芜湖一中2013年高一自主招生考试数学试卷及答案

芜湖一中2013年高一自主招生考试

数学试卷

1．在△ABC中，∠C=90°，∠B的平分线交AC于D．则A．sinB

B．cosB

C．tanB

=：

AD1D．

tanB

2．在分别标有号码

2，3，4，…，10的9张卡片中，随机取出两张卡片，记下

它们的标号，则较大标号被较小标号整除的概率是：A．

7

36

B．

518

C．

29

D．

14

3．已知梯形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(?1,0)，B(5,0)，C(2,2)，D(0,2)，直线y?kx?2将梯形分成面积相等的两部分，则k的值为：

2242

B．?C．?D．?

3977

4．如图，三个全等的正方形内接于圆，正方形的边长为16，则圆的半径为：

A．?

A．

B．

C．

D．5．若自然数n使得作竖式加法n?(n?1)?(n?2)时均不产生进位现象，便称n为“好数”．如因为12+13+14不产生进位现象，所以12是“好数”；但13+14+15产生进位现象，所以13不是“好数”，则不超过100的“好数”共有:A．9个B．11个C．12个D．15个6．函数y?x|x|?2x?2的图象与x轴的交点个数是：

A．4

B．3

C．1

D．0

27．已知实数a、b满足(a?1)?(a?6)2?10?|b?3|?|b?2|，则a2?b2的最大值为：

A．50B．45C．40D．10

二、填空题（本大题共6个小题，每小题7分，共42分）

8．已知关于x的方程x?x?k有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是

1

10．如图，点A、C都在函数y?3(x?0)的图象上，点B、D都在x

xx轴上，且使得△OAB、△BCD都是等边三角形，则点D的坐标

为．

212．二次函数y?ax?bx?c的图象如图所示，Q(n,2)是图象上的一点，且AQ?BQ，则a

的值为．

(第12题图)(第13题图①)(第13题图②)

13．将两个相似比为1：2的等腰直角三角形如图①放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合．绕点C旋转小直角三角形，使它的斜边与AB交于点E，CD的延长线与AB交于点F，如图②．若AE?2,BF?1，则EF=.

三、解答题（本大题共5个小题，计66分，写出必要的推算或演算步骤）

14．（本题12分）一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车．问再过多少分钟，货车追上了客车？

2

15．（本题12分）已知m,n为整数，给出如下三个关于x方程：①x?(6?m)x?7?n?0

2

②x?mx?3?n?0

2

③x?(4?m)x?5?n?0

2

若方程①有两个相等的实数根，方程②③有且仅有一个方程有两个不相等的实数根，求

(m?n)2013的值．

16．（本题14分）已知如图，抛物线y?ax?bx?2与x轴相交于B（x1，0）、C（x2，0）(x1,x2

均大于0)两点,与y轴的正半轴相交于A点.过A、B、C三点的⊙P与y轴相切于点A，其面积为

2

25?

.4

（1）请确定抛物线的解析式；

（2）M为y轴负半轴上的一个动点，直线MB交⊙P于点D．若△AOB与以A、B、D为顶

点的三角形相似，求MB?MD的值．（先画出符合题意的示意图再求解）．

3

17．（本题14分）如图，已知菱形ABCD，∠B=60°．△ADC内一点M满足∠AMC=120°，若直线BA与CM交于点P，直线BC与AM交于点Q，求证：P、D、Q三点共线．18．（本题14分）某寄宿制学校的一间宿舍里住着若干名学生，其中一人担任舍长．元旦时，该宿舍里的每名学生互赠一张贺卡，且每人又赠给宿舍楼的每位管理员一张贺卡，每位管理员也回赠舍长一张贺卡，这样共用去了51张贺卡，问这间宿舍里住有多少名学生？

4

数学参考答案

11

8．0?k?9．510．(26,0)11．?12212．?13．3

42

三、解答题（本大题共5个小题，计66分，写出必要的推算或演算步骤）

14．解：设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、客车的速度分别为a，b，c（千米/分），并设货车经x分钟追上客车，由题意得

?10(a?b)?S?

?15(a?c)?2S…………………………………………………………………………6分?x(b?c)?S?

∴30（b?c）?S，∴x?30．……………………………………………………10分故30-10-5=15（分）．

答：再过15分钟，货车追上了客车．……………………………………………………12分15．解：依题意得

?(6?m)2?4(7?n)?0??(1)?(6?m)2?4(7?n)?0??(1)?2?2

或m?4(3?n)?0????(2)??m?4(3?n)?0????(2)……4分

??22(4?m)?4(5?n)?0??(3)??(4?m)?4(5?n)?0??(3)

由（1）得4n??m?12m?8代入（2）、（3）得又m，n为整数，?m?2或m?3当?m?2时，n?3；当m?3时，n?

2

5

?m?3或无解………………7分3

19

（舍）4

?m?2，n?3

则(m?n)

2013

??1……………12分

16．（1）解：根据题意知：圆半径PA=

5

，取BC中点为E，连接PB，PE，则PE?BC2

5

，PO=OA=2，由勾股定理和圆性质知：2

3

BE=CE=

2

且PB=PA=

5

从而知：B(1,0),C(4,0)…………………………………………………………3分将B，C两点坐标代入抛物线方程，可得：

抛物线的解析式是：y?1x2?5x?2……………………………………6分

2

2

（2）根据题意∠OAB=∠ADB，所以△AOB和△ABD相似有两种情况①∠ABD和∠AOB对应，此时AD是⊙P的直径则AB=

5

，AD=5，BD=2

5

?Rt?AMB∽Rt?DAB∴MA：AD=AB：BD

即MA=

AB?AD5

?BD2

又?Rt?AMB∽Rt?DMA

∴MA：MD=MB：MA

……………………………………………………10分

②∠BAD和∠AOB对应，此时BD是⊙P

线MB过P点

4

即MB·MD=MA2=25

∵B（1，0），P（5,2)

2

∴直线MB的解析式是：y?4x?4

3

3

∴M点的坐标为（0，?∴AM=

4

）3

10

由△MAB∽△MDA得MA：MD=MB：MA3

100

∴MB·MD=MA2=………………………………………………14分

9

17．证:连结PD,DQ．易证?PAC∽?AMC，

?AMC∽?ACQ，……………………3分

∴∴

PAACACQC

，．??

AMMCAMMC

AC2?PA?QC，………………………………………………7分

∵AC?AD?DC，

6

∴

PAAD

，?

DCQC

∵?PAD??DCQ?60?，

∴?PAD∽?DCQ，…………………………………………………………………………10分∴?APD??CDQ，

∴?PDA??ADC??CDQ?180?，

∴P、D、Q三点共线．……………………………………………………………………14分18．解：这间宿舍住着x名学生，y名管理员(x,y?N)，

由题意得x(x?1)?xy?y?51，………………………………………………………4分化简得x?(y?1)x?y?51?0，

则??(y?1)?4(y?51)?y?6y?205?(y?3)?196，

∵x?N，∴?必为完全平方数．………………………………………………………6分设(y?3)?196?k(k?N)，则(y?3?k)(y?3?k)??196，

其中y?3?k和y?3?k具有相同的奇偶性，且y?3?k?y?3?k，

∴?y?3?k?2①或?y?3?k?98②或?y?3?k?14③…10分

2

2

2

2

2

2

?

?y?3?k??98?

?y?3?k??2?

?y?3?k??14

由方程组①得y??45，不合题意，舍去；

由方程组②得y?51，此时，原方程为x?50x?0，解得x1??50,x2?0（舍去）；由方程组③得y?3，此时，原方程为x?2x?48?0，解得x1?6,x2??8（舍去）；综上所述，x?6．

答：这间宿舍里住有6名学生．…………………………………………………………14分

22

7

17．（本题14分）如图，已知菱形ABCD，∠B=60°．△ADC内一点M满足∠AMC=120°，若直线BA与CM交于点P，直线BC与AM交于点Q，求证：P、D、Q三点共线．18．（本题14分）某寄宿制学校的一间宿舍里住着若干名学生，其中一人担任舍长．元旦时，该宿舍里的每名学生互赠一张贺卡，且每人又赠给宿舍楼的每位管理员一张贺卡，每位管理员也回赠舍长一张贺卡，这样共用去了51张贺卡，问这间宿舍里住有多少名学生？

4

数学参考答案

11

8．0?k?9．510．(26,0)11．?12212．?13．3

42

三、解答题（本大题共5个小题，计66分，写出必要的推算或演算步骤）

14．解：设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、客车的速度分别为a，b，c（千米/分），并设货车经x分钟追上客车，由题意得

?10(a?b)?S?

?15(a?c)?2S…………………………………………………………………………6分?x(b?c)?S?

∴30（b?c）?S，∴x?30．……………………………………………………10分故30-10-5=15（分）．

答：再过15分钟，货车追上了客车．……………………………………………………12分15．解：依题意得

?(6?m)2?4(7?n)?0??(1)?(6?m)2?4(7?n)?0??(1)?2?2

或m?4(3?n)?0????(2)??m?4(3?n)?0????(2)……4分

??22(4?m)?4(5?n)?0??(3)??(4?m)?4(5?n)?0??(3)

由（1）得4n??m?12m?8代入（2）、（3）得又m，n为整数，?m?2或m?3当?m?2时，n?3；当m?3时，n?

2

5

?m?3或无解………………7分3

19

（舍）4

?m?2，n?3

则(m?n)

2013

??1……………12分

16．（1）解：根据题意知：圆半径PA=

5

，取BC中点为E，连接PB，PE，则PE?BC2

5

，PO=OA=2，由勾股定理和圆性质知：2

3

BE=CE=

2

且PB=PA=

5

从而知：B(1,0),C(4,0)…………………………………………………………3分将B，C两点坐标代入抛物线方程，可得：

抛物线的解析式是：y?1x2?5x?2……………………………………6分

2

2

（2）根据题意∠OAB=∠ADB，所以△AOB和△ABD相似有两种情况①∠ABD和∠AOB对应，此时AD是⊙P的直径则AB=

5

，AD=5，BD=2

5

?Rt?AMB∽Rt?DAB∴MA：AD=AB：BD

即MA=

AB?AD5

?BD2

又?Rt?AMB∽Rt?DMA

∴MA：MD=MB：MA

……………………………………………………10分

②∠BAD和∠AOB对应，此时BD是⊙P

线MB过P点

4

即MB·MD=MA2=25

∵B（1，0），P（5,2)

2

∴直线MB的解析式是：y?4x?4

3

3

∴M点的坐标为（0，?∴AM=

4

）3

10

由△MAB∽△MDA得MA：MD=MB：MA3

100

∴MB·MD=MA2=………………………………………………14分

9

17．证:连结PD,DQ．易证?PAC∽?AMC，

?AMC∽?ACQ，……………………3分

∴∴

PAACACQC

，．??

AMMCAMMC

AC2?PA?QC，………………………………………………7分

∵AC?AD?DC，

6

∴

PAAD

，?

DCQC

∵?PAD??DCQ?60?，

∴?PAD∽?DCQ，…………………………………………………………………………10分∴?APD??CDQ，

∴?PDA??ADC??CDQ?180?，

∴P、D、Q三点共线．……………………………………………………………………14分18．解：这间宿舍住着x名学生，y名管理员(x,y?N)，

由题意得x(x?1)?xy?y?51，………………………………………………………4分化简得x?(y?1)x?y?51?0，

则??(y?1)?4(y?51)?y?6y?205?(y?3)?196，

∵x?N，∴?必为完全平方数．………………………………………………………6分设(y?3)?196?k(k?N)，则(y?3?k)(y?3?k)??196，

其中y?3?k和y?3?k具有相同的奇偶性，且y?3?k?y?3?k，

∴?y?3?k?2①或?y?3?k?98②或?y?3?k?14③…10分

2

2

2

2

2

2

?

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?y?3?k??14

由方程组①得y??45，不合题意，舍去；

由方程组②得y?51，此时，原方程为x?50x?0，解得x1??50,x2?0（舍去）；由方程组③得y?3，此时，原方程为x?2x?48?0，解得x1?6,x2??8（舍去）；综上所述，x?6．

答：这间宿舍里住有6名学生．…………………………………………………………14分

22

7

数学参考答案

11

8．0?k?9．510．(26,0)11．?12212．?13．3

42

三、解答题（本大题共5个小题，计66分，写出必要的推算或演算步骤）

14．解：设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、客车的速度分别为a，b，c（千米/分），并设货车经x分钟追上客车，由题意得

?10(a?b)?S?

?15(a?c)?2S…………………………………………………………………………6分?x(b?c)?S?

∴30（b?c）?S，∴x?30．……………………………………………………10分故30-10-5=15（分）．

答：再过15分钟，货车追上了客车．……………………………………………………12分15．解：依题意得

?(6?m)2?4(7?n)?0??(1)?(6?m)2?4(7?n)?0??(1)?2?2

或m?4(3?n)?0????(2)??m?4(3?n)?0????(2)……4分

??22(4?m)?4(5?n)?0??(3)??(4?m)?4(5?n)?0??(3)

由（1）得4n??m?12m?8代入（2）、（3）得又m，n为整数，?m?2或m?3当?m?2时，n?3；当m?3时，n?

2

5

?m?3或无解………………7分3

19

（舍）4

?m?2，n?3

则(m?n)

2013

??1……………12分

16．（1）解：根据题意知：圆半径PA=

5

，取BC中点为E，连接PB，PE，则PE?BC2

5

，PO=OA=2，由勾股定理和圆性质知：2

3

BE=CE=

2

且PB=PA=

5

从而知：B(1,0),C(4,0)…………………………………………………………3分将B，C两点坐标代入抛物线方程，可得：

抛物线的解析式是：y?1x2?5x?2……………………………………6分

2

2

（2）根据题意∠OAB=∠ADB，所以△AOB和△ABD相似有两种情况①∠ABD和∠AOB对应，此时AD是⊙P的直径则AB=

5

，AD=5，BD=2

5

?Rt?AMB∽Rt?DAB∴MA：AD=AB：BD

即MA=

AB?AD5

?BD2

又?Rt?AMB∽Rt?DMA

∴MA：MD=MB：MA

……………………………………………………10分

②∠BAD和∠AOB对应，此时BD是⊙P

线MB过P点

4

即MB·MD=MA2=25

∵B（1，0），P（5,2)

2

∴直线MB的解析式是：y?4x?4

3

3

∴M点的坐标为（0，?∴AM=

4

）3

10

由△MAB∽△MDA得MA：MD=MB：MA3

100

∴MB·MD=MA2=………………………………………………14分

9

17．证:连结PD,DQ．易证?PAC∽?AMC，

?AMC∽?ACQ，……………………3分

∴∴

PAACACQC

，．??

AMMCAMMC

AC2?PA?QC，………………………………………………7分

∵AC?AD?DC，

6

∴

PAAD

，?

DCQC

∵?PAD??DCQ?60?，

∴?PAD∽?DCQ，…………………………………………………………………………10分∴?APD??CDQ，

∴?PDA??ADC??CDQ?180?，

∴P、D、Q三点共线．……………………………………………………………………14分18．解：这间宿舍住着x名学生，y名管理员(x,y?N)，

由题意得x(x?1)?xy?y?51，………………………………………………………4分化简得x?(y?1)x?y?51?0，

则??(y?1)?4(y?51)?y?6y?205?(y?3)?196，

∵x?N，∴?必为完全平方数．………………………………………………………6分设(y?3)?196?k(k?N)，则(y?3?k)(y?3?k)??196，

其中y?3?k和y?3?k具有相同的奇偶性，且y?3?k?y?3?k，

∴?y?3?k?2①或?y?3?k?98②或?y?3?k?14③…10分

2

2

2

2

2

2

?

?y?3?k??98?

?y?3?k??2?

?y?3?k??14

由方程组①得y??45，不合题意，舍去；

由方程组②得y?51，此时，原方程为x?50x?0，解得x1??50,x2?0（舍去）；由方程组③得y?3，此时，原方程为x?2x?48?0，解得x1?6,x2??8（舍去）；综上所述，x?6．

答：这间宿舍里住有6名学生．…………………………………………………………14分

22

7

从而知：B(1,0),C(4,0)…………………………………………………………3分将B，C两点坐标代入抛物线方程，可得：

抛物线的解析式是：y?1x2?5x?2……………………………………6分22

（2）根据题意∠OAB=∠ADB，所以△AOB和△ABD相似有两种情况①∠ABD和∠AOB对应，此时AD是⊙P的直径

则AB=5，AD=5，BD=25?Rt?AMB∽Rt?DAB

∴MA：AD=AB：BD即MA=AB?AD5?BD2

又?Rt?AMB∽Rt?DMA

∴MA：MD=MB：MA

……………………………………………………10分

②∠BAD和∠AOB对应，此时BD是⊙P

线MB过P点4即MB·MD=MA2=25∵B（1，0），P（5,2)2∴直线MB的解析式是：y?4x?433∴M点的坐标为（0，?

∴AM=4）310由△MAB∽△MDA得MA：MD=MB：MA3

100∴MB·MD=MA2=………………………………………………14分9

17．证:连结PD,DQ．易证?PAC∽?AMC，

?AMC∽?ACQ，……………………3分

∴

∴PAACACQC，．??AMMCAMMC

AC2?PA?QC，………………………………………………7分

∵AC?AD?DC，

6

∴PAAD，?DCQC

∵?PAD??DCQ?60?，

∴?PAD∽?DCQ，…………………………………………………………………………10分∴?APD??CDQ，

∴?PDA??ADC??CDQ?180?，

∴P、D、Q三点共线．……………………………………………………………………14分

18．解：这间宿舍住着x名学生，y名管理员(x,y?N)，

由题意得x(x?1)?xy?y?51，………………………………………………………4分化简得x?(y?1)x?y?51?0，

则??(y?1)?4(y?51)?y?6y?205?(y?3)?196，

∵x?N，∴?必为完全平方数．………………………………………………………6分设(y?3)?196?k(k?N)，

则(y?3?k)(y?3?k)??196，

其中y?3?k和y?3?k具有相同的奇偶性，且y?3?k?y?3?k，

∴?y?3?k?2①或?y?3?k?98②或?y?3?k?14③…10分222222??y?3?k??98??y?3?k??2??y?3?k??14

由方程组①得y??45，不合题意，舍去；

由方程组②得y?51，此时，原方程为x?50x?0，解得x1??50,x2?0（舍去）；由方程组③得y?3，此时，原方程为x?2x?48?0，解得x1?6,x2??8（舍去）；综上所述，x?6．

答：这间宿舍里住有6名学生．…………………………………………………………14分22

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