2015年邵阳市二中数学自主招生考试试题
2015年邵阳市二中数学招生考试试题
一、选择题（共30分）
1、关于-(-a)2的相反数，有下列说法：1）等于a2;2)等于（-a）2；3）值可能为0；4）值一定是正数。其中正确的有
A、1个；B、2个；C、3个；D、4个
2、如图是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为81，则第2015次输出的结果为
A、3；B、27；C、9；D、1
3、今年学校举行足球联赛，共赛17轮（即每队均需
参赛17场），记分办法：胜1场得3分，平1场得1
分，负1场得0分，在这次足球比赛中，小虎足球队
得16分，且踢平场数是所负场数的整数倍，则小虎足
球队所负场数的情况有
A、2种；B、3种C、4种；D、5种
4、某班有50名学生，在一次考试中，统计出平均分
为70分，方差为75，后来发现有2名同学分数登错了，甲实得80分却记为50分，乙实得70分却记为100分，更正后的平均分和方差分别为
A、70，25；B、70，51C、65，51D、65，75
5、如图，是A、B、C反比例函数y?k(k?0)图象上的三点，作x
直线l，使A、B、C到直线l的距离之比为3：1：1，则满足条件的
直线l共有
A、4条；B、3条C、2条；D、1条
6、如图△ABC，已知，以B为圆心、AB长为半径画弧，交BC于D点，
以C为圆心、AC长为半径画弧，交BC于E点。若∠B=400，∠C=360，
则关于AD、AE、BE、CD的大小关系，下列正确的是
A、AD=AE；B、AD<AEC、BE=CD；D、BE<CD
7、如图，在⊙O中，AB=2CD，那么
A、⌒⌒AB=2CD
⌒⌒；B、AB<CD⌒⌒⌒⌒C、AB=2CD；D、AB与CD大小关系无法比较
8、如图，在直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标为（5，0），对
角线OB=4，若反比例函数y?k（k≠0，x>0）经过点C，则kx
的值等于
A、12；B、8C、15；D、9
9、如图，抛物线y?ax?bx?c与x轴交于点A（-1，0），顶点
坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2），
（0，3）之间（包含端点），则下列结论：1）当x>3时，y<0；2）3a+b>0；
3）-1≤a≤?22；4)3≤n≤4.其中，正确的是3
A、1)，2）；B、3），4）C、1），4）；D、1），3）
10、如图，在坐标系中入置一菱形OABC，已知∠ABC=600，OA=1，
先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转600，连
续翻转2015次，点的落点依次为B1,B2,B3……，则B2014的坐标
为
A、(1340.5，0)；B、（1340，0）
C、（1342.5，0）；D、（1344，0）
二、填空题（共24分）
11、已知大小、形状都相同的四个小球上分别标有1，2，3，4四个号码，从中任取两个小球，则这两个小球中的最大号码的概率为；
12、已知，2?223344=2，3?=3,4?=4…，类比这些等式，若33881515
6?aa=6（a,b均为正整数），则bb
13、如图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中弧CD，点O是弧CD的圆心），其中CD=600米，E为弧CD上一点，且OE⊥CD,垂足为F，OF=300米，则这段弯路的长度约为（圆周率取3.14）
14、我们知道|x-2|与|x-1|的几何意义分别是点x到点2、1的距
离，则关于x的不等式|x-2|+|x-1|≥2中的x取值范围是
15、如图，△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=600，将△ABC沿射线
BC的方向平移，得到△A′B′C′,再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转
一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离为，旋转角的度数为。
16、如图，点A、B、C分别是半圆M与坐标轴的交点，AB为半圆直径，半圆圆心M（1，0），半径为2，直线l：y?
相切于点C
x?23，则将直线向下平移个长度单位后将与半圆M3
17、如图，平行于x轴的直线AC分别交函数y1?x2(x≥0)与
x2
y2?(x≥0)的图象于B、C两点，过点C作y轴的平行线交的图3
象于点D，直线RE//AC，交y2的图象于点E，则
18、给出下列四个命题：
①若a>b，c>d，则DEABab?cd
②若a、b是ab<0满足的实数，则|a+b|<|a-b|
③若a>b，则ab?1?a1?b
a2?b2
?1?ab④若a>0,b>0,a≠b,a+b=2,则2
其中正确的命题序号是（填上所有正确命题的序号）
三、解答题（共24分）
+|-4cos600|19、（8分）计算：（-1）2015×
20、（8分）先化简分式?12?3?x?3(x?2)?2xx??3x÷，再从不等式组的解集???2?x?1x?1?x?1?4x?2?5x?1中取一个合适的值代入并求解。
21、（8分）如图，△ABC在中，AB=AC，D为△ABC外接圆的弧AC上的点（不与点A、C重合），延长BD至点B，延长AD交BC的延长线于点F
（1）、∠CDF=∠EDF
（2）、AB×AC=AD×AF
四、应用题（共24分）
22、（8分）某校八年级为了了解学生课堂发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某一天在课堂上发言的次数进行了统计，其结果如下表，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，已知B、E两组发言人数之比为5：2，请结合图中相关数据回答下列问题：
（1）求出所抽取的学生人数，并补全直方图；
（2）该年级共有学生500人，请估计全年级在这一天里发言次数不少于12的人。
（3）已知A组发言的学生中恰有1位女生，E组发言的学生中有2位男生，现从A组与E组中分别抽一位学生写报告，请用列表法或画树状图的方法，求所抽的两位学生恰好是一男一女的概率。
2012年投资建成了一个拥有180个车位的地下停车场，所有车位都用于出租，租期一年，没租出的每个车位每年公司需支出费用（维护费、管理费）400元，2013年，公司将每个车位的租金定为一年6000元，所有车位全部租出：
（
1）2014年，公司将每个车位的租金提高至一年6800元，请问该公司至少需要租出多少个车位才能使得其收益不低于2013年？
（2）由于购车人数不断增加，人们对车位的需求越来越大，公司决定于2015年继续提高租金，经调查发现，在2013年的基础上，每提高100元的租金，租车的车位将减少3个，为了获得103.8万元的收益，公司需要将租金定为一年多少元？
24、（8分）如图，在海面上生成了一股强台风，台风中心（记为点M）们于滨海市（记作点A）的南偏西150，距离为612千米，且位于临海市（记作点B）正西方向60千米处。台风中心正以72千米/时的速度沿北偏东600的方向移动（假设台风在移动过程中的风力保持不变），距离台风中心60千米的圆形区域内均会受到此次台风的侵袭。
（1）滨海市、临海市是否受到此次台风的侵袭？请说明理由。
（2）若受到此次台风侵袭，该城市受到台风侵袭的持续时间有多少时间？
五、综合题（共18分）
25、（10分）如图，在坐标系xoy中，已知D（-5，4），B（-3，0），过D点作DA，DC分别垂直于x轴、y轴，垂足为A、C两点，动点从O点出发，沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，运动时间为t秒。
（1）当t为何值时，PC//DB
（2当t为何值时，PC⊥BC
（3）以点P为圆心，PO的长为半径⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与△BCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值。
26、（8分）如图1，抛物线y?ax2?bx?c(a?0)的顶点为M，直线y=a与x轴平行，且与抛物线交于点A、B，若△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A、B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M称为碟顶，点M到线段AB的距离称为碟高。
（1）抛物线y?12x对应的碟高为2
抛物线y=4x2对应的碟宽为。
抛物线y=ax2(a>0)对应的碟宽为
抛物线y?a(x?2)?3(a?0)对应的碟宽为
（2）若抛物线y?ax?4ax?
x轴上，求a的值。
225(a?0)对应的碟宽为6，且在3
17、如图，平行于x轴的直线AC分别交函数y1?x2(x≥0)与
x2
y2?(x≥0)的图象于B、C两点，过点C作y轴的平行线交的图3
象于点D，直线RE//AC，交y2的图象于点E，则
18、给出下列四个命题：
①若a>b，c>d，则DEABab?cd
②若a、b是ab<0满足的实数，则|a+b|<|a-b|
③若a>b，则ab?1?a1?b
a2?b2
?1?ab④若a>0,b>0,a≠b,a+b=2,则2
其中正确的命题序号是（填上所有正确命题的序号）
三、解答题（共24分）
+|-4cos600|19、（8分）计算：（-1）2015×
20、（8分）先化简分式?12?3?x?3(x?2)?2xx??3x÷，再从不等式组的解集???2?x?1x?1?x?1?4x?2?5x?1中取一个合适的值代入并求解。
21、（8分）如图，△ABC在中，AB=AC，D为△ABC外接圆的弧AC上的点（不与点A、C重合），延长BD至点B，延长AD交BC的延长线于点F
（1）、∠CDF=∠EDF
（2）、AB×AC=AD×AF
四、应用题（共24分）
22、（8分）某校八年级为了了解学生课堂发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某一天在课堂上发言的次数进行了统计，其结果如下表，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，已知B、E两组发言人数之比为5：2，请结合图中相关数据回答下列问题：
（1）求出所抽取的学生人数，并补全直方图；
（2）该年级共有学生500人，请估计全年级在这一天里发言次数不少于12的人。
（3）已知A组发言的学生中恰有1位女生，E组发言的学生中有2位男生，现从A组与E组中分别抽一位学生写报告，请用列表法或画树状图的方法，求所抽的两位学生恰好是一男一女的概率。
2012年投资建成了一个拥有180个车位的地下停车场，所有车位都用于出租，租期一年，没租出的每个车位每年公司需支出费用（维护费、管理费）400元，2013年，公司将每个车位的租金定为一年6000元，所有车位全部租出：
（
1）2014年，公司将每个车位的租金提高至一年6800元，请问该公司至少需要租出多少个车位才能使得其收益不低于2013年？
（2）由于购车人数不断增加，人们对车位的需求越来越大，公司决定于2015年继续提高租金，经调查发现，在2013年的基础上，每提高100元的租金，租车的车位将减少3个，为了获得103.8万元的收益，公司需要将租金定为一年多少元？
24、（8分）如图，在海面上生成了一股强台风，台风中心（记为点M）们于滨海市（记作点A）的南偏西150，距离为612千米，且位于临海市（记作点B）正西方向60千米处。台风中心正以72千米/时的速度沿北偏东600的方向移动（假设台风在移动过程中的风力保持不变），距离台风中心60千米的圆形区域内均会受到此次台风的侵袭。
（1）滨海市、临海市是否受到此次台风的侵袭？请说明理由。
（2）若受到此次台风侵袭，该城市受到台风侵袭的持续时间有多少时间？
五、综合题（共18分）
25、（10分）如图，在坐标系xoy中，已知D（-5，4），B（-3，0），过D点作DA，DC分别垂直于x轴、y轴，垂足为A、C两点，动点从O点出发，沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，运动时间为t秒。
（1）当t为何值时，PC//DB
（2当t为何值时，PC⊥BC
（3）以点P为圆心，PO的长为半径⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与△BCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值。
26、（8分）如图1，抛物线y?ax2?bx?c(a?0)的顶点为M，直线y=a与x轴平行，且与抛物线交于点A、B，若△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A、B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M称为碟顶，点M到线段AB的距离称为碟高。
（1）抛物线y?12x对应的碟高为2
抛物线y=4x2对应的碟宽为。
抛物线y=ax2(a>0)对应的碟宽为
抛物线y?a(x?2)?3(a?0)对应的碟宽为
（2）若抛物线y?ax?4ax?
x轴上，求a的值。
225(a?0)对应的碟宽为6，且在3
2012年投资建成了一个拥有180个车位的地下停车场，所有车位都用于出租，租期一年，没租出的每个车位每年公司需支出费用（维护费、管理费）400元，2013年，公司将每个车位的租金定为一年6000元，所有车位全部租出：
（
1）2014年，公司将每个车位的租金提高至一年6800元，请问该公司至少需要租出多少个车位才能使得其收益不低于2013年？
（2）由于购车人数不断增加，人们对车位的需求越来越大，公司决定于2015年继续提高租金，经调查发现，在2013年的基础上，每提高100元的租金，租车的车位将减少3个，为了获得103.8万元的收益，公司需要将租金定为一年多少元？
24、（8分）如图，在海面上生成了一股强台风，台风中心（记为点M）们于滨海市（记作点A）的南偏西150，距离为612千米，且位于临海市（记作点B）正西方向60千米处。台风中心正以72千米/时的速度沿北偏东600的方向移动（假设台风在移动过程中的风力保持不变），距离台风中心60千米的圆形区域内均会受到此次台风的侵袭。
（1）滨海市、临海市是否受到此次台风的侵袭？请说明理由。
（2）若受到此次台风侵袭，该城市受到台风侵袭的持续时间有多少时间？
五、综合题（共18分）
25、（10分）如图，在坐标系xoy中，已知D（-5，4），B（-3，0），过D点作DA，DC分别垂直于x轴、y轴，垂足为A、C两点，动点从O点出发，沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，运动时间为t秒。
（1）当t为何值时，PC//DB
（2当t为何值时，PC⊥BC
（3）以点P为圆心，PO的长为半径⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与△BCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值。
26、（8分）如图1，抛物线y?ax2?bx?c(a?0)的顶点为M，直线y=a与x轴平行，且与抛物线交于点A、B，若△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A、B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M称为碟顶，点M到线段AB的距离称为碟高。
（1）抛物线y?12x对应的碟高为2
抛物线y=4x2对应的碟宽为。
抛物线y=ax2(a>0)对应的碟宽为
抛物线y?a(x?2)?3(a?0)对应的碟宽为
（2）若抛物线y?ax?4ax?
x轴上，求a的值。
225(a?0)对应的碟宽为6，且在3
五、综合题（共18分）
25、（10分）如图，在坐标系xoy中，已知D（-5，4），B（-3，0），过D点作DA，DC分别垂直于x轴、y轴，垂足为A、C两点，动点从O点出发，沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，运动时间为t秒。
（1）当t为何值时，PC//DB
（2当t为何值时，PC⊥BC
（3）以点P为圆心，PO的长为半径⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与△BCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值。
26、（8分）如图1，抛物线y?ax2?bx?c(a?0)的顶点为M，直线y=a与x轴平行，且与抛物线交于点A、B，若△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A、B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M称为碟顶，点M到线段AB的距离称为碟高。
（1）抛物线y?12x对应的碟高为2
抛物线y=4x2对应的碟宽为。
抛物线y=ax2(a>0)对应的碟宽为
抛物线y?a(x?2)?3(a?0)对应的碟宽为
（2）若抛物线y?ax?4ax?
x轴上，求a的值。
225(a?0)对应的碟宽为6，且在3
2015年邵阳市二中数学招生考试试题
一、选择题（共30分）
1、关于-(-a)2的相反数，有下列说法：1）等于a2;2)等于（-a）2；3）值可能为0；4）值一定是正数。其中正确的有
A、1个；B、2个；C、3个；D、4个
2、如图是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为81，则第2015次输出的结果为
A、3；B、27；C、9；D、1
3、今年学校举行足球联赛，共赛17轮（即每队均需
参赛17场），记分办法：胜1场得3分，平1场得1
分，负1场得0分，在这次足球比赛中，小虎足球队
得16分，且踢平场数是所负场数的整数倍，则小虎足
球队所负场数的情况有
A、2种；B、3种C、4种；D、5种
4、某班有50名学生，在一次考试中，统计出平均分
为70分，方差为75，后来发现有2名同学分数登错了，甲实得80分却记为50分，乙实得70分却记为100分，更正后的平均分和方差分别为
A、70，25；B、70，51C、65，51D、65，75
5、如图，是A、B、C反比例函数y?k(k?0)图象上的三点，作x
直线l，使A、B、C到直线l的距离之比为3：1：1，则满足条件的
直线l共有
A、4条；B、3条C、2条；D、1条
6、如图△ABC，已知，以B为圆心、AB长为半径画弧，交BC于D点，
以C为圆心、AC长为半径画弧，交BC于E点。若∠B=400，∠C=360，
则关于AD、AE、BE、CD的大小关系，下列正确的是
A、AD=AE；B、AD<AEC、BE=CD；D、BE<CD
7、如图，在⊙O中，AB=2CD，那么
A、⌒⌒AB=2CD
⌒⌒；B、AB<CD⌒⌒⌒⌒C、AB=2CD；D、AB与CD大小关系无法比较
8、如图，在直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标为（5，0），对
角线OB=4，若反比例函数y?k（k≠0，x>0）经过点C，则kx
的值等于
A、12；B、8C、15；D、9
9、如图，抛物线y?ax?bx?c与x轴交于点A（-1，0），顶点
坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2），
（0，3）之间（包含端点），则下列结论：1）当x>3时，y<0；2）3a+b>0；
3）-1≤a≤?22；4)3≤n≤4.其中，正确的是3
A、1)，2）；B、3），4）C、1），4）；D、1），3）
10、如图，在坐标系中入置一菱形OABC，已知∠ABC=600，OA=1，
先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转600，连
续翻转2015次，点的落点依次为B1,B2,B3……，则B2014的坐标
为
A、(1340.5，0)；B、（1340，0）
C、（1342.5，0）；D、（1344，0）
二、填空题（共24分）
11、已知大小、形状都相同的四个小球上分别标有1，2，3，4四个号码，从中任取两个小球，则这两个小球中的最大号码的概率为；
12、已知，2?223344=2，3?=3,4?=4…，类比这些等式，若33881515
6?aa=6（a,b均为正整数），则bb
13、如图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中弧CD，点O是弧CD的圆心），其中CD=600米，E为弧CD上一点，且OE⊥CD,垂足为F，OF=300米，则这段弯路的长度约为（圆周率取3.14）
14、我们知道|x-2|与|x-1|的几何意义分别是点x到点2、1的距
离，则关于x的不等式|x-2|+|x-1|≥2中的x取值范围是
15、如图，△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=600，将△ABC沿射线
BC的方向平移，得到△A′B′C′,再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转
一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离为，旋转角的度数为。
16、如图，点A、B、C分别是半圆M与坐标轴的交点，AB为半圆直径，半圆圆心M（1，0），半径为2，直线l：y?
相切于点C
x?23，则将直线向下平移个长度单位后将与半圆M3
17、如图，平行于x轴的直线AC分别交函数y1?x2(x≥0)与
x2
y2?(x≥0)的图象于B、C两点，过点C作y轴的平行线交的图3
象于点D，直线RE//AC，交y2的图象于点E，则
18、给出下列四个命题：
①若a>b，c>d，则DEABab?cd
②若a、b是ab<0满足的实数，则|a+b|<|a-b|
③若a>b，则ab?1?a1?b
a2?b2
?1?ab④若a>0,b>0,a≠b,a+b=2,则2
其中正确的命题序号是（填上所有正确命题的序号）
三、解答题（共24分）
+|-4cos600|19、（8分）计算：（-1）2015×
20、（8分）先化简分式?12?3?x?3(x?2)?2xx??3x÷，再从不等式组的解集???2?x?1x?1?x?1?4x?2?5x?1中取一个合适的值代入并求解。
21、（8分）如图，△ABC在中，AB=AC，D为△ABC外接圆的弧AC上的点（不与点A、C重合），延长BD至点B，延长AD交BC的延长线于点F
（1）、∠CDF=∠EDF
（2）、AB×AC=AD×AF
四、应用题（共24分）
22、（8分）某校八年级为了了解学生课堂发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某一天在课堂上发言的次数进行了统计，其结果如下表，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，已知B、E两组发言人数之比为5：2，请结合图中相关数据回答下列问题：
（1）求出所抽取的学生人数，并补全直方图；
（2）该年级共有学生500人，请估计全年级在这一天里发言次数不少于12的人。
（3）已知A组发言的学生中恰有1位女生，E组发言的学生中有2位男生，现从A组与E组中分别抽一位学生写报告，请用列表法或画树状图的方法，求所抽的两位学生恰好是一男一女的概率。
2012年投资建成了一个拥有180个车位的地下停车场，所有车位都用于出租，租期一年，没租出的每个车位每年公司需支出费用（维护费、管理费）400元，2013年，公司将每个车位的租金定为一年6000元，所有车位全部租出：
（
1）2014年，公司将每个车位的租金提高至一年6800元，请问该公司至少需要租出多少个车位才能使得其收益不低于2013年？
（2）由于购车人数不断增加，人们对车位的需求越来越大，公司决定于2015年继续提高租金，经调查发现，在2013年的基础上，每提高100元的租金，租车的车位将减少3个，为了获得103.8万元的收益，公司需要将租金定为一年多少元？
24、（8分）如图，在海面上生成了一股强台风，台风中心（记为点M）们于滨海市（记作点A）的南偏西150，距离为612千米，且位于临海市（记作点B）正西方向60千米处。台风中心正以72千米/时的速度沿北偏东600的方向移动（假设台风在移动过程中的风力保持不变），距离台风中心60千米的圆形区域内均会受到此次台风的侵袭。
（1）滨海市、临海市是否受到此次台风的侵袭？请说明理由。
（2）若受到此次台风侵袭，该城市受到台风侵袭的持续时间有多少时间？
五、综合题（共18分）
25、（10分）如图，在坐标系xoy中，已知D（-5，4），B（-3，0），过D点作DA，DC分别垂直于x轴、y轴，垂足为A、C两点，动点从O点出发，沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，运动时间为t秒。
（1）当t为何值时，PC//DB
（2当t为何值时，PC⊥BC
（3）以点P为圆心，PO的长为半径⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与△BCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值。
26、（8分）如图1，抛物线y?ax2?bx?c(a?0)的顶点为M，直线y=a与x轴平行，且与抛物线交于点A、B，若△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A、B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M称为碟顶，点M到线段AB的距离称为碟高。
（1）抛物线y?12x对应的碟高为2
抛物线y=4x2对应的碟宽为。
抛物线y=ax2(a>0)对应的碟宽为
抛物线y?a(x?2)?3(a?0)对应的碟宽为
（2）若抛物线y?ax?4ax?
x轴上，求a的值。
225(a?0)对应的碟宽为6，且在3
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