南京大学自主招生物理卷力学问题选析
试题1、绳长为L,两接点间距为d,士兵装备及滑轮质量为m,不计摩擦力及绳子质量,士兵从一端滑到另一端过程中。求:⑴士兵速度最大时绳上的张力?
⑵速度最大值vmax?⑶士兵运动的轨迹方程?
【解析】这是一个运动学问题,把士兵当成质点。绳长为L,两固定点之间的距离为d。在士兵从一端滑到另一端过程中。⑴当士兵速度最大时则该时刻的加速度为零。对士兵受力分析重力及绳子拉力。因为士兵是沿着绳子滑过去且不计摩擦,所以两端绳子的拉力大小相同。设速度最大时刻即加速度为零瞬间左、右两端绳子与水平方向的夹角为。
则
速度最大时刻绳子的拉力;由几何关系得
则;所以速度最大时刻绳子张力
士兵在整个运动过程中机械能守恒,从第1问的解答可知士兵速度最大时处绳子的正中间,也是两固定端的正中间,即如图。
⑵求速度的最大值,则由机械能守恒:
由几何关系及已知可得。速度的最大值
⑶求士兵运动的轨迹方程
绳子两端固定,所以可知士兵作一部分椭圆轨道运动,建立坐标如图可得士兵运动的轨迹方程:
即;,y>0
试题2、在光滑的水平面上有一带有光滑圆弧轨道的斜面,质量为m,圆弧轨道半径为R,圆心角为60°;一质量也为m的物体以v0向斜面运动。⑴求速度v0的范围,使物体不能飞出轨道;⑵求当时,物体脱离圆弧轨道时斜面的速度大小;⑶求当时,物体能到达的最大高度。
【解析】光滑的水平面上有物体m和斜面体m,物体m以v0速度向斜面运动。当物体速度v0足够小,例如接近了零,那么物体就冲不上斜面,它就不可能飞出轨道。当物体m的速度v0足够大,那么物体m就会飞出斜面。设物体飞出斜面体时临界值为vx,这样物体m刚刚运动到斜面zui高点且和斜面有共同速度v共。
由动量守恒定律:,解得
由机械能守恒定律:
解得。所以物体m不飞出斜面轨道的运动速度v0范围为:0<v0≤
⑵当时大于即>所以物体能飞出斜面体。
设物体飞离斜面体时的速度为v1,斜面的速度为v2,则由动量守恒定律。
由机械能守恒:
解得。将数据代入动量定恒方程验证可得值应舍去,所以物体离开斜面时斜面体m的速度大小为。
⑶求当时物体能达到的最大高度
当物体以滑向斜面,由⑵问的计算可得物体离开斜面体瞬间的速度,紧接着物体作斜抛运动,竖直分量。
最大高度:;所以物体能达到的最大高度。
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