高中四大名校自主招生考试试卷附答案(中考、理科数学竞赛必备)
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长郡中学2008年高一实验班选拔考试试卷
注意：
(1)试卷共有三大题16小题，满分120分，考试时间80分钟.
(2)请把解答写在答题卷的对应题次上,做在试题卷上无效.
一、选择题（本题有6小题，每小题5分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子内.
1．在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在()
(A)直线y=–x上(B)抛物线y=x2上
(C)直线y=x上(D)双曲线xy=1上
2．以等速度行驶的城际列车，若将速度提高25%，则相同距离的行车时间可节省k%，那么k的值是()
(A)35(B)30(C)25(D)20
3．若－1＜a＜0，则a,a,a,
(A)
(C)1a1
a31a一定是()最小，a3最大(B)最小，a最大(D)a最小，a最大1
a最小，a最大
4．如图，将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得
△ABF，连结EF交AB于H，则下列结论错误的是
(A)AE⊥AF（B）EF：AF=2：1
(C)AF=FH2FE（D）FB：FC=HB：EC
5．在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且CD与BE相交于点F，已知△BDF的面积为10，△BCF的面积为20，△CEF的面积为16，则四边形区域ADFE的面积等于
(A)22(B)24(D)36(D)44
6．某医院内科病房有护士15人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是
（A）30（B）35（C）56（D）448
二、填空题（本题有6个小题，每小题5分，共30分）
7．若4sinA–4sinAcosA+cosA=0,则tanA
.222第4题
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8．在某海防观测站的正东方向12海浬处有A、B两艘船相会之后，A船以每小时12海浬的速度往南航行，B船则以每小时3海浬的速度向北漂流.则经过小时后，观测站及
A、B两船恰成一个直角三角形.
9．如右图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其
长、宽分别为4、2，则通过A,B,C三点的拋物线对应的函数关系式
是.
10．桌面上有大小两颗球，相互靠在一起。已知大球的半径为20cm，小
球半径5cm,则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于
cm.
11．物质A与物质B分别由点A(2,0)同时出发，沿正方形BCDE
的周界做环绕运动，物质A按逆时针方向以l单位/秒等速运动，
物质B按顺时针方向，以2单位/秒等速运动，则两个物质运动
后的第11次相遇地点的坐标是.
12．设C1,C2,C3,??为一群圆,其作法如下：C1是半径为a
的圆,在C1的圆内作四个相等的圆C2(如图),每个圆C2
和圆C1都内切,且相邻的两个圆C2均外切,再在每一个
圆C2中,用同样的方法作四个相等的圆C3,依此类推作
出C4,C5,C6,??,则
(1)圆C2的半径长等于
表示)；
(2)圆Ck的半径为(k为(用a第12题
(第11题
)(第9题)
正整数，用a表示，不必证明)
三、解答题（本题有4个小题，共60分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤。
13.（本小题满分12分）如图，四边形ABCD内接于圆O，且AD
是圆O的直径，DC与AB的延长线相交于E点，OC∥AB.
(1)求证AD=AE；
(2)若OC=AB=4，求△BCE的面积.
14.（本题满分14分）已知抛物线y=x+2px+2p–2的顶点为M，
(1)求证抛物线与x轴必有两个不同交点；
(2)设抛物线与x轴的交点分别为A，B，求实数p的值使△ABM面积达到最小.
15（本小题满分16分）某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表：
2
A队共积19分。
(1)试判断A队胜、平、负各几场?
(2)若每一场每名参赛队员均得出场费500元，设A队中一位参赛队员所得的奖金与出场费的和为W（元），试求W的最大值.
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16（本小题满分18分）已知：矩形ABCD，（字母顺序如图）
的边长AB=3，AD=2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy中，
使AB在x轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，
且直线y=3
2x－1经过这两个顶点中的一个.
（第16题）（1）求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标；（2）以AB为直径作⊙M，经过A、B两点的抛物线，y=ax2
＋bx＋c的顶点是P点.
①若点P位于⊙M外侧且在矩形ABCD内部，求a的取值范围；
②过点C作⊙M的切线交AD于F点，当PF∥AB时，试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线y=
32x－1的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由.
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2008年高一实验班选拔考试数学卷评分标准
一、选择题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
1．D2．D3．A4．C5．D6．B
二、填空题（本题有6个小题，每小题5分，共30分）
7．1
2.8．2.9．y=–
4
3512x–212x+203.10．20.11．(–,–2).
12．(1)圆C2的半径(2?1)a；(2)圆Ck的半径(2–1)n–1a.
三、解答题
13.（本小题满分12分）
（1）证1.∵AD是圆O的直径，点C在圆O上，
∴∠ACD=90?，即AC⊥DE.
又∵OC∥AE，O为AD中点，
∴AD=AE.4分
证2∵O为AD中点，OC∥AE，
∴2OC=AE，
又∵AD是圆O的直径，
∴2OC=AD，
∴AD=AE.4
分
（2）由条件得ABCO是平行四边形，
∴BC∥AD，
又C为中点，∴AB=BE=4，
∵AD=AE，
∴BC=BE=4，4分
连接BD，∵点B在圆O上，
∴∠DBE=90?，
∴CE=BC=4，
即BE=BC=CE=4，
∴所求面积为43.4分
14.（本题满分14分）
解：(1)∵⊿=4p2–8p+8=4(p–1)2+4>0,
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∴抛物线与x轴必有两个不同交点.4分
(2)设A(x1,0),B(x2,0),
则|AB|2=|x2–x1|2=[(x1+x2)2–4x1x2]2=[4p2–8p+8]2=[4(p–1)2+4]2,∴|AB|=2(p?1)2?1.5分又设顶点M(a,b),由y=(x–p)–(p–1)–1.
得b=–(p–1)–1.
当p=1时，|b|及|AB|均取最小，此时S△ABM=
15（本小题满分16分）
解：（1）设A队胜x场，平y场，负z场，
得??x?y?z?12
?3x?y?1922212|AB||b|取最小值1.5分，可得：??y?19?3x
?z?2x?74分
依题意，知x≥0,y≥0,z≥0,且x、y、z均为整数，
?19?3x?0
?∴?2x?7?0
?x?0?解得：≤x≤27193，∴x可取4、5、64分
∴A队胜、平、负的场数有三种情况：当x=4时，y=7,z=1；
当x=5时，y=4,z=3；
当x=6时，y=1,z=5.4分
（2）∵W=（1500+500）x+(700+500)y+500z=–600x+19300
当x=4时，W最大，W最大值=–6034+19300=16900（元）答略.4分
16（本小题满分18分）
解：(1)如图，建立平面直有坐标系，
∵矩形ABCD中，AB=3，AD=2，
设A(m0)（m>0),则有B(m＋30)；C(m＋32),D(m
2);
若C点过y=3
2x－1；则2=3
2(m＋3)－1,
m=－1与m＞0不合；
∴C点不过y=3
2x－1；
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