反比例函数y?
所以，n?k2………………………………（2分）28.……（2分）x8的图像上x8?2，即点C的坐标为(4,2)……………………………（1分）4
因为AO∥BC，所以可设直线BC的表达式为y?2x?b……………（1分）
又点C的坐标为(4,2)在直线BC上
所以，2?2?4?b，解得b??6，直线BC的表达式为y?2x?6…...（1分）
直线BC与x轴交于点B，设点B的坐标为(m,0)
可以得：0?2m?6，解得m?3，所以点B的坐标为(3,0)……………….（1分）
∴BC?5……………………………………………………………………………(1分)
21.解：（1）过点A作AH⊥BC，垂足为H……………………………………...（1分）
∵AB?AC∴BH?HC?1BC……………………….（1分）2
设AB?AC?CD?x
∵BD?6
∴BC?x?6，BH?x?6……………………...（1分）
2
4在Rt△AHB中，cos?ABC?BH，又cos?ABC?5AB
x?6
?4…………………………………….（2分）∴x5
解得：x?10，所以AB?10…………………………………….（1分）
（2）BH?HC?1BC?82
DH?CD?CH?10?8?2………………………………………….（1分）
在Rt△AHB中，AH2?BH2?AB2，又AB?10，∴AH?6………..（1分）
在Rt△AHD中，tan?ADC?AH?6?3DH2
∴?ADC的正切值是3????????????（2分）
22.证明：（1）∵四边形ABCD和BEFG是正方形
∴AB?CB，BG?BE，?ABG??CBE?90?（3分）
∴△ABG≌△CBE??????????（1分）
∴AG?CE?????????.（1分）
（2）∵PG∥BE∴PG?CG，BG?PE???????????.（2分）
BECBCBCE
∵BG?BE，AG?CE∴PG?BG，BG?PE???????????..（2分）CGCBCBAG
∴PG?PE???????????（1分）
CGAG
23.（1）20（2分），3（2分）；
（2）由题意：该班女生对“两会”新闻的“关注指数”为13?100%?65%..（1分）20
所以，男生对“两会”新闻的“关注指数”为60%……….（1分）
设该班的男生有x人
则x?(1?3?6)，解得：x?25……….（1分）?60%…（1分）x
答：该班级男生有25人.
（3）该班级女生收看“两会”新闻次数的平均数为
1?2?2?5?3?6?4?5?5?2?3，…………………………….（2分）20
女生收看“两会”新闻次数的方差为：
2(3?1)2?5(3?2)2?6(3?3)2?5(3?4)2?2(3?5)213?2010
因为2?13，所以男生比女生的波动幅度大.（2分）10
24.解：（1）由题意得：点B的坐标为(0,c)，其中c?0，OB?c………（1分）
∵OA?OB，点A在x轴的负半轴上，∴点A的坐标为(?c,0)……….（1分）
∵点A在抛物线y??x?bx?c上，∴0??c?bc?c???.（1分）
∴b?c?1（因为c?0）???（1分）
（2）∵四边形OABC是平行四边形
∴BC?AO?c，又BC∥x轴，点B的坐标为(0,c)
∴点C的坐标为(c,c)???..(1分）
又点C在抛物线上，
∴c??c?bc?c∴b?c?0或c?0（舍去）????（1分）
又由（1）知：b?c?1
∴b?22211112，c?.抛物线的解析式为y??x?x?.………..（2分）2222
（3）过点P作PM?y轴，PN?BC，垂足分别为M、N
∵BP平分?CBO∴PM?PN??????????..（1分）
设点P的坐标为(x，?x2?
∴11x?)22111?(?x2?x?)?x???????????（1分）222
解得：x?3或x?0（舍去）……………………………………………（1分）2
所以，点P的坐标为(3,?1)………………………….（1分）22
25.（1）图画正确………………………………………（1分）
过点M作MN?AC，垂足为N1y2
由题意得：PM?AB，又AB是圆O的直径∴AN?NC?
∴OA?OP?1∴?APO?45?，PA?
∴PN?22?1y??????????..（1分）2
PNPM
又PM?1?x，?NPM?45?在Rt△PNM中，cos?NPM?
2?
∴cos45??1y?21?x2
∴y关于x的函数解析式为y?2x?2（x?1）…………………（2分）
（2）设圆M的半径为r
因为OA⊥MA，∴∠OAM=90°，OM?r2?1
又△OMA与△PMC相似，所以△PMC是直角三角形。
因为OA=OP，MA=MC，所以∠CPM、∠PCM都不可能是直角。
所以∠PMC=90°.?????????（1分）又?AOM?2?P≠∠P，所以，∠AMO=∠P????（1分）
即若△OMA与△PMC相似，其对应性只能是点O与点C对应、点M与点P对应、点A与点M对应.
∴AMAOr1解得r????????..,即（2分）??，
2PMMC1?r?1r
从而OM?2
所以，OM?2，圆M的半径为3.……………………………………..（1分）
（3）假设存在⊙M，使得AB、AC恰好是一个正五边形的两条边
联结OA、MA、MC、AQ，设公共弦AB与直线OM相交于点G
由正五边形知?AMB??AMC?360??72?，?BAC?108?……………….（1分）5
∵AB是公共弦，所以OM?AB，?AMO?36?，
从而?P?18?，?AOM?2?P?36?
∴?AOM??AMO
∴AM?AO?1，即圆M的半径是1………………..（1分）∵OA?OQ?1，?AOM?36?
∴?AQO?72?
∴?QAM??AQO??AMO?36?
∴△MAQ∽△MOA………………..（1分）∴AM?MQ.OMAM
∵AM?1，MQ?OM?1
∴1?OM?1，解得：OM?1?（负值舍去）
OM12
∴OM??1…………....（2分）2
所以，存在⊙M，使得AB、AC恰好是一个正五边形的两条边，此时的OM?5?1，圆M的半径是1.2
4在Rt△AHB中，cos?ABC?BH，又cos?ABC?5AB
x?6
?4…………………………………….（2分）∴x5
解得：x?10，所以AB?10…………………………………….（1分）
（2）BH?HC?1BC?82
DH?CD?CH?10?8?2………………………………………….（1分）
在Rt△AHB中，AH2?BH2?AB2，又AB?10，∴AH?6………..（1分）
在Rt△AHD中，tan?ADC?AH?6?3DH2
∴?ADC的正切值是3????????????（2分）
22.证明：（1）∵四边形ABCD和BEFG是正方形
∴AB?CB，BG?BE，?ABG??CBE?90?（3分）
∴△ABG≌△CBE??????????（1分）
∴AG?CE?????????.（1分）
（2）∵PG∥BE∴PG?CG，BG?PE???????????.（2分）
BECBCBCE
∵BG?BE，AG?CE∴PG?BG，BG?PE???????????..（2分）CGCBCBAG
∴PG?PE???????????（1分）
CGAG
23.（1）20（2分），3（2分）；
（2）由题意：该班女生对“两会”新闻的“关注指数”为13?100%?65%..（1分）20
所以，男生对“两会”新闻的“关注指数”为60%……….（1分）
设该班的男生有x人
则x?(1?3?6)，解得：x?25……….（1分）?60%…（1分）x
答：该班级男生有25人.
（3）该班级女生收看“两会”新闻次数的平均数为
1?2?2?5?3?6?4?5?5?2?3，…………………………….（2分）20
女生收看“两会”新闻次数的方差为：
2(3?1)2?5(3?2)2?6(3?3)2?5(3?4)2?2(3?5)213?2010
因为2?13，所以男生比女生的波动幅度大.（2分）10
24.解：（1）由题意得：点B的坐标为(0,c)，其中c?0，OB?c………（1分）
∵OA?OB，点A在x轴的负半轴上，∴点A的坐标为(?c,0)……….（1分）
∵点A在抛物线y??x?bx?c上，∴0??c?bc?c???.（1分）
∴b?c?1（因为c?0）???（1分）
（2）∵四边形OABC是平行四边形
∴BC?AO?c，又BC∥x轴，点B的坐标为(0,c)
∴点C的坐标为(c,c)???..(1分）
又点C在抛物线上，
∴c??c?bc?c∴b?c?0或c?0（舍去）????（1分）
又由（1）知：b?c?1
∴b?22211112，c?.抛物线的解析式为y??x?x?.………..（2分）2222
（3）过点P作PM?y轴，PN?BC，垂足分别为M、N
∵BP平分?CBO∴PM?PN??????????..（1分）
设点P的坐标为(x，?x2?
∴11x?)22111?(?x2?x?)?x???????????（1分）222
解得：x?3或x?0（舍去）……………………………………………（1分）2
所以，点P的坐标为(3,?1)………………………….（1分）22
25.（1）图画正确………………………………………（1分）
过点M作MN?AC，垂足为N1y2
由题意得：PM?AB，又AB是圆O的直径∴AN?NC?
∴OA?OP?1∴?APO?45?，PA?
∴PN?22?1y??????????..（1分）2
PNPM
又PM?1?x，?NPM?45?在Rt△PNM中，cos?NPM?
2?
∴cos45??1y?21?x2
∴y关于x的函数解析式为y?2x?2（x?1）…………………（2分）
（2）设圆M的半径为r
因为OA⊥MA，∴∠OAM=90°，OM?r2?1
又△OMA与△PMC相似，所以△PMC是直角三角形。
因为OA=OP，MA=MC，所以∠CPM、∠PCM都不可能是直角。
所以∠PMC=90°.?????????（1分）又?AOM?2?P≠∠P，所以，∠AMO=∠P????（1分）
即若△OMA与△PMC相似，其对应性只能是点O与点C对应、点M与点P对应、点A与点M对应.
∴AMAOr1解得r????????..,即（2分）??，
2PMMC1?r?1r
从而OM?2
所以，OM?2，圆M的半径为3.……………………………………..（1分）
（3）假设存在⊙M，使得AB、AC恰好是一个正五边形的两条边
联结OA、MA、MC、AQ，设公共弦AB与直线OM相交于点G
由正五边形知?AMB??AMC?360??72?，?BAC?108?……………….（1分）5
∵AB是公共弦，所以OM?AB，?AMO?36?，
从而?P?18?，?AOM?2?P?36?
∴?AOM??AMO
∴AM?AO?1，即圆M的半径是1………………..（1分）∵OA?OQ?1，?AOM?36?
∴?AQO?72?
∴?QAM??AQO??AMO?36?
∴△MAQ∽△MOA………………..（1分）∴AM?MQ.OMAM
∵AM?1，MQ?OM?1
∴1?OM?1，解得：OM?1?（负值舍去）
OM12
∴OM??1…………....（2分）2
所以，存在⊙M，使得AB、AC恰好是一个正五边形的两条边，此时的OM?5?1，圆M的半径是1.2
本站(www.100xue.net)部分图文转自网络,刊登本文仅为传播信息之用，绝不代表赞同其观点或担保其真实性。若有来源标注错误或侵犯了您的合法权益，请作者持权属证明与本网联系(底部邮箱)，我们将及时更正、删除，谢谢
