最小公倍数详解

　　一、认识公倍数

　　几个数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。

　　二、求两个数的最小公倍数的方法：

　　(1)列举法：先分别写出两个数各自的倍数，再从中找出公倍数，

　　最后找出最小的一个。

　　(2)筛选法：先写出两个数中其中一个的倍数，再从中圈出另一个数

　　的倍数，最后找出最小的一个。

　　《最小公倍数》教学设计

　　教学目标：

　　1、结合具体情境，体会公倍数和最小公倍数的应用，理解公倍数和最小公倍数的意义。

　　2、探索找公倍数的方法，会利用列举法等方法找出两个数的公倍数和最小公倍数。

　　3、培养学生推理、归纳、总结和概括能力。

　　教学重点：学会用列举法找出两个数的最小公倍数。

　　教学难点：理解公倍数、最小公倍数的意义。

　　教学过程：

　　一、以趣激疑

　　比比谁的声音亮?请两组学生报数，并请报到2、3倍数的同学分别起立。问：你发现了什么?为什么有些人起立了两次?让学生初步感受有些数既是2的倍数又是3的倍数。(教师引导学生用“既是…又是…”来表达想法。)

　　师：6、12、18、24……既是2的倍数又是3的倍数，我们就可以说6、12、18、24……是2和3的公倍数。(师板书“公倍数” )

　　师：同学们，今天我们就一起来研究有关“公倍数”的问题。

　　二、创设情境，感知概念

　　1、两个数的公倍数和最小公倍数的概念教学

　　师：同学们，你们喜欢阿凡提吗?为什么喜欢他?(他聪明、机智、幽默……)今天老师也给你们讲个阿凡提的故事：从前有个长工，在巴依老爷家干了一年也没有拿到一个铜板。长工们于是自发地组织了起来并邀请阿凡提帮他们去向巴依老爷讨工资。巴依老爷含着烟斗冷笑着说：“工资我可以给你，不过我的钱都在我的账房先生那里。从八月一日起,我要连续出去收账3天才休息一天，我的账房先生要连续收账5天才可以休息一天，你们就在我们两人同时休息的时候来吧。我肯定给钱。”阿凡提动了动脑筋，便带长工们离开了。到了某天，他真的从巴依老爷家帮长工拿到了工钱。

　　请大家想一想，阿凡提是哪天去巴依老爷家的?他用的是什么办法找到这个日期的?你准备如何解决这个问题?

　　让学生独立思考，整理解决问题的思路，并在四人小组里交流、讨论。全班汇报，交流想法。(同学们达成共识：要先分别找出巴依老爷、账房先生的休息日、再找出他们两人的共同休息日。)

　　同桌两人合作，通过在日历上圈一圈、本子上写一写等方式,寻求解决的办法。师巡视,并重点引导学生辨析休息日的日期应是4和6的公倍数，而不是3和5的公倍数。

　　全班交流,汇报。

　　师板书巴依老爷的休息日：4、8、12、16、20、24、28

　　账房先生的休息日：6、12、18、24、30

　　他们八月份的共同休息日：12、24

　　这些数据说明了什么?如果阿凡提8日这天去巴依老爷家行吗?那18日这天去巴依老爷家行吗?引导学生明确阿凡提要把事情办好，只有在巴依老爷和账房先生都在家休息的日子去才行。所以阿凡提可以在12日和24日这两天去找巴依老爷和账房先生。

　　你们猜猜阿凡提会哪一天去巴依老爷家呢?

　　师板书：最早的共同休息日：12

　　师：你们真聪明,用自己的智慧解决了问题。现在我们一起用数学的眼光，来看看巴依老爷和账房先生的休息日的数据有什么特点?根据学生的发言,教师把板书“巴依老爷的休息日、账房先生的休息日、他们八月份的共同休息日”相应地改写成“4的倍数、6的倍数、4和6的倍数”。

　　师：“4和6的倍数”还可以怎么说?(4和6的公倍数)“公”是什么意思?(你有我也有、共有)数据“12”是什么?(4和6的最小公倍数)

　　你还有其他的表示方式吗?(集合圈的图示方式)

　　谁能说说什么是公倍数?什么是最小公倍数?教师板书课题。

　　2、加深学生对公倍数和最小公倍数现实意义的理解。

　　现在我们再来帮助小朋友解决问题。教师出示图,一些小朋友在组织跳绳活动。班长说：“我们可以分成6人一组,也可以分成8人一组,都正好分完。”请大家猜猜这些学生可能有几人?

　　细细体会班长说的话,你知道了什么?学生独立思考,解决。全班交流想法,要求总人数就是求6和8的公倍数。

　　引导学生介绍用“大数翻倍法”等,简化步骤,不断改进方法。注意学生用省略号表示不同的可能性。

　　师:如果这些学生的总人数在50以内,那么他们最多有几人?我们所求出的“48人”是6和8的最大公倍数吗?为什么?为什么不用学习求最大公倍数呢?(因为每一个数的倍数的个数都是无限的,两个数的公倍数的个数也是无限的。因此,两个数没有ZD的公倍数。)

　　3、归纳求最小公倍数的方法。

　　师:想一想找“共同的休息日”和“总人数”的过程,说一说可以怎样求两个数的最小公倍数?(①找倍数:从小到大依次找出各个数的倍数;②找公有:把各个数的倍数进行对照找出公有的倍数;③找最小:从公有的倍数中找出最小的一个。)

　　4、看书88——89页,你还有什么问题?

　　师:观察一下,为什么6和8这两个数不相同,却可以写出相同的公倍数呢?公倍数与原有的这两个数有什么关系?公倍数与它们的最小公倍数又有什么关系?

　　教师画出数轴表示6和8的倍数,并可生动地比喻6宝宝步子小,要走3次才能到达24的位置。而8宝宝步子大,只要走两次就到达24的位置。到达24的位置后,6宝宝和8宝宝就碰面了。可见公倍数24是6和8的不同倍数。

　　三、解决问题,深化理解

　　1、互质数和倍数关系的数的最小公倍数

　　师出示书第90页的“做一做”,让学生独立解决,填写在书上。

　　观察一下这里的每一组中的两个数有什么关系?

　　它们的最小公倍数与这两个数有什么关系?

　　(提示:3和5这两个数有什么关系?3和5的公倍数有哪些?最小公倍数是几?15与3、5这两个数有什么关系?)

　　提问:根据刚才的分析,你有没有发现什么规律?

　　(当两数成倍数关系时,较大的数就是它们的最小公倍数。当两数只有公因数1时,这两个数的积就是它们的最小公倍数。)

　　四、课堂小结

　　今天你学到了什么?收获ZD的是什么?你有什么学习经验介绍给大家?

　　板书设计

　　4的倍数：4、8、12、16、20、24、28、32、36、40、44、48…

　　6的倍数：6、12、18、24、30、36、42、48…

　　4和6的公倍数：12、24、36、48

　　4和6的最小公倍数：12

　　求最小公倍数的方法和技巧

　　在学习求两个数的最小公倍数时，总结出了求最小公倍数的巧方法，我们介绍给大家：

　　一、特殊情况特殊处理

　　首先观察题目中两个数的关系，特殊情况有两种。

　　1、大数是小数的倍数，那么大数就是它们的最小公倍数。

　　如：求12和48的最小公倍数，因为48是12的倍数，所以12和48的最小公倍数是48。

　　2、两数是互质数，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数。如：求8和9的最小公倍数，因为8和9互质，8×9=72就是它们的最小公倍数。

　　二、一般情况下，有五种方法

　　1、列举法：

　　将两个数的倍数从小到大依次排列，直到出现相同的倍数。

　　如：求12和18的最小公倍数。

　　12的倍数有：12　24　36　48……

　　18的倍数有：18　36　54……

　　那么12和18的最小公倍数就是36.

　　2、大数扩倍法：就是将较大的数依次扩大2倍，3倍，4倍……等，直到出现第一个为较小数的倍数的数，就是它们的最小公倍数。

　　如：求12和20的最小公倍数。

　　先用20×2=40 40不是12的倍数。

　　再用20×3=60 60是12的倍数，那么60就是12和20的最小公倍数。

　　3、分解质因数法：将两个数分别写成质因数相乘的形式，找出公有质因数和各自独有质因数，求出它们的积，就是这两个数的最小公倍数。

　　如：求30和24的最小公倍数

　　30= 2×3×5 24= 2×2×2×3

　　[30,24]= 2×3×5×2×2=120

　　所以两个数的最小公倍数=公有质因数×各自独有质因数

　　4、短除法：就是用短除法将两个数分解质因数，然后再求它们的最小公倍数。

　　如：求30和24的最小公倍数：

　　两个数的最小公倍数等于短除法中所有的除数与最后的商的乘积

　　5、公式法：由于两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的积。即(a，b)×[a，b]=a×b。所以，求两个数的最小公倍数，就可以先求出它们的最大公约数，然后用上述公式求出它们的最小公倍数。

　　例如，求[18，20]，即得[18，20]=18×20÷(18，20)=18×20÷2=180。求几个自然数的最小公倍数，可以先求出其中两个数的最大公约数，再求这个最大公约数与第三个数的最小公倍数，依次求下去，直到最后一个为止。最后所得的那个最小公倍数，就是所求的几个数的最小公倍数.

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