2013年成都树德中学(九中)自主招生考试数学试题及答案

?（3）已知a、b、c是直角三角形?ABC的角A、B、C所对的边，?C?90。求：

1111???的值。a?b?cb?c?ac?a?bc?a?b

18、（本题满分9分）已知x、y、z为实数，且x?y?z?5,xy?yz?zx?3。试求z的最大值和最小值。

19、（本题满分9分）在成都火车站开始检票时，有a(a>0)名旅客在候车室排队等候检票进站。检票开始

后，仍有旅客继续前来排队检票进站，设旅客按固定的速度增加，检票口按固定的速度检票。若开放一个检票口，则需30分钟才能将排队等候的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则需10分钟才能将排队等候的旅客全部检票完毕；如果现在要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以后进站的旅客能够随到随检，至少要同时开放几个检票口？

21、（本题满分12分）如图，在直角坐标平面内，O为坐标原点，点A的坐标为（1，0），点B在x轴上

且在点A的右侧，AB?OA，过点A和B作x轴的垂线，分别交二次函数y?x2的图像于点C和D。直线OC交BD于M，直线CD交y轴于点H，记点C、D的横坐标分别为xC、xD，点H的纵坐标为yH。

（1）请你验证以下的两个命题成立：①S?CDM:SABMC?2:3；②数值相等关系：xC?xD??yH；（2）请你研究：如果将上述命题的条件“点A的坐标为（1，0）”改为“点A的坐标为（t，0）（t?0）”，其它条件不变，结论①是否成立？

（3）如果将上述命题的条件“点A的坐标为（1，0）”改为“点A的坐标为（t，0）（t?0）”，又将条件“y?x2”改为“y?ax2(a?0)”，其它条件不变，那么xC、xD和yH有怎样的数值关系？

22、（本题满分11分）如图所示，在ΔABC中，∠A=900，AD⊥BC于D．∠B的平分线分别与AD、

AC交于E，F，H为EF的中点．(1)求证：AH⊥EF；(2)设ΔAHF、ΔBDE、ΔBAF的周长为

cl、c2、c3。试证明：

AFc1?c29

的值．?，并指出等号成立时BFc38

数学试卷参考答案

本大题共6个小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。

10811．；12．16；13．；14．?1,?1?；15．?8；16．729；

313

三、解答题17、（1）解

?x2?y2?2?1??x?y??x2?y2?2xy?2?2xy?xy??

3?1?5?

x3?y3??x?y??3xy

?x?

y??1?3?????

?2?2

2

12

x4?y4??x2?y

22

?

?1?7

?2x2y2?4?2????

2?2?

3

2

57?1?71

?x7?y7??x3?y3??x4?y4??x3y3?x?y????????1?

22?2?8

（2?x?y?z,则原式=

x

x?yx?zy?xy?zz?xz?y?

y

?

z

=

x?y?z??y?x?z??z?x?y??0

x?yy?zx?z（3）解：原式=

(

11112c2c

?)?(?)?2?22

a?b?cc?a?bb?c?ac?a?bc??a?b?c2??a?b?

2c2c

?

c2?a2?b2?2abc2?a2?b2?2ab?0?

2

18、解：因为：x、y、z为实数，所以???z?5??4z?5z?3?0?3z?10z?13?0

2

2

??

即

?x?y?z?5

??x?z??5?x?z??xz?3?x2??z?5?x?(z2?5z?3)?0?

?xy?yz?zx?3

1313

，故z的最大值是，z的最小值是?1。

33

?3z?13??z?1??0??1?z?

19、解：设检票开始后每分钟新增加旅客x人，检票的速度为每个检票口每分钟检y人，5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕需要同时开放n个检票口。

?a?30x?30y

aa?

,y?由题意，得?a?10x?2?10y?x?3015?a?5x?n?5y

?a?5?

aa7?n?5??n?30152

n取最小的整数，所以：n=4

20

?OI?1

2

AE

21解：（1）由已知条件可得点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（1，1），点D的坐标为(2,4)。由点C的坐标为(1，1)易得直线OC对应的函数解析式为y＝x，所以点M的坐标为(2，2)．因此S?CMD?1,??S梯形ABMC?

3

，从而证得结论①成立，对结论②证明方法有如下两个：2

方法一：设直线CD的函数解析式为y＝kx+b，

?k?b?1?k?3则???得???,

2k?b?4,b??2??

∴直线CD对应的函数解析式为y＝3x-2；由上述可得，点H的坐标为(0，-2)，yH＝-2，

∵xC·xD＝2，∴xC·xD＝-yH，即结论②成立；

方法二：又根据题意，可证ΔOCH≌ΔMCD，得CH＝CM＝2．所以，YH＝-2，证得②成立．(2)方法同(1)，由已知得B(2t，0)、C(t,t)、D(2t，4t2)，直线OC对应的一次函数的解析式为y＝tx，故M(2t，2t2)．

∴S?CMD:?S梯形ABMC?(3)xC?xD??

2

2

1t

?(2t2):(t2?2t2)?2:3。所以，结论①仍然成立．22

1

yH.???由题意得C(t,at2),?D(2t,4at2)然后可求得直线CD对应的一次函数的解析a

2

2

式为y?3atx?2at,??得H的坐标为(0,?2at),?即yH??2at.

∵xC?xD?2t,??xC?xD??

2

1

yH.a

22解：（1）∠BAC=900，AD⊥BC，

∴∠AFB=900-∠ABF，∠AEF=∠BED=900-∠DEB又BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠DBF，

∵∠AFB=∠AEF，∴AE=AF，H为EF的中点，∴AH⊥EF；（2

）设BF?x,???

AF

?k,??则AF?kx,??BA??BF

∵∠AFH=∠BED，∴RtΔAHF∽RtΔBED∽RtΔBAF，

∴

HFDEAFAF?BE?BF?k,??AHAF?BDBE?BA

BF

?而BE=BF-2HF=x-2k·AF=x-2k2x=(1-2k2)x，

∴cAF?HF?AH?k(1?k

1?x,

c2?BE?BD?DE?(1k)(1?

2k2)x,c3?AF?BA?BF?(k1)x,

∴

c1?c2c??2k2?k?1??2(k?1)2?9?9

,3488

故当k?14时,???AFBF?1

4

时取等号.

22、（本题满分11分）如图所示，在ΔABC中，∠A=900，AD⊥BC于D．∠B的平分线分别与AD、

AC交于E，F，H为EF的中点．(1)求证：AH⊥EF；(2)设ΔAHF、ΔBDE、ΔBAF的周长为

cl、c2、c3。试证明：

AFc1?c29

的值．?，并指出等号成立时BFc38

数学试卷参考答案

本大题共6个小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。

10811．；12．16；13．；14．?1,?1?；15．?8；16．729；

313

三、解答题17、（1）解

?x2?y2?2?1??x?y??x2?y2?2xy?2?2xy?xy??

3?1?5?

x3?y3??x?y??3xy

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2

12

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3

2

57?1?71

?x7?y7??x3?y3??x4?y4??x3y3?x?y????????1?

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（2?x?y?z,则原式=

x

x?yx?zy?xy?zz?xz?y?

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=

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x?yy?zx?z（3）解：原式=

(

11112c2c

?)?(?)?2?22

a?b?cc?a?bb?c?ac?a?bc??a?b?c2??a?b?

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?

c2?a2?b2?2abc2?a2?b2?2ab?0?

2

18、解：因为：x、y、z为实数，所以???z?5??4z?5z?3?0?3z?10z?13?0

2

2

??

即

?x?y?z?5

??x?z??5?x?z??xz?3?x2??z?5?x?(z2?5z?3)?0?

?xy?yz?zx?3

1313

，故z的最大值是，z的最小值是?1。

33

?3z?13??z?1??0??1?z?

19、解：设检票开始后每分钟新增加旅客x人，检票的速度为每个检票口每分钟检y人，5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕需要同时开放n个检票口。

?a?30x?30y

aa?

,y?由题意，得?a?10x?2?10y?x?3015?a?5x?n?5y

?a?5?

aa7?n?5??n?30152

n取最小的整数，所以：n=4

20

?OI?1

2

AE

21解：（1）由已知条件可得点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（1，1），点D的坐标为(2,4)。由点C的坐标为(1，1)易得直线OC对应的函数解析式为y＝x，所以点M的坐标为(2，2)．因此S?CMD?1,??S梯形ABMC?

3

，从而证得结论①成立，对结论②证明方法有如下两个：2

方法一：设直线CD的函数解析式为y＝kx+b，

?k?b?1?k?3则???得???,

2k?b?4,b??2??

∴直线CD对应的函数解析式为y＝3x-2；由上述可得，点H的坐标为(0，-2)，yH＝-2，

∵xC·xD＝2，∴xC·xD＝-yH，即结论②成立；

方法二：又根据题意，可证ΔOCH≌ΔMCD，得CH＝CM＝2．所以，YH＝-2，证得②成立．(2)方法同(1)，由已知得B(2t，0)、C(t,t)、D(2t，4t2)，直线OC对应的一次函数的解析式为y＝tx，故M(2t，2t2)．

∴S?CMD:?S梯形ABMC?(3)xC?xD??

2

2

1t

?(2t2):(t2?2t2)?2:3。所以，结论①仍然成立．22

1

yH.???由题意得C(t,at2),?D(2t,4at2)然后可求得直线CD对应的一次函数的解析a

2

2

式为y?3atx?2at,??得H的坐标为(0,?2at),?即yH??2at.

∵xC?xD?2t,??xC?xD??

2

1

yH.a

22解：（1）∠BAC=900，AD⊥BC，

∴∠AFB=900-∠ABF，∠AEF=∠BED=900-∠DEB又BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠DBF，

∵∠AFB=∠AEF，∴AE=AF，H为EF的中点，∴AH⊥EF；（2

）设BF?x,???

AF

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∵∠AFH=∠BED，∴RtΔAHF∽RtΔBED∽RtΔBAF，

∴

HFDEAFAF?BE?BF?k,??AHAF?BDBE?BA

BF

?而BE=BF-2HF=x-2k·AF=x-2k2x=(1-2k2)x，

∴cAF?HF?AH?k(1?k

1?x,

c2?BE?BD?DE?(1k)(1?

2k2)x,c3?AF?BA?BF?(k1)x,

∴

c1?c2c??2k2?k?1??2(k?1)2?9?9

,3488

故当k?14时,???AFBF?1

4

时取等号.

数学试卷参考答案

本大题共6个小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。

10811．；12．16；13．；14．?1,?1?；15．?8；16．729；

313

三、解答题17、（1）解

?x2?y2?2?1??x?y??x2?y2?2xy?2?2xy?xy??

3?1?5?

x3?y3??x?y??3xy

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2

12

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2

57?1?71

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22?2?8

（2?x?y?z,则原式=

x

x?yx?zy?xy?zz?xz?y?

y

?

z

=

x?y?z??y?x?z??z?x?y??0

x?yy?zx?z（3）解：原式=

(

11112c2c

?)?(?)?2?22

a?b?cc?a?bb?c?ac?a?bc??a?b?c2??a?b?

2c2c

?

c2?a2?b2?2abc2?a2?b2?2ab?0?

2

18、解：因为：x、y、z为实数，所以???z?5??4z?5z?3?0?3z?10z?13?0

2

2

??

即

?x?y?z?5

??x?z??5?x?z??xz?3?x2??z?5?x?(z2?5z?3)?0?

?xy?yz?zx?3

1313

，故z的最大值是，z的最小值是?1。

33

?3z?13??z?1??0??1?z?

19、解：设检票开始后每分钟新增加旅客x人，检票的速度为每个检票口每分钟检y人，5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕需要同时开放n个检票口。

?a?30x?30y

aa?

,y?由题意，得?a?10x?2?10y?x?3015?a?5x?n?5y

?a?5?

aa7?n?5??n?30152

n取最小的整数，所以：n=4

20

?OI?1

2

AE

21解：（1）由已知条件可得点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（1，1），点D的坐标为(2,4)。由点C的坐标为(1，1)易得直线OC对应的函数解析式为y＝x，所以点M的坐标为(2，2)．因此S?CMD?1,??S梯形ABMC?

3

，从而证得结论①成立，对结论②证明方法有如下两个：2

方法一：设直线CD的函数解析式为y＝kx+b，

?k?b?1?k?3则???得???,

2k?b?4,b??2??

∴直线CD对应的函数解析式为y＝3x-2；由上述可得，点H的坐标为(0，-2)，yH＝-2，

∵xC·xD＝2，∴xC·xD＝-yH，即结论②成立；

方法二：又根据题意，可证ΔOCH≌ΔMCD，得CH＝CM＝2．所以，YH＝-2，证得②成立．(2)方法同(1)，由已知得B(2t，0)、C(t,t)、D(2t，4t2)，直线OC对应的一次函数的解析式为y＝tx，故M(2t，2t2)．

∴S?CMD:?S梯形ABMC?(3)xC?xD??

2

2

1t

?(2t2):(t2?2t2)?2:3。所以，结论①仍然成立．22

1

yH.???由题意得C(t,at2),?D(2t,4at2)然后可求得直线CD对应的一次函数的解析a

2

2

式为y?3atx?2at,??得H的坐标为(0,?2at),?即yH??2at.

∵xC?xD?2t,??xC?xD??

2

1

yH.a

22解：（1）∠BAC=900，AD⊥BC，

∴∠AFB=900-∠ABF，∠AEF=∠BED=900-∠DEB又BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠DBF，

∵∠AFB=∠AEF，∴AE=AF，H为EF的中点，∴AH⊥EF；（2

）设BF?x,???

AF

?k,??则AF?kx,??BA??BF

∵∠AFH=∠BED，∴RtΔAHF∽RtΔBED∽RtΔBAF，

∴

HFDEAFAF?BE?BF?k,??AHAF?BDBE?BA

BF

?而BE=BF-2HF=x-2k·AF=x-2k2x=(1-2k2)x，

∴cAF?HF?AH?k(1?k

1?x,

c2?BE?BD?DE?(1k)(1?

2k2)x,c3?AF?BA?BF?(k1)x,

∴

c1?c2c??2k2?k?1??2(k?1)2?9?9

,3488

故当k?14时,???AFBF?1

4

时取等号.

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