张奠宙教授的绝响：谁来拯救，落后一个世纪的中国数学教育
作者： 张奠宙 于波
2018年12月20日中午12时，
被誉为当代中国数学教育三座学术高峰之一的张奠宙教授在上海市第六人民医院逝世，享年85岁。1951年他参加高考，被大连理工学院录取，一年之后因院系调整而到东北师范大学数学系就读，从那时起，他的人生开始和数学结下了不解之缘。
毕业之后，他开始在华东师范大学数学系函数论教研室当教师，在历经了“红与白”的文革时期，在重新回到数学系之后，他觉得有必要投入到当代数学史的研究，了解一下20世纪数学发展的道路，不能再盲人骑瞎马乱跑了，接着他的《20世纪数学史话》问世，并且惊动了杨振宁和陈省身两位大师，从此他踏入了数学史、数学教育这个领域里。
在他的记忆里，中国数学教育都是向外国学习的，上初中时使用的教材有《3S平面几何》，高中则有《范氏大代数》、《斯盖尼解析几何》，几乎全是欧美教材的中译本。1949年之后，则学习苏联数学教材，接受凯洛夫的《教育学》理论。至于中国本土的数学教育理论，除了国家历年公布的《数学教学大纲》之外，很少有系统的总结，听来听去，也就是“数学是思想的体操”，“数学教学主要是培养逻辑思维能力”等等的箴言。
在历经了半个世纪之后，
中国式的数学教育模式也在逐渐形成，以解题训练为核心的数学教学目标，五环节的数学教学过程，“高密度、大容量、快节奏”的数学演练，熟能生巧、反复操演的“数学双基”要求，在严厉的高考指挥下，铸成了举世无双的“解题”数学教学模式，
但是在这条道路上也碰到了诸多的问题，应试教育功利性带来的危害，学生主体创新精神的不足，数学英才教育的缺失，数学学科教育得不到足够的重视，去数学化的趋势愈演愈烈，缺乏全国性的数学调查，平面几何的削弱等，
张奠宙教授曾写过一篇名为《千千万万数学教师肩负着国际声誉》的文章，他说中国数学教育在国际上取得的每一个成就，都是在千千万万对数学事业执着的教师肩膀上建立起来的，
而在这条属于中国数学教育的道路上，遇到的问题也值得千千万万的数学教师去了解，去探索，去改革，因为你们，中国数学教育才有未来的希望.
(今年10月17日，杨振宁先生看望正在住院的张奠宙教授)
本文节选自张奠宙、于波两位教授
所著的《数学教育的中国道路》一书中的第十五章
第一节 数学教育改革依然是主旋律
面对日益激烈的国际竞争，世界各国的基础教育，包括数学教育，始终处在改革的漩涡之中，中国自然也不例外。中国的数学教育，面临着三大挑战。这就是：应试教育带来的教育功利主义的侵蚀，学生主体创新精神的不足以及数学英才教育的严重缺失。
1. 改革“应试教育”
应试教育带来的巨大危害，正以难以阻挡之势不断地蔓延，功利主义的学习观，侵蚀着数学教育的健康肌体。这是东亚各国共同存在的问题。由于中国以往封建社会的科举意识仍有不少拥护者，社会转型时期带来的拜金主义倾向，考试改革举步维艰，“应试教育”尤其突出。“素质教育轰轰烈烈，应试教育扎扎实实”，是学校教育真实而尴尬的局面。要改变这一状况，不是数学教育一科能够做到的。那是一项巨大的社会系统工程。我们不在这里详细讨论。我们能够做的是，在现有的考试体制内，尽量避免“数学高考八股化”。
现今的数学高考，越来越严重地走向八股化。全国和各省的数学试卷，不约而同地走向同一个模式。那是20世纪80年代引进标准化考试的结果。120分钟完成的数学试卷，必须有22道题，题量之大，连年纪稍大的高三数学老师都来不及做完。试卷的题型完全固定，甚至到了各个题的次序都不得改变的地步。我们曾经建议，减少考题数量和延长数学高考答题时间，让考生不必去“快速反应”，熟练地做到“一看就会，一做就对”。如果考试能够检测学生的积极思考水平，而不是熟练反应，就会抑制日常教学中的“题海战术”及大运动量训练的顽疾。
高考数学试题如何检测被试的创新能力?能否用开放题等多样化的试题形式增加试题的正确导向?克服越来越严重的八股化趋势，是数学教育改革的当务之急。
2. 扩大学生主体活动的空间，包括创新和认真执着
鉴于中国以往封建教育的影响很深，在数学教育实践中，重教轻学，重讲授轻探索的情形依然存在。“以学生的发展为本”的宗旨尚未完全实现。因此，数学新课程改革倡导的“自主、合作。探究”的教学理念，尚须进一步落实和加强。在新的十年里。需要由下而上地总结经验，积累优秀的教学案例，发扬优秀的传统理念，创建适合新形势的教学新风。《义务教育数学课程标准(2011年版)》中的许多重要理念，需要将许多新的理念落实到课堂上。“一个深刻的改革，一定不会把原来好的经验放弃，肯定是从原有的经验中启程。好的改革不是另起炉灶。从零开始这不可能，也很不实事求是。”这意味着，要把教学改革和总结本土经验有机地结合起来。
比较重要的有以下几个方面：(1)如何理解从“双基”发展为“四基”，怎样进行“四基”教学?(2)什么是基本数学活动经验?如何进行数学思想方法的教学?(3)如何建立初中阶段演绎性的“平面几何教学”中国模式?(4)统计和概率的教学如何切合学生的认知发展水平?(5)如何培养学生提出问题和解决问题的能力(6)数学问题解决需要独立的思考，如何在独立思考的基础上进行合作学习?
数学课堂教学固然要培育学生的创新精神，但是数学教学更重要的也许是培养学生认真执着的科学品格。
数学是讲究严谨的科学。在语文教学中，学生凭借想象、天空行空地编造故事，就可以算作创新。然而，数学的创造，需要有严谨的证明为支撑。因此，对于中小学生来说，要学生做出真正意义上的数学创新，可以说勉为其难。然而，要做到让学生“认真执着”，数学教学倒是可以大有作为的。
把数学创新和数学严谨结合起来，将是未来数学教学改革的一个重点。
3. 大力弥补数学英才教育的缺失
数学英才教育的缺失，是当今中国数学教育的重大隐忧。与发达国家的数学教育相比，我们约95%，即多数的学生取得了举世公认的数学好成绩，但是在5%的数学英才培养上，已经落后一个世纪。北京师范大学张英伯教授为数学英才的培养大声疾呼，发人深省。
当今，激烈的高考竞争导致了英才教育的“异化”，数学竞赛越来越多的功利性使我们偏离了英才教育，过度统一的标准和教材使我们难以实现英才教育。
美国普通学校的数学教育很不成功，但是对5%优秀学生的英才教育非常成功。这成功的5%支撑了美国在经济、科学领域长盛不衰的人才基础。从体制上看，美国有如下措施：
(1)美国教育部设有天才教育处(2)美国国会通过“天才儿童教育法”(3)美国国会通过“杰维斯优异学生教育法案”，每年特别拨款。(4)成立美国国家英才教育中心
相比之下，我国还没有任何有关天才儿童的法律规定，也没有任何相关的常设机构，更没有单独的拨款。
美国的各州都设立了一些“数学和科学高中”。多数学生的数学课程包括多元微积分。少数主攻数学的高中生可以选读《数理方程》、《拓扑学》、《博弈论》等课程。丘成桐先生曾说，哈佛大学数学系的本科毕业生的论文可以发表在国际一流杂志上，原因就在于在高中阶段已经读了许多大学的数学课程。
我国的数学英才教育，早年通过“奥林匹克数学竞赛”进行培养和选拔，也颇有成绩。但是，奥林匹克竞赛的题目有很大局限，基本不涉及微积分、抽象代数等现代数学基础，加之，目前我国的奥林匹克数学竞赛也蒙上浓烈的功利色彩，获得竞赛奖成为进入国内一流大学的敲门砖。选手的数学视野不开阔，后劲不大。近两届的菲尔兹奖获得者，如澳大利亚的陶哲轩、越南的吴宝珠，虽然都是奥赛获奖者，但是并没有停留在奥赛数学上，而是大踏步向前，远远超出了奥赛题目的范围。奥赛只是他们前进道路上的花絮，并非终极目标。
除了美国之外，欧洲各国本来就有悠久的英才教育历史，英国的伊顿公学、法国的路易大帝高中、俄罗斯的寄宿制高中，都是超常人才的培养高地。
我们需要做些什么呢?
首先，要为英才教育正名。把英才教育提到国家战略的高度来认识。其次，各省市要设立几所“数学和理科高级中学”，全国总数要有近百所。这些高中设置单独的课程标准，内容相当于大学预科。毕业时由国家统一进行严格的毕业考试，内容当然远超过普通高考。考试成绩可供自主招生的学校参考，也可以用一定的方法折算为普通高考考分，参与录取。
再次，要制定相应的方案。设立必要的研究中心，以及日常的办事机构。英才教育，事关国家未来国际竞争中“国家队”的建设。总有一天会将至提到紧迫的议事日程上来。我们时刻准备着。
最后，要为数学奥林匹克竞赛正本清源，弘扬数学竞赛的精英教育的本义，去除“奥数教育”的功利色彩。
(1991年，在美国数学科学研究所，张奠宙与陈省身两位教授的合影)
第二节 发展独立的数学学科教育
中国的教育改革，经过21世纪头十年的努力，改革的大方向经过适度的调整已经确定。在大政方针确定之后的下一步，学科教育势将成为我国教育发展的战略重点。
学科教育，是整个教育理论的一部分。如果说，一般教育学相当于自然科学中的“基础理论”，那么学科教育就是一种致力于学科教学实践的“工程性”研究学科。众所周知，自然科学技术有两个部分：基础理论研究(如物理学)—科学院的的研究任务，以及工程实践研究(如航天工程)—工程院的研究任务。嫦娥奔月工程固然要运用物理学的原理，但是物理学研究不能代替航天工程。航天工程有自己的技术设计理论和施工规范。
与此相似，一般教育学的规律固然能够指导学科教育，却不能代替学科教育，学科教育的主要内容是根据一般教育原理，寻求本学科教学的规律，进行教学设计，进而提出可以操作的、直接可用于课堂教学实践的工作方案，这就相当于完成一项具体任务的工程研究和施工方案。现在写入课程标准的许多理念，都是一种“明文知识”。然而，学科教育是一种技术性很强的工程性学科，因而必然涉及很多具体的实践性认识，那是一般教育学规律所无法包含的。
一个不争的事实是，学科的发展总是在“细分-整合-细分”这样的过程中发展的。当年物理、化学、生物学等科学从哲学中独立出来，在继续接受哲学的指导的同时，独立进行科学研究，于是又反过来推动哲学的发展，出现了科学哲学这样的新学科。因此，数学教育、科学教育、人文教育、艺术教育等学科教育学，必然会从一般教育学中分离出来。这是一个自然发展趋势。我们希望看到，一般教育理论研究能够和学科教育研究密切结合，在用一般理论指导学科教学的同时，也能从各个学科教育的创造性实践中丰富自身。
学科教育的研究工作，当然要运用一般教育学的原理。但是，学科教育研究不能简单地“自上而下”地从一般教育学“演绎”出来，不能满足于“一般教育学+学科例子”的模式，而必须植根于学科本身，深入地研究学科本质对学生思维发展的影响，揭示各门学科教于学的“个性”，发现和提炼各个学科教育的特定规律，乃至“自下而上”丰富一般教育学理论。
目前中小学学科教育中存在的现实并不是不知道什么是先进的教育理念，什么是有效的教法，而是不知道如何深刻理解和把握学科知识内容，以及如何具体地将这些理念落实到课堂上。以为教学方法可以有某种“理念”产生，从某一文件的规定空降到课堂，那是神话。如果教师教育不落实到学科教育上，教师连某一门课都教不好，那么教师教育就失去了重心。
国外的教学内容知识(PCK)研究、数学教学知识(MKT)研究等，正在大力发展，然而，这些动向尚未引起主管部门和教育界的关注。
直到今天，中国的学科教育依然得不到足够的重视。去数学化的趋势尚未得到遏制。学科教育研究的立项，远未达到应有的规模。大量的教育研究，停留在空洞口号的层面。为此，我们只有坚守数学教育的家园，等待历史来做最后的裁决。
(1998年，张奠宙教授当选欧亚国际科学院院士)
第三节 深入研究数学教育的优势项目，形成鲜明的中国特色
1. 加强调查研究，积累原始资料
为了全面地了解自己，需要对我国的数学教育状况进行有计划的调查研究，积累原始资料。在20世纪末就有过全国性的调查。例如，田万海主编的《全国初中数学教学调查与分析》，谢安邦，谭松华的《全国义务教育学生质量调查与研究》。
这些工作都十分有价值，具有历史性的参考价值。但是进入21世纪以后，这样的调查报告没有继续进行。有许多调查只围绕某些改革的得失进行，也没有公开出版。
我们希望，每十年能有一次全国范围的数学教育情况调查，形成一种制度。
2. 弄清数学教育发展的历史
历史是一面镜子。想要正确地认识中国数学教育，必须以廓清历史事实，认识历史规律为基础。我们在建国初期曾经全面学习苏联，后来经过1958年的“教育革命”，以及1960年的冒进革新，乃至1963年制定的数学教学大纲，这些中国数学教育成长的关键时期。晚近以来，对于新中国成立到“文革”开始的那17年的数学教育，学界的认识差异很大。因此，必须经过认真的收集资料，经过分析讨论，力求取得统一认识。
半个世纪过去了，经历那段时期的数学教育工作者，多半已经谢世。硕果仅存的几位，亟须用口述历史等方式进行采访，将他们的亲身经历抢救性地记录下来。
3. 研究“教育数学”
张景中院士倡导的“教育数学”，其实就是学生容易接受的教育形态的数学。它和国外的PCK理论的理念有许多共同之处，值得进一步研究。
我们希望“数学教育”的建立，能够密切地结合教学实际，对中国数学教育发挥更大的作用。在某种程度上，教育数学是过去的“数学教材教法”在新形势下的发展。这就是说，我们要对基础教育中的主要数学内容逐一地进行解剖，从内涵分析理解、学生认知特点、具体教学设计、评价建议等进行系统研究。
4. 研究现代教育技术在数学教学中的合理使用
现代教育技术为数学教学提供了直观、简便的工具，是改进数学教学的重要方面，张景中院士等创建的、具有独立知识产权的《超级画板》在智能性方面有很高的水平。经过十几年的使用，广受一线教师的欢迎，也希望在中小学生中加以使用。
对于计算机的使用，有教师担心会降低学生的运算能力。在学生以及掌握算理并具有一定运算方法后，应该让学生使用计算器，尤其在中学，这样可以减轻学生的学习负担。
现在的教师教学时喜欢用PPT，这样做有利有弊。如何正确使用，值得研究。板书也是引导学生思维的有效方式。
5. 平面几何教学研究
在20世纪60年代的新数学运动以后，大多数欧美国家的中小学基础数学课程中就放弃了演绎式的平面几何。此后很多国家仿效，数学课程不再有对顶角相等、平行公理、三角形内角和定理、中位线定理等内容及其证明。21世纪的中国数学课程改革，曾经有意识地削弱这种演绎几何，连“几何”两字都不见了踪影。理由是，减轻学生负担，大多数学生学不会，根本上是要同国际接轨。
这一举动引起了数学家的激烈反对，在全国人民代表大会上成为一项提案进行质询。其结果是在《义务教育数学课程标准2011年版》里大体上恢复了演绎体系。2012年去世的著名数学家谷超豪，曾对当前的数学教育表示忧虑。《文汇报》记者在报道中说：
这表明，争论还没有完全结束。
无论如何，中国的平面几何教学，在世界上显得非常突出。我们对此要有系统的研究，向世界数学教育提出一份科学的分析报告。事实上，从20世纪60年代开始，中国曾经有过相当深入而普遍的“平面几何入门教学”研究。不过，在21世纪中国普及9年义务教育的社会环境下，如何进一步加以总结、提升和发展，使得大多数学生能够从平面几何学习中获益，还需要深入研究。
6. 中国式的解题研究，数学开放题教学研究
在数学教育领域，中国是解题大国。中国学生在国际奥赛、IAEP、PISA等国际测试中一直名列前茅，得益于数学解题方法论研究的深入，以及广大数学教师的解题能力的提高。奥林匹克数学竞赛、高考数学试题、初等数学研究，这三顾力量带动了千千万万的数学教师，成为解题高手。一位数学教师在同行和学生中是不是有威信，往往以解题水平的高低为依旧。大面积的中小学数学教师所具备的高度解题能力，构成了中国数学教育的一大亮点，更是一笔巨大的财富。
中国的数学解题模式，深受波利亚《怎样解题》等一系列的著作影响。但是，在长期的实践过程中也有自己的创造，单墫的《解题研究》，罗增儒的《中学数学解题的理论与实践》，在某种程度上有所跨越。20世纪80年代以来，西方推行问题解决的教学模式，出版了大量的理论研究著作，如美国数学家休恩菲尔德的《数学问题解决》相当有深度，我们还缺乏深入的研究，尤其是尚未和中国的数学解题理论进行必要的比较和嫁接，这需要继续努力。
中国解题研究中的一个亮点是戴再平教授倡导的数学开放题教学。这一从日本引进的课题，在中国获得了异常迅速的发展。尤其是，开放题与“双基”互相嫁接，凸显中国特色。开放题进入《国家数学课程标准》，进入教材，乃至进入高考和中考，直接影响第一线，并且成为数学教师平日备课中的一个选项。这是一个极有意义的创造。在林林总总的教学科研项目中，极少有像开放题的教学研究那样，获得如此丰富的成效。开放题及其教学的研究，研究有许多专著出版。
数学开放题的成功是中国数学教育吸收、消化、发展国外先进经验的一个样板，也可以作为中国数学教育走向世界的一个平台。
7. 关于数学文化和数学史研究
21世纪初进行新课程改革以来，数学文化成为中国数学教育研究的一个热点，文献和著作大量产生。但是，数学文化的研究大多停留在理论阐述层面，对教学第一线的影响不大。现在需要做的事情，是将课程中每一个数学单元的文化点设计出来，为一线老师提供数学文化教学的范例。
一个比较常见的现象是将数学文化等同于数学史。似乎只要介绍一些历史上的数学家，叙说他们的数学成就，就算数学文化教育了。
数学文化设计的层面要超过数学史的范围，但是又和数学史紧密结合，数学史教学，以往仅仅强调中国古代的数学成就，借以增强民族自豪感。例如，祖冲之的圆周率计算比外国早1100年，就是最常用的例子。这当然是必要的。但是也要注意不能走上狭隘的民粹主义道路。因为中国古代数学尽管有辉煌的成就，但是总体上比埃及、巴比伦和古希腊的数学要晚。数学史的德育功能，不能只是建筑在“祖先的某项工作别别人早多少年”的基础上，而要用历史唯物主义的观点，实事求是地分析，基点应当放在今天如何追赶世界先进水平的实际行动上。
第四节 逐步建设可以与国际对话的数学教育话语体系
中国数学教育正在逐步走向世界。与改革开放初期国内学术界亟须了解国际同行动态相比，现在中国学界缺乏的不再是外部信息，而是如何在众多信息中鉴别取舍，继而冷静理性地沉淀思考的问题。
其中一个严重的问题是，如何构建自己的话语体系，独立地探索研究自己的问题。如何走出从信息到信息的低层次与国际接轨的局面，摆脱不自信的心态，提升在纷纭繁复的信息中独立求索的能力。
首先，我们要学习国际同行的数学教育话语，进而解读自己的工作，增强与国际进行学术交流的水平。近几年来，我们已经有过一些尝试了。例如，鲍建生关于“中英初中数学课程综合难度的比较研究”，定量地勾画出两个国家数学课程难度的差异，并且用一个图形加以显示，就能够让国外同行真切地了解中国数学课程的一个侧面。同样地，李士锜关于“孰能生巧”的系列文章，也用数学教育心理学的语言，进行解读，取得了初步的成果。
其次，则是应当大力建设自己的话语体系。实事求是地说，西方在数学教育方面的学术成就尽管相当深奥，却也不必过于仰视，以至迷信。西方的数学教育理论，往往离开教学实践很远。理论脱离实际的情况相当严重。如果我们的研究工作建立在我国数学教学实践的基础上，并努力提升为理论形态，是可以和国际上同行平等地交流。事实上，想“变式”这样的教学实践，研究具备了一定的理论形态。至于导入教学、尝试教学、师班互动、数学思想方法教学、“双基”教学等，只要认真执着地进行研究，也可以逐步呈现为某种学术形态。但是如果自己轻视自己，不正视自己，就很难谈什么自己的话语权了。
我国的数学教育有许多小型的精品，值得向国外介绍。传统的问题，如鸡兔同笼，就是为国外所熟悉的。今人也有一些很好的创造。例如，上海的陈振宣老师讲述的三根导线的故事，就是在表面上看不见的地方发现数学，从而体现出数学思想方法的深刻意义。
故事情境如下：
陈老师的一个学生毕业后在和平饭店做电工。工作中发现在地下室控制10层以上房间空调的温度不准。分析之后，原来是使用三相电时，连接地下室和高楼上的空调器的三根电线的电阻呢?用电工万用表无法量这样长的电线的电阻。于是这位电工想到了数学。他想：一根一根测很难，但是把三根导线在高楼上两两相连接，然后在地下室测量“两根电线”的电阻是很容易的。如图，设三根导线电阻是x，y，z。于是，他列出一下的三元一次方程组。
解以上方程组，得出x，y，z即得三根导线的电阻。
这样的方程谁都会解。但是，能够想到在这里用方程，才是真正的创造。清代学者袁枚曾说：“学如箭镞，才如弓弩，识以领之，方能中鹄”。有知识，没有能力，就像只有箭，没有弓，射不出去，但是有了箭和弓，还要有见识，找到目标，才能打中。
解这样的方程组，知识和能力都不成问题，难的是要具有方程组的意识和眼光。这样精彩的列子具有普遍的价值，值得向国外推介。
21世纪以来，中国数学教育发生了深刻的变化，
但是挥之不去的应试教育，落后一个世纪的英才教育，缺乏活力的数学教学模式，都是张奠宙教授一直在深深忧虑和思考的问题，在《千千万万的数学教师肩负着国际声誉》一文中，
他写了十个乐意看到的中国数学课堂教学的新面貌：(1)以新的格局保存注重“双基”、“解题”的优良传统(2)计算机以及网络技术进入数学课堂教学的研究领域(3)“去两头，只烧中段”数学教学得到一定程度的抵制(4)让学生“做学问”，不要只是做“学答”(5)让学生会“反思”，咀嚼和体会数学之美
(6)让“练习、练习、再练习”到“思考、思考、再思考”(7)数学课堂从此不再“干瘪”，体现数学文化之深邃与博大(8)让中国的孩子喜欢数学，不再为“数学难”而不学辍学(9)数学后进生也有数学思维，希望有人喝彩(10)希望“百花齐放”，不再一窝蜂，喊一样的时髦口号，
2000年，张奠宙教授参与了国家高中数学课程的研制，和严士建教授一起担任组长，他因为冠心病，在2002年开始不得不住院治疗，在那一年，他看到了国际数学家大会在北京召开，
也是在那一天，他坚信着中国数学一定会有着美好的明天，而这一天在千千万万的数学教师和所有默默为中国数学教育奉献着的人们的努力下，已经离我们越来越来近了，
有人问小数君如何评价张奠宙教授的一生，
小数君没有资格评价，但十分想用这样一句话来形容和作为结尾：“他就像一个雨点汇入了世纪之交的数学教育改革长河中，但是在涌动的江潮中卷起了一片又一片的浪花”.
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