高中自主招生考试数学试卷
高中自主招生考试数学试卷
亲爱的同学：
欢迎你参加萧山中学自主招生考试。萧山中学是省一级重点中学，有雄厚的师资，优秀的学生，先进的育人理念，还有美丽的校园，相信你的加盟将使她更加星光灿烂。为了你能顺利地参加本次考试，请你仔细阅读下面的话：
1、试卷分试题卷和答题卷两部分。满分为100分，考试时间为70分钟。
2、答题时，应该在答题卷密封区内写明姓名、学校和准考证号码。
3、所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，请务必注意试题序号和答题序号相对应。
一、选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题4分，共32分）
1．计算tan60??2sin45??2cos30?的结果是
A．2B
C．1D
2．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30?到正C方形AB?C?D?，图中阴影部分的面积为
A
．1?B
C
．1D．12D
3．已知a,b为实数，且ab?1，设M?ab11??，N?，则M,N的大a?1b?1a?1b?1
小关系是
A．M?NB．M?NC．M?ND．无法确定
4.一名考生步行前往考场，10分钟走了总路程的1，估计步行4
不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间
关系如图所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比
一直步行提前了()
A．20分钟Ｂ．22分钟
Ｃ．24分钟D．26分钟
5.二次函数y??2x2?4x?1的图象如何移动就得到y??2x2的图象
A.向左移动1个单位，向上移动3个单位。
B.向右移动1个单位，向上移动3个单位。
C.向左移动1个单位，向下移动3个单位。
D.向右移动1个单位，向下移动3个单位。
6．下列名人中：①比尔?盖茨②高斯③刘翔④诺贝尔⑤陈景润⑥陈省身⑦高尔基⑧爱因斯坦，其中是数学家的是
A．①④⑦B．②④⑧C．②⑥⑧D．②⑤⑥
7．张阿姨准备在某商场购买一件衣服、一双鞋和一套化妆品，这三件物品的原价和优惠方
式如下表所示：
请帮张阿姨分析一下，选择一个最省钱的购买方案.此时，张阿姨购买这三件物品实际所付出的钱的总数为
A．500元B．600元C．700元D．800元
8．向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如上图所示，那么水瓶的形状是
二、填空题：（每题6分，共30分）
1a?1?9.若关于x的分式方程在实数范围内无解，则实数a?_____.x?3x?3
10．三角形的两边长为4cm和7cm，则这个三角形面积的最大值为_____________cm2.
11．对正实数a,b作定义a?b?ab?a?b，若4?x?44，则x的值是________．
12．已知方程x2??a?3?x?3?0在实数范围内恒有解，并且恰有一个解大于1小于2，则a的取值范围是
．
13．如果有2007名学生排成一列，按1、2、3、4、5、4、3、2、1、2、3、4、5、4、3、2、1……的规律报数，那么第2007名学生所报的数是
三、解答题：（本题有4个小题，共38分）解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤。
14．（本小题满分8分）【田忌赛马】
齐王和他的大臣田忌均有上、中、下马各一匹，每场比赛
三匹马各出场一次，共赛三次，以胜的次数多者为赢．已知田
忌的马较齐王的马略有逊色，即：田忌的上马不敌齐王的上马，
但胜过齐王的中马；田忌的中马不敌齐王的中马，但胜过齐王
的下马；田忌的下马不敌齐王的下马.田忌在按图1的方法屡
赛屡败后，接受了孙膑的建议，用图2的方法，结果田忌两胜
一负，赢了比赛.假如在不知道齐王出马顺序的情况下：
（1）请按如图的形式，列出所有其他可能的情况；
（2）田忌能赢得比赛的概率是___________.
图1
图2
?1,2,3?、??2,7,8,19?，15．（本题满分10分）把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：
我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素。如果一个集合满足：当实数a是集合的元素时，实数8?a也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为好的集合。
(1)请你判断集合?1,2?，?1,4,7?是不是好的集合？
(2)请你写出满足条件的两个好的集合的例子。
16．（本小题满分10分）如图，在△ABC中，AC＝BC，CD是AB边上的高线，且有2CD=3AB，又E，F为CD的三等分点，
求证：∠ACB+∠AEB十∠AFB=1800。
17．（本小题满分10分）．已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，－1），点P是抛物线y?上的一个动点．（1）求证：以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y??1的相切；（2）设直线PM与抛物线y?
12
x4
12
x的另一个交点为点Q，连接NP，NQ，求证：4
?PNM??QNM．
四、附加题：（本题满分为3分，但即使记入总分也不能使本次考试超出100分）
18．有人认为数学没有多少使用价值，我们只要能数得清钞票，到菜场算得出价钱这点数学知识就够了。根据你学习数学的体会，谈谈你对数学这门学科的看法。
学校_____________准考证号___________姓名__________——————————————密————————————封————————————线——————————————————
自主招生考试数学答题卷
（满分100分，时间70分钟）
二、填空题：（每题6分，共30分）
9、10、
11、12、
13、
三、三、解答题：（本题有4个小题，共38分）解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤。
171414、(本小题满分8分)
解
(17、15、（本小题满分10分）解：
16、（本小题满分10分）
17、（本小题满分10分）
附加题：(可以在反面作答)18、
学校_____________准考证号___________姓名__________——————————————密————————————封————————————线——————————————————
自主招生考试数学参考答案
二、填空题：（每题6分，共30分）
9、10、
11、12、?1?a??
13、1
或a?3?22
三、三、解答题：（本题有4个小题，共38分）解答应写出文字说明,证明过程或推演步步骤。171414、(本小题满分8分)
解：（1）其他可能的对阵形式有：
田忌上马齐王上马齐王中马齐王下马齐王下马田忌中马对齐王下马齐王上马齐王上马齐王中马田忌下马齐王中马齐王下马齐王中马齐王上马
（每写出一个得1分）
（2）根据对对阵形式的分析可以知道：天忌赢得比赛的概率为
1
（得4分）6
解(115、（本小题满分10分）
解：解：（1）集合?（每个判断正确得2分）1,2?不是好的集合，?1,4,7?是好的集合。（2）集合?4?、?3,4,5?、?2,6?、?（每举出一个得3分）1,2,4,6,7?等都可以举。
16、（本小题满分10分）
证明：?2CD?3AB，且E,F为CD三等分点，D为AB中点?CD?
1
31
AB，即AD?DF2
?
??AFD?45（得4分）
?AF2?AD2?DF2?2DF2?FE?FC
??AFE∽?CFA
??CAF??AEF（得3分）
即??ACD??AED??AFD?45
?
??ACD??AED??AFD?90?所以得证（得3分）17、（本小题满分10分）
解：（1）设点P的坐标为(x0,
12
x0)，则4
PM
??又因为点P
12
x0?1;4
到直线y??1的距离为
1212x0?(?1)?x0?1，44
所以，以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y??1相切．（得4分）（2）如图，分别过点P，Q作直线y??1的垂线，垂足分别为H，R．由（1）知，PH＝PM，同理可得，QM＝QR．
因为PH，MN，QR都垂直于直线y??1，所以，PH∥MN∥QR，于是
QMMP?，RNNHQRPH
?所以，RNHN
因此，Rt△PHN∽Rt△QRN．
于是?HNP??RNQ，从而?PNM??QNM（得6分）
附加题：(可以在反面作答)
18、可以从数学的基础性，应用的广泛性，培养严密的逻辑思维能力，人文素养，科学精神等各方面价值作简单说明。
学校_____________准考证号___________姓名__________——————————————密————————————封————————————线——————————————————
自主招生考试数学答题卷
（满分100分，时间70分钟）
二、填空题：（每题6分，共30分）
9、10、
11、12、
13、
三、三、解答题：（本题有4个小题，共38分）解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤。
171414、(本小题满分8分)
解
(17、15、（本小题满分10分）解：
16、（本小题满分10分）
17、（本小题满分10分）
附加题：(可以在反面作答)18、
学校_____________准考证号___________姓名__________——————————————密————————————封————————————线——————————————————
自主招生考试数学参考答案
二、填空题：（每题6分，共30分）
9、10、
11、12、?1?a??
13、1
或a?3?22
三、三、解答题：（本题有4个小题，共38分）解答应写出文字说明,证明过程或推演步步骤。171414、(本小题满分8分)
解：（1）其他可能的对阵形式有：
田忌上马齐王上马齐王中马齐王下马齐王下马田忌中马对齐王下马齐王上马齐王上马齐王中马田忌下马齐王中马齐王下马齐王中马齐王上马
（每写出一个得1分）
（2）根据对对阵形式的分析可以知道：天忌赢得比赛的概率为
1
（得4分）6
解(115、（本小题满分10分）
解：解：（1）集合?（每个判断正确得2分）1,2?不是好的集合，?1,4,7?是好的集合。（2）集合?4?、?3,4,5?、?2,6?、?（每举出一个得3分）1,2,4,6,7?等都可以举。
16、（本小题满分10分）
证明：?2CD?3AB，且E,F为CD三等分点，D为AB中点?CD?
1
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AB，即AD?DF2
?
??AFD?45（得4分）
?AF2?AD2?DF2?2DF2?FE?FC
??AFE∽?CFA
??CAF??AEF（得3分）
即??ACD??AED??AFD?45
?
??ACD??AED??AFD?90?所以得证（得3分）17、（本小题满分10分）
解：（1）设点P的坐标为(x0,
12
x0)，则4
PM
??又因为点P
12
x0?1;4
到直线y??1的距离为
1212x0?(?1)?x0?1，44
所以，以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y??1相切．（得4分）（2）如图，分别过点P，Q作直线y??1的垂线，垂足分别为H，R．由（1）知，PH＝PM，同理可得，QM＝QR．
因为PH，MN，QR都垂直于直线y??1，所以，PH∥MN∥QR，于是
QMMP?，RNNHQRPH
?所以，RNHN
因此，Rt△PHN∽Rt△QRN．
于是?HNP??RNQ，从而?PNM??QNM（得6分）
附加题：(可以在反面作答)
18、可以从数学的基础性，应用的广泛性，培养严密的逻辑思维能力，人文素养，科学精神等各方面价值作简单说明。
16、（本小题满分10分）
17、（本小题满分10分）
附加题：(可以在反面作答)18、
学校_____________准考证号___________姓名__________——————————————密————————————封————————————线——————————————————
自主招生考试数学参考答案
二、填空题：（每题6分，共30分）
9、10、
11、12、?1?a??
13、1
或a?3?22
三、三、解答题：（本题有4个小题，共38分）解答应写出文字说明,证明过程或推演步步骤。171414、(本小题满分8分)
解：（1）其他可能的对阵形式有：
田忌上马齐王上马齐王中马齐王下马齐王下马田忌中马对齐王下马齐王上马齐王上马齐王中马田忌下马齐王中马齐王下马齐王中马齐王上马
（每写出一个得1分）
（2）根据对对阵形式的分析可以知道：天忌赢得比赛的概率为
1
（得4分）6
解(115、（本小题满分10分）
解：解：（1）集合?（每个判断正确得2分）1,2?不是好的集合，?1,4,7?是好的集合。（2）集合?4?、?3,4,5?、?2,6?、?（每举出一个得3分）1,2,4,6,7?等都可以举。
16、（本小题满分10分）
证明：?2CD?3AB，且E,F为CD三等分点，D为AB中点?CD?
1
31
AB，即AD?DF2
?
??AFD?45（得4分）
?AF2?AD2?DF2?2DF2?FE?FC
??AFE∽?CFA
??CAF??AEF（得3分）
即??ACD??AED??AFD?45
?
??ACD??AED??AFD?90?所以得证（得3分）17、（本小题满分10分）
解：（1）设点P的坐标为(x0,
12
x0)，则4
PM
??又因为点P
12
x0?1;4
到直线y??1的距离为
1212x0?(?1)?x0?1，44
所以，以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y??1相切．（得4分）（2）如图，分别过点P，Q作直线y??1的垂线，垂足分别为H，R．由（1）知，PH＝PM，同理可得，QM＝QR．
因为PH，MN，QR都垂直于直线y??1，所以，PH∥MN∥QR，于是
QMMP?，RNNHQRPH
?所以，RNHN
因此，Rt△PHN∽Rt△QRN．
于是?HNP??RNQ，从而?PNM??QNM（得6分）
附加题：(可以在反面作答)
18、可以从数学的基础性，应用的广泛性，培养严密的逻辑思维能力，人文素养，科学精神等各方面价值作简单说明。
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