“华约”自主招生数学试题

　　对考试本身来说，“数学”绝对是主角之一。三大联盟今年都做出了改革，缩减考试科目，考试科目均变为"语文+数学"或者"数学+物理"，数学在其中的作用毋庸置疑。

　　“华约”数学试题的整体结构做了较大的改变，从去年的“10道选择+5道解答”题直接变成了“7道解答”的形式。今年“华约”考试题中没有选择题，只有解答题等题型，部分解答题难度比去年稍低，整体难度与去年相比持平。

　　从考察思路上说，考察的知识点并没有产生太大的区别，三角，解析，数列，函数，概率无一落下。华约考试的特点之一就是适当包含了高等数学思想，如处理数列是否有界，是否收敛等。比如第三题考到概率统计中的超几何分布模型，即使不懂超几何分布通过对取球过程分析依然能很快得出答案，但是第三问需要用到概率统计学中的贝叶斯公式(也称逆概率公式)。

　　一个袋子中有15个球，其中8个黑球，7个红球，从中取出4个球。

　　(1)取出的4个球中有1个球是红球的概率。

　　(2)求取出的4个球中黑球个数X的分布列与期望。

　　(3)如果取出的4个球是同色的，求该颜色为黑色的概率。

　　北约的难度在去年到达最低谷之后，今年难度较之去年有一定的上升，尽管题型和去年保持不变，但典型的送分题少了。不过，若干题目都是可以用纯粹考试技巧的方式做出正确答案。从知识点分布上说，北约的考试向来不追求覆盖全部重点知识，往往考察的都是北约较为看重的几点，如代数恒等变形相关的函数问题，一些考察思想的杂题等。北约的解答题一如既往地不需要花费太多的计算，如果能找到正确的思路，只需要数分钟即可解决。比如最后一题：

　　有一个 m×n的数表，已知每一行的数均是由小到大排列。现在将每一列的数由小到大重新排列，则新的数表中每一行的数满足什么样的关系?请证明你的结论。

　　结论是新的数表中每一行的数也将是由小到大排列的，考虑原数表中某一列(最后一列除外)的任意两个数 和 ，再考虑 右边的数 ， 右边的数 ，分类讨论即可证明结论。

　　今年“卓越联盟”的考题难度依然走平民路线，“比想象中简单太多了”，参加“卓越联盟”理科考试的何同学说，“超纲的内容比较少，但是有很多细微处需要注意，马虎很容易就掉进题目陷阱里。”

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