高考数学(理科)复习：2009年命题预测及名师指导

第一章　2009年命题预测及名师指导

研究考纲要求　把握复习方向

北京陈经纶中学特级教师　丁益祥

北京市昌平区骨干教师　孟　婷

　　一、2009年数学高考的总体要求

　　由教育部考试中心颁布的2009年数学科考试大纲(大纲版，以下简称《考试大纲》)，与前两年相比，没有本质的变化。强调在考查知识的同时，注重对能力的考查。要求考生对所学的内容融会贯通，考查考生在理解的基础上牢固掌握双基的能力。重点放在系统掌握课程内容的内在联系上，放在掌握分析问题的方法和解决问题的能力上。具体说来，着重阐明了对数学知识、数学能力的考查要求。

　　1.对数学知识的考查要求

　　《考试大纲》中所说的知识是指教学大纲所规定的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及蕴涵在其中的数学思想。要求达到“了解、理解和掌握、灵活和综合运用”三个层次。数学思想和方法蕴含在基础知识和基本技能之中，《考试大纲》强调，对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次上的考查，考查时必须与数学知识相结合，通过对数学知识的考查，反映考生对数学思想和方法的理解；要从学科整体意义和思想价值立意，注重通性通法，淡化特殊技巧，有效地检测考生对数学思想和方法的掌握程度。显然，《考试大纲》的这一要求，既指出了对数学思想考查的意义，又指出了对数学思想考查的方法。

　　2.对数学能力的考查要求

　　《考试大纲》着重对思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识作了细化说明，并提出了明确的考查要求。

　　对于思维能力，《考试大纲》指出：“思维能力是数学学科能力的核心”.要求考生“会对问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象和概括，会用类比、归纳和演绎进行推理，能合乎逻辑地进行表述”.考查的方法和内容是，以知识为素材，通过空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和模式构建等诸方面，考查考生对客观事物中的空间形式、数量关系和数学模式的思考和判断，形成和发展理性思维，构成数学能力的主体。

　　《考试大纲》把对考生思维能力的考查放在能力考查的首位，旨在强调思维能力在数学能力中的主体地位与核心地位，有效检测考生的理性思维水平。

　　关于运算能力，《考试大纲》首先对“运算”作了明确的说明：“运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形各几何量的计算求解等”.并且要求考生“会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理；能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算”.在此基础上，对运算能力的内涵作了明确的界定，指出“运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力”.这一界定，将数学运算的过程提到了理性思维的高度。这不仅是对运算能力的诠释，而且是对运算过程中思维程序的设计和要求，为我们指明了运算过程中的思维方向。

　　《考试大纲》对空间想象能力解释为“是对空间形式的观察、分析、抽象的能力”，主要表现为识图、画图和对图形的想象能力。识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的关系；画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言，以及在原有图形上添加辅助图形或对图形进行各种变换。对图形的想象是空间想象能力高层次标志，主要包括有图想图和无图想图两种。对空间想象能力的考查，《考试大纲》提出的要求是：“能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观的形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合与变换；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质”.

　　“实践能力是将客观事物数学化的能力”，这是《考试大纲》对实践能力的注解。其过程是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，构造数学模型，并加以解决。具体说来，要求考生能综合运用所学数学知识、思想和方法解决在相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；能应用相关的数学方法解决这个抽象而得的数学问题，并能在验证的基础上用数学语言正确地表述和说明。显然，这不仅是对实践能力的考查要求，而且为我们指明了求解应用问题常规的思维程序。

　　围绕创新意识，《考试大纲》对试题命制与否、知识载体、形式类别、难易程度等方面都提出了明确的要求，指出：创新意识是理性思维的高层次表现。命题要求是创设比较新颖的问题情景，构造有一定深度和广度的问题，要注重问题的多样性，体现思维的发散性。并提出要“精心设计考查数学主体内容，体现数学素质的题目；反映数、形运动变化的题目；研究型、探索型、开放型的试题”.不难看出，高考中创新问题要命制，试题的知识载体是数学的主体内容，试题的宏观类型是研究型、探索型、开放型试题。

　　近年来，数学高考试题的命制注重能力立意，并且以思维能力为核心，全面考查各种能力。为此，对思维能力的考查必将贯穿于全卷，着重体现对理性思维的考查，强调思维的科学性、严谨性、抽象性。对运算能力的考查主要是对算理和逻辑推理的考查，考查时通常以代数运算为主，同时也考查估算、简算。对空间想象能力的考查，主要体现文字语言、符号语言及图形语言之间的相互转译，表现为对图形的识别、理解和加工。考查时常与运算能力、逻辑思维能力相结合。

　　二、把握复习方向的几点建议

　　1.明确考点，突出重点

　　《考试大纲》中指出：对数学基础知识的考查，既要全面又要突出重点，对于支撑学科知识体系的重点内容，要占有较大的比例，构成数学试题的主体.《考试大纲》在考试内容部分按文、理科列出了详细的考点：理科立体几何用9(A)版的共有132个考点，用9(B)版的共有138 个考点；文科立体几何用9(A)版的共有116个考点，用9(B)版的共有122 个考点。从历年的高考试题看，对高中数学教材各章所涉及的概念、性质、公式、法则、定理的应用都作了较为全面的考查。因此，复习中应当注意各个考点的面面俱到，防止因人为猜测“不考”而漏缺。当然复习时应注意有所侧重，在近年不刻意追求知识覆盖面的前提下，更加突出了对函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、圆锥曲线方程、直线平面简单几何体、概率与统计、导数九大重点章节知识的考查。这显然体现了《考试大纲》对重点知识重点考查的命题要求，它无疑启示我们在全面落实双基的同时，更应该注意突出重点知识，并加以反复锤炼。事实上，历年高考试题既考查基础知识，又考查综合内容，但综合的根基是基础。只有双基扎实了，重点领会了，才能逐步提高综合能力。

　　2.提炼思想，发展思维

　　对数学思想的考查是高考一贯坚持的原则。近年来，大家共识的数学思想有七种：函数与方程的思想，数形结合的思想，分类与整合的思想，化归与转化的思想，特殊与一般的思想，有限与无限的思想，或然与必然的思想。加强对数学思想方法的考查，对于引导学生深刻领悟数学学科特点，学会数学地提出问题、分析问题和解决问题，发展学生的理性思维，培养学生的能力，起着至关重要的作用。因此，在高考复习中，应善于提炼数学思想，并能运用数学思想方法有效地解决相关问题。

　　3.注重交汇，变换视角

　　《考试大纲》明确要求，要从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络交汇点设计试题，使对数学基础知识的考查达到必要的深度。随着新课程改革的不断深入，知识网络的交汇点正在不断丰富，函数导数方程与不等式、平面向量与三角函数，解析几何与平面向量、解析几何与平面几何、概率统计与计数原理，已毫无争议地成了新的知识网络交汇点，因而理所当然地成了高考命题的新热点。这些新热点与“数列函数与不等式、空间图形与平面图形、三角函数与三角变换”等原有的知识网络的交汇点一样，在2009年乃至今后的高考命题中必将越来越受到命题专家们的重视和青睐。因此，高三复习要善于挖掘新的知识网络交汇点，善于捕捉高考命题新热点。

　　4.新旧结合，推陈出新

　　今年和明年正是大纲教材向课标教材过渡的时期。为了支持新一轮课程改革，高考数学试题的命制，将适度吸收新课程的理念。例如把平面几何中的面积问题与解析几何综合考查就是一个很好的例题。此外，课标教材选修2－2中的合情推理也很容易被大纲版试题命制所吸纳。这种试题往往能较好地体现新旧知识的交融，新旧结合，推陈出新的原则跃然纸上。

　　5.适度创新，开发潜能

　　高考中命制一定的创新问题是时代发展的需要。高考数学创新试题常见的有自主定义型、直觉判断型、类比推理型、归纳猜想型、探索发现型、研究设计型六类。创新问题的求解一般没有现成的公式、法则、定理等供直接套用，需要通过对问题的阅读理解，从中学习并领悟出解决问题的知识，自行设计解决问题的思路和方法，体现思维的深度和广度，由此检测考生的自主学习能力、创造性地解决问题的能力以及进一步发展的潜能。显然，这在思维上具有较高的要求。因此，我们应当加强针对这类问题的专项训练，只有这样，才能有效地培养学生的创新意识，提高学生的潜在能力。

　　第二章　数学科考试大纲导读

　　对知识要求导读：

　　数学科的考试内容以高中阶段的数学内容为主，对知识的考查从低到高分为三个层次，依次为：了解、理解和掌握、灵活和综合运用，并且高一级的要求包含低一级的层次要求。

　　在命题范围内，常见的数学方法如：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、数形结合法等等；常用的逻辑推理如：分析法、综合法、类比法、反证法、归纳和演绎法等等都是高考中考查的主要内容。常用的数学思想如：函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想、分类讨论思想等等都会通过具体的试题来考查，同时也测试考生数学能力的掌握程度。而淡化特殊技巧，重在通性通法的掌握与灵活运用是考试内容的主体思想。

　　对能力要求导读：

　　数学科的考试能力是指思维能力、运算能力、空间想象能力、实践能力和创新能力。

　　在命题范围内，常将这几大能力贯穿于整个试卷。要求对给出问题或材料通过空间想象、直觉猜想，归纳抽象，运算求解，对公式的变式使用、数据的处理，整体代入、估算等简捷的运算，对图形进行直观想象，图形拆分、重组等等，运用所学知识来解决问题，而创新意识又是理性思维的高层次的表现，这些都会通过试题来考查考生的数学能力。

　　如何在冲刺阶段备考

　　细研考试大纲，构建知识网络，关注生活现象，克服紧张情绪，以平和的心态参加考试。

Ⅰ.考试性质

　　普通高等学校招生全国统一考试是由合格的高中毕业生和具有同等学力的考生参加的选拔性考试，高等学校根据考生成绩，按已确定的招生计划，德、智、体全面衡量，择优录取，因此，高考应有较高的信度、效度，必要的区分度和适当的难度。

Ⅱ.考试要求

　　《普通高等学校招生全国统一考试大纲(理科•2009年版)》中的数学科部分，根据普通高等学校对新生文化素质的要求，依据国家教育部2002年颁布的《全日制普通高级中学课程计划》和《全日制普通高级中学数学教学大纲》的必修课与选修Ⅱ的教学内容，作为理工农医类高考数学科试题的命题范围。

　　数学科的考试，按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，确立以能力立意命题的指导思想，将知识、能力与素质的考查融为一体，全面检测考生的数学素养。

　　数学科考试要发挥数学作为基础学科的作用，既考查中学数学的知识和方法，又考查考生进入高校继续学习的潜能。

　　一、考试内容的知识要求、能力要求和个性品质要求

　　1.知识要求

　　知识是指《全日制普通高级中学数学教学大纲》所规定的教学内容中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及其中的数学思想和方法。

　　对知识的要求，依次为了解、理解和掌握、灵活和综合运用三个层次。

　　(1)了解：要求对所列知识的含义及其相关背景有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，并能(或会)在有关的问题中识别它。

　　(2)理解和掌握：要求对所列知识内容有较深刻的理论认识，能够解释、举例或变形、推断，并能利用知识解决有关问题。

　　(3)灵活和综合运用：要求系统地掌握知识的内在联系，能运用所列知识分析和解决较为复杂的或综合性的问题。

　　2.能力要求

　　能力是指思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识。

　　(1)思维能力：会对问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括；会用类比、归纳和演绎进行推理；能合乎逻辑地、准确地进行表述。

　　数学是一门思维的科学，思维能力是数学学科能力的核心。数学思维能力是以数学知识为素材，通过空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和模式构建等诸方面，对客观事物中的空间形式、数量关系和数学模式进行思考和判断，形成和发展理性思维，构成数学能力的主体。

　　(2)运算能力：会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理；能根据问题的条件和目标，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算。

　　运算能力是思维能力和运算技能的结合。运算包括对数值的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形各几何量的计算求解等。运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力以及实施运算和计算的技能。

　　(3)空间想象能力：能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中的基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合与变换；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质。

　　空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力，主要表现为识图、画图和对图形的想象能力。识图是指观察、研究所给图形中几何元素之间的相互关系；画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言，以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换；对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种，是空间想象能力高层次的标志。

　　(4)实践能力：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；能应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表述和说明。

　　实践能力是将客观事物数学化的能力。主要过程是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，构造数学模型，将现实问题转化为数学问题，并加以解决。

　　(5)创新意识：对新颖的信息、情境和设问，选择有效的方法和手段分析信息，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题。

　　创新意识是理性思维的高层次表现。对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明”，是发现问题和解决问题的重要途径，对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高，显示出的创新意识也就越强。

　　3.个性品质要求

　　个性品质是指考生个体的情感、态度和价值观。要求考生具有一定的数学视野，认识数学的科学价值和人文价值，崇尚数学的理性精神，形成审慎思维的习惯，体会数学的美学意义。

　　要求考生克服紧张情绪，以平和的心态参加考试，合理支配考试时间，以实事求是的科学态度解答试题，树立战胜困难的信心，体现锲而不舍的精神。

　　二、考查要求

　　数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间深刻的内在联系，包括各部分知识在各自发展过程中的纵向联系和各部分知识之间的横向联系。要善于从本质上抓住这些联系，进而通过分类、梳理、综合，构建数学试卷的结构框架。

　　(1)对数学基础知识的考查，要既全面又突出重点，对于支撑学科知识体系的重点内容，要占有较大的比例，构成数学试卷的主体。注重学科的内在联系和知识的综合性，不刻意追求知识的覆盖面。从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络的交汇点设计试题，使对数学基础知识的考查达到必要的深度。

　　(2)对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时必须要与数学知识相结合，通过对数学知识的考查，反映考生对数学思想和方法的理解；要从学科的整体意义和思想价值立意，注重通性通法，淡化特殊技巧，有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度。

　　(3)对数学能力的考查，强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料。侧重体现对知识的理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，以此来检测考生将知识迁移到不同情境中去的能力，从而检测出考生个体理性思维的广度和深度以及进一步学习的潜能。

　　对能力的考查，以思维能力为核心，全面考查各种能力，强调综合性、应用性，并切合考生实际。对思维能力的考查贯穿于全卷，重点体现对理性思维的考查，强调思维的科学性、严谨性、抽象性。对运算能力的考查主要是对算理和逻辑推理的考查，考查时以代数运算为主，同时也考查估算、简算。对空间想象能力的考查，主要体现在对文字语言、符号语言及图形语言三种语言的互相转化，表现为对图形的识别、理解和加工，考查时要与运算能力、逻辑思维能力相结合。

　　(4)对实践能力的考查主要采用解决应用问题的形式。命题时要坚持“贴近生活，背景公平，控制难度”的原则，试题设计要切合我国中学数学教学的实际，考虑学生的年龄特点和实践经验，使数学应用问题的难度符合考生的水平。

　　(5)对创新意识的考查是对高层次理性思维的考查。在考试中创设比较新颖的问题情境，构造有一定深度和广度的数学问题，要注重问题的多样化，体现思维的发散性。精心设计考查数学主体内容，体现数学素质的试题；反映数、形运动变化的试题；研究型、探索型、开放型的试题。

　　数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想和方法的考查，注重对数学能力的考查，注重展现数学的科学价值和人文价值，同时兼顾试题的基础性、综合性和现实性，重视试题间的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查，努力实现全面考查综合数学素养的要求。

Ⅲ.考试内容

　　1.平面向量

　　考试内容：

　　向量。向量的加法与减法。实数与向量的积。平面向量的坐标表示。线段的定比分点。平面向量的数量积。平面两点间的距离。平移。

　　考试要求：

　　(1)理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。

　　(2)掌握向量的加法和减法。

　　(3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。

　　【导读】通常以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质。此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题。平面向量的几何表示是平面几何性质的反映，向量的表示可以使平面几何的各类性质的表示及证明更为直观，且较易理解与接受。

　　【试题举例】(2008•北京)

　　已知向量a与b的夹角为120°，且|a ＝|b ＝4，那么b•(2a＋b)的值为　　　　.

　　【答案】0

　　【解析】b•(2a＋b)＝2a•b＋b²＝2|a •|b cos120°＋16＝0，考查向量的运算，属于容易题。

　　(4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

　　【导读】向量的坐标表示，实际上是向量的代数表示。在引入向量的坐标表示后，即可使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样很多几何问题的证明，就转化为我们熟知的数量运算，这也是中学数学学习向量的重要目的之一。要注意两个向量的数量积，其结果是数量而不是向量，两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法又称“点乘”.

　　【试题举例】(2008•湖北)

　　设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)•c＝(　　)

　　A.(－15,12)  B.0  C.－3  D.－11

　　【答案】C

　　【解析】C　[解析]∵a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，

　　∴(a＋2b)•c＝(1－6，－2＋8)•(3,2)＝－15＋12＝－3，故应选C.

　　(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。

　　(6)掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用。掌握平移公式。

　　【导读】在高考中的考查主要集中在两个方面：①向量的基本概念和基本运算；③向量作为工具的应用。向量是数学的重要概念之一，它给平面解析几何奠定了必要的基础，同时也为物理学提供了工具，这部分内容与实际结合比较密切。

　　【试题举例】(2008•辽宁)

　　将函数y＝2^x＋1的图象按向量a平移得到函数y＝2^x＋1的图象，则(　　)

　　A.a＝(－1，－1)  B.a＝(1，－1)  C.a＝(1,1)  D.a＝(－1,1)

　　【答案】A

　　【解析】将函数y＝2^x＋1的图象向左平移1个单位可得函数y＝2^x＋1＋1的图象，再将该函数图象向下平移1个单位可得函数y＝2^x＋1的图象，由此可得平移向量a＝(－1，－1)，故应选A.

　　2.集合、简易逻辑

　　考试内容：

　　集合。子集。补集。交集。并集。

　　逻辑联结词。四种命题。充分条件和必要条件。

　　考试要求：

　　(1)理解集合、子集、补集、交集、并集的概念。了解空集和全集的意义。了解属于、包含、相等关系的意义。掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合。

　　【导读】数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思维方法解决问题。学会运用数形结合、分类讨论的思维方法分析和解决有关集合的问题，形成良好的思维品质。

　　【试题举例】

　　已知集合S＝{x∈Rx＋1≥2ou }，T＝{－2，－1，0，1，2}，则S∩T＝(　　)

　　A.　{2}  B.{1,2}　  C.　{0,1,2}  D.{-1,0,1,2}

　　【答案】B

　　【解析】(直接法)S＝{x∈Rx＋1≥2}⇒S＝{x∈Rx≥1}，T＝{-2,-1,0,1,2}，故S∩T＝{1,2}.

　　(排除法)由S＝{x∈Rx＋1≥2}⇒S＝{x∈Rx≥1}可知S∩T中的元素比0要大，而C、D项中有元素0，故排除C、D项，且S∩T中含有元素1，故排除A项。故答案为B.

　　(2)理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义。理解四种命题及其相互关系。掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义。

　　【导读】可以判断真假的语句叫做命题。构成复合命题的p或q可以是两个不相关的命题，判断命题真假的步骤是：(1)定形式；(2)判简单；(3)判复合，以真值表为依据。规律是“或命题”一真俱真，要假全假.“且命题”一假俱假，要真全真。当一个命题的真假不易判断时，可考虑判断其等价命题的真假。高考在考查其他部分内容时涉及集合的知识。很少有正面考查逻辑的内容。逻辑与充要条件的知识往往是和其他知识结合起来并汇考查。

　　【试题举例】

　　“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的(　　)

　　A.充分而不必要条件

　　B.必要而不充分条件

　　C.充分必要条件

　　D.既不充分也不必要条件

　　【答案】C

　　【解析】当a＝2时，直线2x＋2y＝0平行于直线x＋y＝1，则是充分条件；直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1时有：a＝2，则是必要条件，故是充分必要条件。

　　3.函数

　　考试内容：

　　映射。函数。函数的单调性、奇偶性。

　　反函数。互为反函数的函数图象间的关系。

　　指数概念的扩充。有理指数幂的运算性质。指数函数。

　　对数。对数的运算性质。对数函数。

　　函数的应用。

　　考试要求：

　　(1)了解映射的概念，理解函数的概念。

　　【导读】映射A→fB中，A中元素无剩余、一对一或多对一。函数是“非空数集上的映射”，其中“值域是映射中象集B的子集”.函数图象与x轴垂线至多有一个交点，但与y轴垂线的公共点可能没有，也可任意个。函数图象一定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不一定能成为函数图象。函数是一种特殊的映射，而映射是一种特殊的对应；函数的三要素中对应法则是核心，定义域是灵魂。函数有两种定义，一是变量观点下的定义，一是映射观点下的定义。复习中不能仅满足对这两种定义的背诵，而应在判断是否构成函数关系、两个函数关系是否相同等问题中得到深化，更应在有关反函数问题中正确运用。

　　【试题举例】

　　给出下列三个等式：

　　f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(x＋y)＝f(x)f(y)，f(x＋y)＝f(x)+f(y)/1-f(x)f(y).下列函数中不满足其中任何一个等式的是(　　)

　　A.f(x)＝3^x　 

　　B.f(x)＝sinx　 

　　C.f(x)＝log₂x　 

　　D.f(x)＝tanx

　　【答案】B

　　【解析】依据指、对数函数的性质可以发现A满足f(x＋y)＝f(x)f(y)，

　　C满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，而D满足f(x＋y)＝f(x)+f(y)/1-f(x)f(y).，

　　B不满足其中任何一个等式。

　　(2)了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法。

　　【导读】函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论。函数y＝f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质。函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制。确定函数的单调性或单调区间，在解答题中常用定义法、导数法，在选择题、填空题中还有数形结合法、特殊值法等等。函数的奇偶性是函数既有图象特征又有代数形式，两者均是高考考查的重点，两者相结合的抽象函数的性质探究更是函数性质研究的深入。函数的定义域关于原点对称这是函数具备奇偶性的必要条件。

　　【试题举例】

　　在R上定义的函数f(x)是偶函数，且f(x)＝f(2－x).若f(x)在区间[1,2]上是减函数，则f(x)(　　)

　　A.在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数

　　B.在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数

　　C.在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数

　　D.在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数

　　【答案】B
 

　　【解析】由f(x)＝f(2－x)可知f(x)图象关于x＝1对称，又因为f(x)为偶函数图象关于x＝0对称，可得到f(x)为周期函数且最小正周期为2，结合f(x)在区间[1,2]上是减函数，可得如上f(x)草图。故选B.

　　(3)了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数。

　　【导读】反函数的定义不只局限于函数y＝a^x(x∈R)与函数y＝log_ax(x∈(0，＋∞))，对于其他的函数也有可能存在反函数。只有一一对应的函数才有反函数，证明wei/yi性命题既要证存在性，又要用反证法证其wei/yi性。遇到互为反函数问题时，要时刻记住两者定义域与值域互换。确定函数三要素、求反函数等课题的综合性，不仅要用到解方程、解不等式等知识，还要用到换元思想、方程思想等与函数有关概念的结合。从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数；反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域，若y＝f(x)与y＝f^－1(x)互为反函数，函数y＝f(x)的定义域为A、值域为B，则f[f^－1(x)]＝x(x∈B)，f^－1[f(x)]＝x(x∈A)；单调性、图象：互为反函数的两个函数具有相同的单调性，它们的图象关于y＝x对称。求反函数的一般方法：

　　(1)由y＝f(x)解出x＝f^－1(y)，(2)将x＝f^－1(y)中的x，y互换位置，得y＝f^－1(x)，(3)求y＝f(x)的值域得y＝f^－1(x)的定义域。

　　【试题举例】(2008•全国卷一)

　　若函数y＝f(x－1)的图象与函数y＝ln√x＋1的图象关于直线y＝x对称，则f(x)＝(　　)

　　A.e^2x－1  B.e^2x  C.e^2x＋1  D.e^2x＋2

　　【答案】B

　　【解析】本小题主要考查原函数与反函数图象间的关系及反函数的求法。

　　由题意知y＝f(x－1)与y＝ln√x＋1互为反函数，y＝ln√x＋1的反函数的求解如下：y－1＝ln√x，√x＝e^y－1，两边平方得x＝e^2y－2，交换x，y，则得y＝ln√x＋1的反函数为f(x－1)＝e^2x－2则f(x)＝e^2x，故选B.

　　(4)理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质。

　　【导读】1.本小节的重点是指数函数的图象和性质的应用。对于含有字母参数的两个函数式比较大小或两个函数式由于自变量的不同取值而有不同大小关系时，必须对字母参数或自变量取值进行分类讨论。用好用活指数函数单调性，是解决这一类问题的关键。

　　2.对可化为a^2x＋b•a^x＋c＝0或a^2x＋b•a^x＋c≥0(≤0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应提醒学生注意换元后“新元”的范围。

　　【试题举例】

　　设a＝log1/2³，b＝1/3²，c＝2*1/3则(　　)

　　A.a<b<c  B.c<b<a

　　C.c<a<b  D.b<a<c

　　【答案】A

　　【解析】∵由指、对函数的性质可知：a＝log1/2³<log1/2*1＝0,0<b＝1/3^0.2<1，c＝2*1/3>1，∴有a<b<c.

　　(5)理解对数的概念，掌握对数的运算性质。掌握对数函数的概念、图象和性质。

　　【导读】1.本小节的重点是对数函数图象和性质的运用。由于对数函数与指数函数互为反函数，所以它们有许多类似的性质，掌握对数函数的性质时，与掌握指数函数的性质一样，也要结合图象理解和记忆。

　　2.由于在对数式中真数必须大于0，底数必须大于零且不等于1，因此有关对数的问题已成了高考的热点内容。学生在理解有关的例题时，要强化这方面的意识。

　　【试题举例】

　　设a＞1，函数f(x)＝log_ax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为1/2，则a等于(　　)

　　A. √2 B.2  C.2√2  D.4

　　【答案】D

　　【解析】设a＞1，函数f(x)＝log_ax在区间[a,2a]上的最大值与最小值分别为log_a2a，log_aa＝1，它们的差为1/2，∴log_a2＝1/2，a＝4，选D.

　　(6)能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题。

　　【导读】指数函数f(x)＝a^x，具有性质：f(x＋y)＝f(x)f(y)，f(1)＝a≠0.对抽象函数的研究，合理赋值是wei/yi途径，不能仅依赖于函数模型；对数函数f(x)＝log_ax，具有性质：f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(a)＝1(a>0，a≠1)，应注意对数函数的图象性质在解题中的应用。

　　【试题举例】(2008•全国卷二)

　　若x∈(e^－1,1)，a＝lnx，b＝2lnx，c＝ln³x，则(　　)

　　A.a<b<c  B.c<a<b

　　C.b<a<c  D.b<c<a

　　【答案】C

　　【解析】∵x∈(e^－1,1)，∴a＝lnx∈(－1,0)，b－a＝lnx<0，即b<a，又∵a、c均小于0，＝ln²x<1，得c>a，∴b<a<c，故应选C.

　　4.不等式

　　考试内容：

　　不等式。不等式的基本性质。不等式的证明。不等式的解法。含绝对值的不等式。

　　考试要求：

　　(1)理解不等式的性质及其证明。

　　【导读】不等式的性质是不等式的理论支撑，其基础性质源于数的大小比较。要注意以下几点：

　　1.加强化归意识，把比较大小问题转化为实数的运算；

　　2.通过复习要强化不等式“运算”的条件。如a＞b、c＞d在什么条件下才能推出ac＞bd；

　　3.强化函数的性质在大小比较中的重要作用，加强知识间的联系；

　　4.不等式的性质是解、证不等式的基础，对任意两实数a、b有a－b＞0⇔a＞b，a－b＝0⇔a＝b，a－b＜0⇔a＜b，这是比较两数(式)大小的理论根据，也是学习不等式的基石；

　　5.一定要在理解的基础上记准、记熟不等式的性质，并注意解题中灵活、准确地加以应用；

　　6.对两个(或两个以上)不等式同加(或同乘)时一定要注意不等式是否同向(且大于零)；

　　7.对于含参问题的大小比较要注意分类讨论。

　　【试题举例】

　　已知a，b为非零实数，且a<b，则下列命题成立的是(　　)

　　A.a²<b²  B.ab²<a²b  C.1/ab*b<1/a*ab  D.b/a<a/b

　　【答案】C

　　【解析】若a<b<0⇒a²>b²，A不成立；若{ab>0,a<b}⇒a²b<ab²，B不成立；若a＝1，b＝2，则b/a＝2，a/b＝1/2⇒b/a>a/b，所以D不成立，故选C.

　　(2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用。

　　【导读】1.在证明不等式的各种方法中，作差比较法是一种最基本、最重要的方法，它是利用不等式两边的差是正数还是负数来证明不等式，其应用非常广泛，一定要熟练掌握。

　　2.对于公式a＋b≥2√ab，ab≤(a+b/2)²要理解它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab和a＋b的转化关系。

　　3.在应用均值定理求最值时，要把握定理成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”.若忽略了某个条件，就会出现错误。

　　【试题举例】

　　如果正数a，b，c，d满足a＋b＝cd＝4，那么(　　)

　　A.ab≤c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值wei/yi

　　B.ab≥c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值wei/yi

　　C.ab≤c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值不wei/yi

　　D.ab≥c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值不wei/yi

　　【答案】A

　　【解析】∵正数a，b，c，d满足a＋b＝cd＝4，∴4＝a＋b≥2√ab，即ab≤4，当且仅当a＝b＝2时，“＝”成立；又4＝cd≤(c+d/2)²，∴c＋d≥4，当且仅当c＝d＝2时，“＝”成立；综上得ab≤c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值都为2，选A.

　　(3)掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。

　　【导读】1.在证明不等式的过程中，分析法和综合法是不能分离的，如果使用综合法证明不等式难以入手时，常用分析法探索证题途径，之后用综合法的形式写出它的证明过程。有时问题证明难度较大，常使用分析综合法，实现两头往中间靠以达到证题目的。

　　2.由于高考试题不会出现单一的不等式的证明题，常常与函数、数列、三角、方程综合在一起，所以在学习中，不等式的证明除常用的三种方法外，还有其他方法，如比较大小。证明不等式的常用方法有：差、商比较法、函数性质法、分析综合法和放缩法。要能了解常见的放缩途径，如：利用增或舍、分式性质、函数单调性、有界性、基本不等式及绝对值不等式性质和数学归纳法等。有时要先对不等式作等价变形再进行证明，有时几种证明方法综合使用。

　　3.比较法有两种形式：一是作差，二是作商。用作差法证明不等式是证明不等式中最基本、最常用的方法。它的依据是不等式的基本性质。步骤是：作差(商)→变形→判断。变形的目的是为了判断。若是作差，就判断与0的大小关系，为了便于判断，往往把形式变为积或完全平方式。若是作商，两边为正，就判断与1的大小关系。

　　【试题举例】

　　当x∈(1,2)时，不等式x²＋mx＋4＜0恒成立，则m的取值范围是　　　.

　　【答案】m≤－5

　　【解析】构造函数：f(x)＝x²＋mx＋4，x∈[1,2].由于当x∈(1,2)时，

　　不等式x²＋mx＋4＜0恒成立。则f(1)≤0，f(2)≤0，即

　　1＋m＋4≤0,4＋2m＋4≤0.解得：m≤－5.

　　(4)掌握简单不等式的解法。

　　【导读】1.解不等式的过程，实质上是不等式等价转化过程。因此在学习中理解保持同解变形是解不等式应遵循的基本原则。

　　2.各类不等式最后一般都要化为一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来解，这体现了转化与化归的数学思想。

　　3.解不等式几乎是每年高考的必考题，重点仍是含参数的有关不等式，对字母参数的逻辑划分要具体问题具体分析，必须注意分类不重、不漏、完全、准确。

　　【试题举例】

　　不等式：x-1/x*x-4>0的解集为(　　)

　　A.(－2,1)  B.(2，＋∞)

　　C.(－2,1)∪(2，＋∞)　  D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)

　　【答案】C

　　【解析】不等式：x-1/x*x-4>0，∴x-1/(x+2)(x-2)>0，原不等式的解集为(－2,1)∪(2，＋∞)，选C.

　　(5)理解不等式│a│－│b│≤│a＋b│≤│a│＋│b│.

　　【导读】1.解含有绝对值的不等式的指导思想是去掉绝对值。常用的方法是：(1)由定义分段讨论；(2)利用绝对值不等式的性质；(3)平方。

　　2.绝对值是历年高考的重点，而绝对值不等式更是常考常新。在考试中要从绝对值的定义和几何意义来分析，绝对值的特点是带有绝对值符号，如何去掉绝对值符号，一定要学会方法，切不可以题论题。

　　3.不等式在数学的各个分支中都有广泛的应用，同时还是继续学习高等数学的基础。纵观历年试题，涉及不等式内容的考题大致可分为以下几类：①不等式的证明；②解不等式；③取值范围的问题；④应用题。

　　【试题举例】

　　不等式|2x－1|－x＜1的解集是　　　　.

　　【答案】(0,2)

　　【解析】|2x－1|－x＜1⇒|2x－1|＜x＋1⇒－(x＋1)＜2x－1＜x＋1

　　∴{-(x+1)<2x-1,2x-1<x+1}⇒0＜x＜2.

　　5.三角函数

　　考试内容：

　　角的概念的推广。弧度制。

　　任意角的三角函数。单位圆中的三角函数线。同角三角函数的基本关系式：sin²α＋cos²α＝1，sina/cosa＝tanα，tanαcotα＝1.正弦、余弦的诱导公式。

　　两角和与差的正弦、余弦、正切。二倍角的正弦、余弦、正切。

　　正弦函数、余弦函数的图象和性质。周期函数。函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象。正切函数的图象和性质。已知三角函数值求角。

　　正弦定理。余弦定理。斜三角形解法。

　　考试要求：

　　(1)了解任意角的概念、弧度的意义。能正确地进行弧度与角度的换算。

　　【导读】近年的高考题中，三角函数主要考查基础知识、基本技能、基本方法，复习中注意“三基”的落实。一般都在选择题与填空题中考查，多为容易或中等难度的题目。三角函数符号规律记忆口诀：一全正，二正弦，三是切，四余弦。要熟悉任意角的概念、弧度制与角度制的互化、弧度制下的有关公式、任意角的三角函数概念。

　　【试题举例】

　　α是第四象限角，tanα＝－5/12，则sinα等于(　　)

　　A.1/5  B.－1/5  C.5/13  D.－5/13

　　【答案】D

　　【解析】α是第四象限角，tanα＝－5/12，则sinα＝－1/1+√tana*tana＝－5/13.

　　(2)理解任意角的正弦、余弦、正切的定义。了解余切、正割、余割的定义。掌握同角三角函数的基本关系式。掌握正弦、余弦的诱导公式。了解周期函数与最小正周期的意义。

　　【导读】同角三角函数基本关系式是其他公式推导的理论基础。对于诱导公式，可用“奇变偶不变，符号看象限”概括。三角公式是三角函数的心脏，它贯穿于整个的三角运算过程之中。在已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要注意题设中角的范围，并就不同的象限分别求出相应的值。

　　【试题举例】

　　已知简谐运动f(x)＝2sin(π/3x＋φ)(|φ ＜)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(　　)

　　A.T＝6，φ＝π/6  B.T＝6，φ＝π/3

　　C.T＝6π，φ＝π/6  D.T＝6π，φ＝π/3

　　【答案】A

　　【解析】依题意2sinφ＝1，结合|φ ＜π/2可得φ＝π/6，易得T＝6，故选A.

　　(3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式。掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。

　　【导读】三角函数的化简与求值类型的高考题型非常丰富，求值与化简过程中应当注意同名三角函数与同角三角函数的化归。不仅要能熟练推证公式(建议自己推证一遍所有公式)、熟悉公式的正用逆用，还要熟练掌握公式的变形应用；注意拆角、拼角技巧，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等；注意倍角的相对性，如3α是3a/2的倍角；注意公式的变形使用，弦切互化、三角代换、消元是三角变换的重要方法，要尽量减少开方运算，慎重确定符号。注意“1”的灵活代换，如1＝sin²α＋cos²α＝sec²α－tan²α＝csc²α－cot²α＝tanα•cotα.应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断，一般常用“奇变偶不变，符号看象限”的口诀。利用同角三角函数的关系及诱导公式进行化简、求值、证明时，要细心观察题目的特征，注意培养观察、分析问题的能力，并注意做题后的总结，总结一般规律。如：“切割化弦”“1的巧代”，sinα＋cosα、sinαcosα、sinα－cosα这三个式子间的关系。最后要时时注意角的范围的讨论。

　　公式应用讲究一个“活”字，即正用、逆用、变形用，还要创造条件应用公式，如拆角、拼角技巧等。

　　【试题举例】

　　“θ＝2π/3”是“tanθ＝2cos(π/2+θ)”的(　　)

　　A.充分而不必要条件  B.必要而不充分条件

　　C.充分必要条件  D.既不充分也不必要条件

　　【答案】A

　　【解析】tanθ＝tan2/3π＝－√3，2cos(π/2+θ)＝2sin(－θ)＝－2sin(2/3π)＝－√3可知充分成立，当θ＝0°时tanθ＝0,2cos(π/2+θ)＝0可知不必要。故选A.

　　(4)能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。

　　【导读】化简要求：

　　(1)能求出值的应求出值。

　　(2)使三角函数种数尽量少。

　　(3)使项数尽量少。

　　(4)尽量使分母不含三角函数。

　　(5)尽量使被开方数不含三角函数。

　　常用方法：

　　(1)直接应用公式。

　　(2)切割化弦，异名化同名，异角化同角。

　　(3)形如cosαcos2αcos2²α…cos2ⁿα的函数式，只需将分子、分母分别乘以2^n＋1sinα，应用二倍角正弦公式即可。

　　注意事项：

　　(1)公式的熟与准，要依靠理解内涵，明确联系应用，练习尝试，不可机械记忆。

　　(2)要重视对遇到的问题中角、函数名及其整体结构的分析，提高公式选择的恰当性，有利于缩短运算程序，提高学习效率。

　　(3)角的变换体现出将未知转化为已知的思想方法，这是解决三角中关于角的变换问题常用的数学方法之一。

　　【试题举例】

　　sin15°cos75°＋cos15°sin105°等于(　　)

　　A.0　  B.

　　C.√3/2　  D.1

　　【答案】D

　　【解析】sin15°cos75°＋cos15°sin105°＝sin(15°＋75°)＝1，选D.

　　(5)理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y＝Asin(ωx＋φ)的简图，理解A、ω、φ的物理意义。

　　【导读】三角函数图象的平移变换及伸缩变换是历届高考的必考知识点，应当注意应用逆向思维的方法去验证所得的结论。

　　三角函数图象是三角函数考查的重要内容，通过图象及方程可以用函数的观点进一步研究其图象与性质。本节是图象和性质的综合应用的内容，命题主要突出数形结合思想、化归转化思想、分类讨论等数学思想方法，并注意三角知识的载体作用，注意和其他知识间的关联；判断y＝－Asin(ωx＋φ)(ω＞0)的单调区间，只需求y＝Asin(ωx＋φ)的相反区间即可，一般常用数形结合。而求y＝Asin(－ωx＋φ)(－ω＜0)单调区间时，则需要先将x的系数变为正的，再设法求之。三角函数是函数的一个分支，它除了符合函数的所有关系和共性外，还有它自身的属性；求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数，且三角函数的次数为1的形式，否则很容易出现错误。

　　注意点：1.数形结合是数学中重要的思想方法，在中学阶段，对各类函数的研究都离不开图象，很多函数的性质都是通过观察图象而得到的。

　　2.作函数的图象时，首先要确定函数的定义域。

　　3.对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象。

　　4.求定义域时，若需先把式子化简，一定要注意变形时x的取值范围不能发生变化。

　　5.解析式的求解中应用好图象，紧扣五点中的第一个零点，要注意图象的升降情况，注意数形结合的思想。

　　【试题举例】

　　已知函数f(x)＝sin(ωx＋π/3)(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数的图象(　　)

　　A.关于点(π/3，0)对称  B.关于直线x＝π/4对称

　　C.关于点(π/4，0)对称  D.关于直线x＝π/3对称

　　【答案】A

　　【解析】由函数f(x)＝sin(ωx＋π/3)(ω＞0)的最小正周期为π得ω＝2，由2x＋π/3＝kπ得x＝1/2kπ－π/6，对称点为(1/2kπ－π/6，0)(k∈Z)，当k＝1时为(π/3，0)，选A.

　　(6)会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx、arccosx、arctanx表示。

　　【导读】解决给式(值)求值问题常注意：注意整体思想在解题中的应用；①要注意观察和分析问题中各角之间的内在联系，把“待求角”用“已知角”表示出来.②要注意条件中角的范围对三角函数值的制约作用，确定所涉及的每一个角的范围，以免出现增(失)解。

　　根据条件计算某个角的三角函数值或者求某个三角式子的值或者求某个角的大小等，在考试中选择、填空、解答题均可出现，并且题目大都有一定的技巧性与灵活性。

　　【试题举例】

　　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝√7，c＝√3，则B＝　　　　.

　　【答案】5π/6

　　【解析】由正弦定理得cosB＝1+3-7/2*1*√3＝－√3/2，所以B＝5π/6.

　　(7)掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。

　　【导读】除了正余弦定理外，还应掌握三角形中一些其他关系式在解题中的应用。如在△ABC中A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB，A＞B⇔a＞b⇔cosA＜cosB.

　　解斜三角形主要是已知三角形中的某些边或角，去求另外的边或角。多为选择题或填空题，属基础题.(1)利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形问题：①已知两角和任一边，求其他两边和一角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角).(2)利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形问题：①已知三边，求三个角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。

　　【试题举例】

　　在△ABC中，AB＝√3，A＝45°，C＝75°，则BC等于(　　)

　　A.3－√3  B.√2  C.2  D.3＋√3

　　【答案】A

　　【解析】∵AB＝√3，A＝45°，C＝75°，由正弦定理得：

　　a/sinA＝c/sinC，⇒BC/sin45°＝AB/sin75°＝√3/(√6+√2)/4

　　∴BC＝3－√3.

　　6.数列

　　考试内容：

　　数列。

　　等差数列及其通项公式。等差数列前n项和公式。

　　等比数列及其通项公式。等比数列前n项和公式。

　　考试要求：

　　(1)理解数列的概念，了解数列通项公式的意义。了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。

　　【导读】数列的通项公式与递推公式是表达数列特征与构造的两种方法. 1.要注意强调数列、数列的项、数列的通项三个概念的区别.2.给出数列的方法中，递推关系包含两种：一种是项和项之间的关系；另一种是项和前n项和S_n之间的关系。要用转化的数学思想方法。转化是数学中最基本、最常用的解题策略，S_n和a_n的转化，可给出数列，问题总是在一步步的转化过程中得到解决，在运用转化的方法时，一定要围绕转化目标转化.3.重视函数与数列的联系，重视方程思想在数列中的应用。

　　常用方法：

　　1.用归纳法依据前几项写出数列的一个通项公式，体现了由特殊到一般的思维方法，需要我们有一定的数学观察能力和分析能力，并熟知一些常见的数列的通项公式。

　　2.对于符号(数字、字母、运算符号、关系符号)、图形、文字所表示的数学问题，要有目的地从局部到整体多角度进行观察，从而得出结论。

　　3.求数列的通项公式是本节的重点，主要掌握两种求法。

　　(1)由数列的前几项归纳出一个通项公式，关键是善于观察.(2)数列{a_n}的前n项和S_n与数列{a_n}的通项公式a_n的关系，要注意验证能否统一到一个式子中。

　　【试题举例】

　　数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_n＝1/n(n+1)，则S₅等于(　　)

　　A.1  B5/6.  C1/6.  D.1/30

　　【答案】B

　　【解析】a_n＝1/n(n+1)＝1/n－1/n+1，

　　所以S₅＝a₁＋a₂＋a₃＋a₄＋a₅＝1－1/2＋1/2－1/3＋1/3－1/4＋1/4－1/5＋1/5－1/6＝5/6，选B.

　　(2)理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。

　　【导读】等差数列可以看成一个特殊函数，其图象是一群孤立点，且该图象的孤立点落在一条直线上。

　　1.深刻理解等差数列的定义，紧扣从“第二项起”和“差是同一常数”这两点。

　　2.等差数列中，已知五个元素a₁，a_n，n，d，S_n中的任意三个，便可求出其余两个。

　　3.证明数列{a_n}是等差数列的两种基本方法是：

　　(1)利用定义，证明a_n/a_n－1(n≥2)为常数；

　　(2)利用等差中项，即证明2a_n＝a_n－1＋a_n＋1(n≥2).

　　4.等差数列{a_n}中，当a₁＜0，d＞0时，数列{a_n}为递增数列，S_n有最小值；当a₁＞0，d＜0时，数列{a_n}为递减数列，S_n有最大值；当d＝0时，{a_n}为常数列。

　　5.复习时，要注意以下几点：

　　(1)深刻理解等差数列的定义及等价形式，灵活运用等差数列的性质。

　　(2)注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用。

　　考试时应注意以下几个问题：

　　1.在熟练应用基本公式的同时，还要会用变通的公式，如在等差数列中，a_m＝a_n＋(m－n)d.

　　2.由五个量a₁，d，n，a_n，S_n中的三个量可求出其余两个量，要求选用公式要恰当，即善于减少运算量，达到快速、准确的目的。

　　3.已知三个或四个数成等差数列这类问题，要善于设元，目的仍在于减少运算量，如三个数成等差数列时，除了设a，a＋d，a＋2d外，还可设a－d，a，a＋d；四个数成等差数列时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.

　　4.等差数列的性质在求解中有着十分重要的作用，应熟练掌握、灵活运用。

　　5.在求解数列问题时，要注意函数思想、方程思想、消元及整体消元的方法的应用。

　　【试题举例】

　　等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₂＝1，a₃＝3，则S₄等于(　　)

　　A.12  B.10

　　C.8  D.6

　　【答案】C

　　【解析】等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₂＝1，a₃＝3，则d＝2，a₁＝－1，∴S₄＝8，选C.

　　(3)理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。

　　【导读】等比数列图象的孤立点落在一条近似指数函数图象上。此处为数形结合解决数列问题提供了依据。

　　1.深刻理解等比数列的定义，紧扣从“第二项起”和“比是同一常数”这两点。

　　2.运用等比数列求和公式时，需对q＝1和q≠1进行讨论。

　　3.证明数列{a_n}是等差数列的两种基本方法是：

　　(1)利用定义，证明(n≥2)为常数；

　　(2)利用等比中项，即证明a＝a_n－1•a_n＋1(n≥2).

　　等比数列的性质在求解中有着十分重要的作用，应熟练掌握、灵活运用。

　　4.解决等比数列有关问题的常见思想方法：

　　(1)方程的思想：等比数列中五个元素a₁、a_n、n、q、S_n可以“知三求二”；

　　(2)分类讨论的思想：当a₁＞0，q＞1或a₁＜0,0＜q＜1时为递增数列，当a₁＜0，q＞1或a₁＞0,0＜q＜1时为递减数列；当q＜0时为摆动数列；当q＝1时为常数列。

　　5.转化为“基本量”是解决问题的基本方法。

　　【试题举例】

　　在等比数列{a_n}(n∈N*)中，若a₁＝1，a₄＝1/8，则该数列的前10项和为(　　)

　　A.2－1/(2)8    B.2－1/(2)9   C.2－1/(2)10  D.2－1/(2)11 

　　【答案】B

　　【解析】由a₄＝a₁q³＝q³＝1/8⇒q＝1/2，所以S₁₀＝1-(1/2)10/1-1/2＝2－1/(2)9 .

　　7.直线和圆的方程

　　考试内容：

　　直线的倾斜角和斜率。直线方程的点斜式和两点式。直线方程的一般式。

　　两条直线平行与垂直的条件。两条直线的交角。点到直线的距离。

　　用二元一次不等式表示平面区域。简单的线性规划问题。

　　曲线与方程的概念。由已知条件列出曲线方程。

　　圆的标准方程和一般方程。圆的参数方程。

　　考试要求：

　　(1)理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式。掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。

　　【导读】直线的倾斜角、斜率及直线在坐标轴上的截距是刻画直线位置状态的基本量，应正确理解；直线方程有五种形式，其中点斜式要熟练掌握，这五种形式的方程表示的直线各有适用范围，解题时应注意不要丢解；含参数的直线方程问题用数形结合法常常简捷些。

　　1.注意斜率和倾斜角的区别，了解斜率的图象。

　　2.直线方程的点斜式、两点式、斜截式、截距式等都是直线方程的特殊形式，其中点斜式是最基本的，其他形式的方程皆可由它推导。直线方程的特殊形式都具有明显的几何意义，但又都有一些特定的限制条件，因此应用时要注意它们各自适用的范围，以避免漏解。

　　3.如何建立平面坐标系内满足一定条件的直线的方程是本节的主要问题；通用的解决方法是待定系数法；根据所知条件选择恰当的直线方程的形式是解题的关键；克服各类方程局限性的手段是分类讨论；开阔思路分析问题的措施是数形结合。

　　使用直线方程要注意方程的限制条件：例如点斜式和斜截式要求斜率存在；截距式不适用于过原点的直线；两点式要求直线既不与x轴垂直，也不与y 轴垂直。

　　注意合理选用直线方程的五种形式. 一般地，已知直线过一点，可选用点斜式，但要注意斜率是否存在；若知直线的斜率或倾斜角，选用斜截式；若知截距相等或截距的比是常数或与坐标轴围成三角形等问题，可选用截距式，但应注意截距为0的情况。

　　确定直线方程的常用方法有①直接法：直接利用方程恰当的形式写方程；②待定系数法：先写出要求方程的形式，再用有关条件确定系数。

　　确定一条直线主要有两个基本要素：①一个定点和斜率(或倾斜角)；②两个定点(或直线在两坐标轴上的截距).

　　考查直线方程几种形式的求解，本质是确定方程中的两个独立系数(一点和斜率：在x轴上的截距和斜率、两点、在两坐标轴上的截距).

　　坐标法即用代数运算的方法解解析几何问题是解析几何问题的基本思想方法. 要理解直线方程五种形式的合理应用及应用的局限性。

　　【试题举例】

　　直线4x＋y－1＝0的倾斜角θ＝　　　　.

　　【答案】π－arctan4

　　【解析】tanθ＝－4，∴θ∈(π/2，π)⇒θ＝π－arctan4.

　　(2)掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式。能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。

　　【导读】1.要认清直线平行、垂直的充要条件，应特别注意对x、y的系数中一个为零的情况的讨论。

　　2.在运用一条直线到另一条直线的角的公式时要注意无斜率的情况及两条直线垂直的情况。

　　3.点到直线的距离公式是一个基本公式，它涉及绝对值、直线垂直、最小值等内容。

　　4.两条直线的位置关系的有关内容是本章学习的重点，在整个解析几何的学习中占有重要地位。这部分内容是用代数方法研究几何图形的具体应用。

　　5.在判断两直线的位置关系时，也可利用直线方程的一般式，由系数间的关系直接作出结论，设l₁：A₁x＋B₁y＋C₁＝0，l₂：A₂x＋B₂y＋C₂＝0.

　　(1)l₁∥l₂⇐A1/A2＝B1/B2≠C1/C2

　　⇔{A1B2=A2B1,A1C2≠A2C1}

　　(2)l₁与l₂相交⇐A1/A2≠B1/B2

　　⇔A₁B₂≠A₂B₁.

　　(3)l₁与l₂重合⇐A1/A2＝B1/B2＝C1/C2

　　⇔{A1B2=A2B1,A1C2=A2C1}

　　(4)l₁⊥l₂⇔A₁A₂＋B₁B₂＝0.

　　6.若知点P(x₀，y₀)和直线l： x＝x₁， 则点P到直线l的距离d＝|x₁－x₀ ；若知点P(x₀，y₀)和直线l： y＝y₁， 则点P到直线l的距离d＝|y₁－y₀ .两平行直线间的距离也可利用点到直线的距离来求解。求解一点到直线的距离问题时，直线方程要化成一般式. 研究点关于直线的对称问题的关键是：直线是点与其对称点的线段的垂直平分线。

　　7.要注意特殊直线对公式的制约作用. 求两直线的夹角或直线到另一直线的倒角，或利用夹角(或倒角)求参数，主要依据夹角公式。若斜率不存在，可考虑用数形结合来求。

　　求解与两直线平行或垂直有关的问题时，主要利用两直线平行或垂直的充要条件，即“斜率相等”或“互为负倒数”. 若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究。

　　直线的平行关系的图形分析往往具有一定的直观性，其代数特征是两条直线的斜率相等，但应用斜率公式时也要注意平行于y轴的直线的限制性。

　　【试题举例】

　　已知l₁：2x＋my＋1＝0与l₂：y＝3x－1，若两直线平行，则m的值为 　　　　.

　　【答案】－2/3

　　【解析】 2/3＝m/-1≠1/-1⇒m＝－2/3

　　(3)了解二元一次不等式表示平面区域。

　　【导读】主要考查根据直线方程、二元一次不等式所画平面区域的准确性，可能以选择题或填空题的形式出现。一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0表示在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域。通常我们取一个特殊点(x₀，y₀)考察Ax₀＋By₀＋C的正负判断应取直线哪一侧。特殊地，C≠0时，常把原点作为此特殊点。所谓“＞在右侧，＜在左侧”即Ax＋By＋C>0(A>0)，不等号为大于号(>)时所表示的平面区域在直线Ax＋By＋C＝0的右侧， Ax＋By＋C<0(A>0)，不等号为小于号(<)时所表示的平面区域在直线Ax＋By＋C＝0的左侧。

　　【试题举例】

　　下面给出的四个点中，到直线x－y＋1＝0的距离为√2/2，且位于{x+y-1<0,x-y+1>0} 表示的平面区域内的点是(　　)

　　A.(1,1)  B.(－1,1)  C.(－1，－1)  D.(1，－1)

　　【答案】C

　　【解析】给出的四个点中，到直线x－y＋1＝0的距离都为√2/2，位于{x+y-1<0,x-y+1>0} 表示的平面区域内的点是(－1，－1)，∵{-1-1-1<0,-1-(-1)+1>0} ，选C.

　　(4)了解线性规划的意义，并会简单的应用。

　　【导读】线性规划的意义不仅仅是利用于简单的线性关系的求最值问题，命题者将之与解析几何中的点坐标相互交汇而编制出很多精彩的考题. 主要考查线性目标函数在线性约束条件下的最大、最小值问题. 主要以选择题或填空题的形式出现. 解决线性规划应用题的一般步骤：①设出变量，找出线性约束条件和线性目标函数；②准确作图；③求出最优解。

　　线性规划问题中的可行域，实际上是二元一次不等式(组)表示的平面区域，是解决线性规划问题的基础，因为在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)实数Ax＋By＋C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x₀，y₀)〔若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便〕，把它的坐标代入Ax＋By＋C＝0，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(或＜0)表示直线的哪一侧。这是教材介绍的方法。

　　在求线性目标函数z＝ax＋by的最大值或最小值时，设ax＋by＝t，则此直线往右(或左)平移时，t值随之增大(或减小)，要会在可行域中确定最优解。

　　解线性规划应用题步骤：(1)设出决策变量，找出线性约束条件和线性目标函数；(2)利用图象在线性约束条件下找出决策变量，使线性目标函数达到最大(或最小).

　　简单的线性规划在实际生产生活中应用非常广泛，主要解决的问题是：在资源的限制下，如何使用资源来完成最多的生产任务；或是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的资源来完成。如常见的任务安排问题、配料问题、下料问题、布局问题、库存问题，通常解法是将实际问题转化为数学模型，归结为线性规划，使用图解法解决。

　　图解法解决线性规划问题时，根据约束条件画出可行域是关键的一步。一般地，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的非封闭平面区域。第二是画好线性目标函数对应的平行直线系，特别是其斜率与可行域边界直线斜率的大小关系要判断准确。通常最优解在可行域的顶点(即边界线的交点)处取得，但最优整数解不一定是顶点坐标的近似值。它应是目标函数所对应的直线平移进入可行域最先或最后经过的那一整点的坐标。

　　【试题举例】

　　如果点P在平面区域{2x－y＋2≥0,x＋y－2≤0,2y－1≥0} 上，点Q在曲线x²＋(y＋2)²＝1上，那么|PQ 的最小值为(　　)

　　A.3/2  B.4/√5－1  C.2√2－1  D.√2－1

　　【答案】A
 

　　【解析】点P在平面区域{2x－y＋2≥0,x＋y－2≤0,2y－1≥0} 上，画出可行域，点Q在曲线x²＋(y＋2)²＝1上，那么|PQ 的最小值为圆上的点到直线y＝1/2的距离，即圆心(0，－2)到直线y＝1/2的距离减去半径1，得3/2，选A.

Ⅳ.考试形式与试卷结构

　　考试采用闭卷、笔试形式。全卷满分为150分，考试时间为120分钟。

　　全试卷包括Ⅰ卷和Ⅱ卷.Ⅰ卷为选择题；Ⅱ卷为非选择题。

　　试卷一般包括选择题、填空题和解答题等题型。选择题是四选一型的单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不必写出计算过程或推证过程；解答题包括计算题、证明题和应用题等，解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程。

　　试卷应由容易题、中等难度题和难题组成，总体难度要适当，并以中等难度题为主。

　　【导读】1.用好前五分钟。首先在规定的时间内先在指定的地方写好自己的考点、考场、考号和姓名，然后快速阅览试卷一遍，清点试卷页码是否相符，看看试卷有无缺损和漏印、重印、字迹不清等，如发现问题，则迅速报告监考老师处理，同时初步了解试题的难易程度。

　　2.先易后难。通常按试卷题号依次解答，选择题最后一题，填空题最后一题一般较难，如果每题已经花了5～6分钟还不能解决，zui.好先跳过，可以采用先暂时凭直觉猜一个答案，把整卷能够解决的题目解决完以后，再回头解决这两道题目。选择填空用50分钟，每道选择填空题在2分钟内解决。前四道解答题用45分钟，剩下的25分钟用来解决后两道解答题和检验前面所做过的题目。

　　3.千万不能随便放弃，即使是最后一题，它的第一小题，甚至第二小题也可能是中档题，最难可能只出现在第三小题，因此我们在解题中要留时间给最后一题的1,2小题。

　　4.如果平均每题所花的时间都略有超时，那只要保证选择填空和解答题的前三题尽量不失分，后面的解答题可根据分步得分的原则尽量拿分即可，要学会“舍得”.

附　2009年与2008年考纲差异

　　【导读】2009年的大纲与2008年的大纲内容基本一致。

　　第三章　知识大盘点　第三章　知识大盘点

　　高考数学知识网络图

　　1.集合与简易逻辑

　　2.函数
 

　　3.数列
 

　　4.三角函数

　　(1)三角函数的图象和性质
 

　　(2)反三角函数与最简三角方程

　　反正弦　|x ≤1，arcsinx∈[－π/2，π/2]，sin(arcsinx)＝x，

　　反余弦　|x ≤1，arccosx∈[0，π]，cos(arccosx)＝x.

　　反正切　x∈R，arctanx∈(－π/2，π/2)，tan(arctanx)＝x.

　　方程　sinx＝a，|a ≤1，则　x＝2kπ＋arcsina，或x＝2kπ＋π－arcsina，(k∈Z)

　　方程　cosx＝a，|a ≤1，则　x＝2kπ±arccosx，(k∈Z)

　　方程　tanx＝a，a∈R，则　x＝kπ＋arctana，(k∈Z)

　　(3)加法定理与解斜三角形

　　(4)斜三角形的边角关系与面积

　　5.向量

　　6.直线和圆

点P₀(x₀，y₀)到直线Ax＋By＋C＝0(A²＋B²≠0)的距离：

d＝|Ax0＋By0＋C/√A*A+B*B

　　两直线的交角：

　　l₁到l₂所成的角φ(l₁、l₂的斜率分别为k₁、k₂)，tanφ＝k2-k1/1+k1k2

　　l₁到l₂的夹角(不大于直角)φ₀，tanφ₀＝|k2-k1/1+k1k2

 　  第四章　应试答题技巧

　　最易导致心理紧张、焦虑和恐惧的是入场后与答卷前的“临战”阶段，此时保持心态平衡是非常重要的。刚拿到试卷，一般心情比较紧张，不忙匆匆作答，可先通览全卷，尽量从卷面上获取最多的信息，为实施正确的解题策略作全面调查，一般可在10分钟之内做完下面三件事。

　　1.解答那些一眼看得出结论的简单选择或填空题(一旦解出，情绪会立即稳定).

　　2.其他不能立即作答的题目，可一边通览，一边粗略分为A、B两类：A类指题型比较熟悉、预计上手比较容易的题目；B类是题型比较陌生、自我感觉比较困难的题目。

　　3.做到三个心中有数：对全卷一共有几道大小题有数，防止漏做题，对每道题各占几分心中有数，大致区分一下哪些属于代数题，哪些属于三角题，哪些属于综合型的题。

　　通览全卷是克服“前面难题做不出，后面易题没时间做”的有效措施，也从根本上防止了“漏做题”.对于同一道题目，有的人理解的深，有的人理解的浅，有的人解决的多，有的人解决的少。为了区分这种情况，高考的阅卷评分办法是懂多少知识就给多少分。这种方法我们叫它“分段评分”，或者“踩点给分”——踩上知识点就得分，踩得多就多得分。

　　“分段得分”的基本精神是，会做的题目力求不失分，部分理解的题目力争多得分。

　　1.对于会做的题目，要解决“会而不对，对而不全”这个老大难问题。有的考生拿到题目，明明会做，但最终答案却是错的——会而不对。有的考生答案虽然对，但中间有逻辑缺陷或概念错误，或缺少关键步骤——对而不全。因此，会做的题目要特别注意表达的准确、考虑的周密、书写的规范、语言的科学，防止被“分段扣点分”.经验表明，对于考生会做的题目，阅卷老师则更注意找其中的合理成分，分段给点分，所以“做不出来的题目得一二分易，做得出来的题目得满分难”.

　　2.对绝大多数考生来说，更为重要的是如何从拿不下来的题目中分段得点分。我们说，有什么样的解题策略，就有什么样的得分策略。把你解题的真实过程原原本本写出来，就是“分段得分”的全部秘密。

　　(1)缺步解答。如果遇到一个很困难的问题，确实啃不动，一个聪明的解题策略是，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步，尚未成功不等于失败。特别是那些解题层次明显的题目，或者是已经程序化了的方法，每一步得分点的演算都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半，这叫“大题拿小分”.

　　(2)跳步答题。解题过程卡在某一过渡环节上是常见的。这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论。如果不能，说明这个途径不对，立即改变方向；如果能得出预期结论，就回过头来，集中力量攻克这一“卡壳处”.由于考试时间的限制，“卡壳处”的攻克如果来不及了，就可以把前面的写下来，再写出“证实某步之后，继续有……”一直做到底。也许，后来中间步骤又想出来，这时不要乱七八糟插上去，可补在后面。若题目有两问，第一问想不出来，可把第一问作“已知”，“先做第二问”，这也是跳步解答。

　　(3)退步解答.“以退求进”是一个重要的解题策略。如果不能解决所提出的问题，那么，你可以从一般退到特殊，从抽象退到具体，从复杂退到简单，从整体退到部分，从较强的结论退到较弱的结论。总之，退到一个你能够解决的问题。为了不产生“以偏概全”的误解，应开门见山写上“本题分几种情况”.这样，还会为寻找正确的、一般性的解法提供有意义的启发。

　　(4)辅助解答。一道题目的完整解答，既有主要的实质性的步骤，也有次要的辅助性的步骤。实质性的步骤未找到之前，找辅助性的步骤是明智之举。如：准确作图，把题目中的条件翻译成数学表达式，设应用题的未知数等。

　　答卷中要做到稳扎稳打，字字有据，步步准确，尽量一次成功，提高成功率。试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，所写字母与题中图形上的是否一致，格式是否规范，尤其是要审查字母、符号是否抄错，在确信万无一失后方可交卷。

　　第五章　考前状态调整　第五章　考前状态调整

　　第一节　调整心态，突破“心理围城”

　　一、考试一半是靠心态

　　一年一度的高考，对广大考生是一次极其严峻的考验。它不仅是对考生的知识、智力、技能的考查，也是对考生情感、意志、体力的挑战。无论心理学的研究，还是高考的实践都表明，考生的应考心理如何，临场发挥的好坏，在很大程度上影响着高考的结果。中科院心理研究所王极盛教授对20个影响高考成功因素的研究结果表明，考试中心态排第1位。

　　1.不良应考心理的外部表现

　　“应考心理”作为一种心理现象，多数时候主要反映在思维活动中，但有时会在人的言行、神态中表现出来。比如在考试前感到紧张不安、焦虑失眠，学习效率下降，甚至食欲不振，精神体力都有极度疲惫的感觉；在考试中有人心情激动，难以平静，不能很快进入角色；有人碰到一些问题就惊慌失措、悲观失望，甚至想退场；有人感到头昏目眩，心慌烦躁，身心不适等等。这一切其实都是不良应考心理的外部表现。有一些医学工作者称这种现象叫考试综合症。据最近几年的实际观察，有以上这些现象的考生不是少数，而占到相当的比例。现代科学研究证明：适度的压力，适当的紧张，可以提高人的工作和学习效率，无论是对人的身体健康，还是对人的心理锻炼都有益处。但是，如果压力过大，长期精神紧张，就会出现适得其反的效果，情绪不安、焦虑紧张、悲观失望等不良心理现象会直接影响到考生的临场发挥。

　　2.应考心理对临场发挥的影响

　　应考心理与临场发挥之间的关系是紧密联系不可分割的。应考心理的好坏，在相当程度上影响到临场发挥的好坏。应考心理越好的考生，一般来说，临场发挥就越好。反之，则越差。经常有这种现象：有的考生平时成绩并不怎么好，甚至较差，但是高考中却发挥得相当出色，甚至超水平发挥；而有的考生平时成绩还不差，但考试结果却令人失望。这样的例子比比皆是。究其原因，很重要的一个方面还是应考心理在作怪。可以这样说：应考心理与临场发挥之间存在着因果关系，“临场发挥”是对“应考心理”的zui.好检验。

　　3.树立正确的考试观

　　应该教育考生，使他们认识到：高考固然是一条成功之路，但并不是“wei/yi”的成功之路。金榜题名诚然可喜，但“榜上无名”也未必就是穷途末路。当今社会，正处在改革发展的时代，需要各方面人才。只要树立了远大的志向，正确的理想，并为之奋斗，就一定能有所作为。考生应树立正确的考试观，排除一切不利因素的干扰，正确对待高考。

　　有一点非常重要，就是考生一定不能迷信，有的考生考前看到了乌鸦，就觉得自己完了，看到喜鹊则认定对自己是个好兆头。还有许多考生考前爱扔硬币来判定自己的成功几率。这些都是要不得的，只会扰乱你的情绪，打击你的自信。

　　二、考试情绪的自我调适

　　考生当听到入场铃声时，难免心理紧张，特别是第一天的第一科考试。所以提前准备很关键，首先是物质准备，而心理准备更为重要。考生一迈入考场，可能会出现突如其来的紧张。考前的知识储备和身心调适越充分，这种紧张发生的可能性越小。

　　如果在考场上已经出现这种状况，这时再去懊悔是没有益处的，只能积极地采用一些调控措施消除这些情况带来的影响。

　　1.突然慌乱

　　有时，考生可能因为在作答时遇到了难题，或是遇到钢笔坏了之类的意外情况，或是冷不防从脑海里迸出“我要失败了”等消极的想法，便突然慌乱起来。这种情况发生后，可采取以下几种方法：第一种方法是放松，一旦出现突然慌乱的最初征兆，zui.好暂停作答，闭合双眼，轻轻地对自己说“放松”，重复六次，并注意体验全身松弛的感觉；也可以全身高度绷紧十秒钟，然后突然放松。第二种方法是深呼吸，在突然慌乱时，呼吸会变得急促，这时应该有意调节呼吸，在吸气时绵长、缓慢、深沉，呼气时也这样。第三个办法是中断思路，一旦产生容易引起慌乱的想法，可以果断地对自己说“停”，同时握紧一下拳头，这样能中断原来的思路。当自觉情况好转后，应迅速转入正常考试状态。

　　2.瓶颈效应

　　瓶颈效应是指在考试过程中，心里觉得似乎容易解决而一时又解决不了的心理现象。这时考生答题一会儿感到似乎已经茅塞顿开，一会儿又觉得毫无办法，欲行不能，欲罢不忍，时间不知不觉溜过去了。瓶颈效应常伴随突然慌乱发生，并加剧慌乱程度。遇到这种情况时，首先要保持镇静，注意放松，调整呼吸；然后，通过情境、结构联想，回忆与该问题有关的内容，发掘出有用的材料和线索。另外，还可以暂时放下当前的题目，先做别的题，过会儿再回头思考，说不定会从其他题目中得到启发而豁然开朗呢！

　　3.身体疲劳

　　高考时，连续数小时处于注意力高度集中、思想持续活跃、书写量较大的状态中，考生很容易产生身体疲劳现象。在高考前，考生要注意保证充足的睡眠、适度的锻炼和良好的营养，从而为高考储备足够的精力。在考试当中，要不时给自己一些调整状态的短暂间歇，伸展四肢和腰背，活动手腕和头颈，摇摇手指关节，这样，才不至于过分紧张或疲劳，维持良好的机能状态。有些考生在考试过程中感到手指非常紧张，严重时感到握笔和写字非常困难，这是手部疲劳的一种表现。出现这种情况时，先放下笔，活动活动手腕，手臂自然下垂轻轻地摇一摇；也可以双手交叉按压指关节，双手举至面部自上而下做干洗脸五至六次，手便会放松许多。

　　4.作弊冲突

　　高考，要求严格、组织严密，与每个考生的前途有着重大关系。由于社会不正之风的影响，以及个人准备不充分、成功欲望过强、道德水准较低等原因，有的考生在高考中还可能陷于作弊冲突之中。作弊是与社会道德相背离、与科学精神相对立、与考试规则相冲突的，应该坚决抵制。然而，高考关系重大，一分之差可能引起天壤之别，所以有些考生在高考中偶尔会萌发作弊念头。有了这种念头的考生应立即设法排除，以免影响考试。对于那些试图把意向变成行动的考生朋友，不要冒险做那些会令你窘迫，甚至断送你前程的傻事，因为监考老师和考场纪律都是严格无私的。

　　第二节　考前一周整装待发

　　一、决战前的部署至关重要

　　1.一般来说，高考前几天复习，总的原则是回归教材，通过知识网络，把查漏补缺、解决前面复习中出现的问题放在第一位。没必要也不可能再把每一科详细地复习一遍。因此，最后七天的复习更应收缩到教材上来。通过看书上的目录、标题、重点等，一科一科地进行回忆，发现生疏的地方，及时重点补习一下，已经熟练掌握了的内容，可以一带而过。还可以看自己整理的提纲、图表、考卷，重温重要的公式、定理等。这七天的复习，就像运动员在比赛前的准备活动或适应性练习一样。通过这七天的收缩复习、强化记忆，可以进一步为高考打下坚实的知识基础。心理学界有一个普遍的共识，早起后半小时和晚睡前半小时，这两段时间是zui.佳的记忆时间，所以，这一个小时要充分利用。

　　2.进入全真模拟状态。全真模拟复习要与高考时间程序表一致，这样才能在高考的那天，顺利进入状态。每天做一套卷子，这样在几天后真正拿到高考试卷时不会感到手生，能尽快找到感觉。

　　3.要保持自己平时学习和生活的节奏，适当减小复习密度和难度，可以得到“退一步，进两步”的效果。保持大脑皮层的中度兴奋(既不过分放松也不过分紧张)，要避免和他人进行无谓的辩论和争吵。可以适当地看电视、听音乐、做自己喜欢的事，不过zui.好别玩电脑，因为电脑游戏、网络容易令人沉迷。这样，就能在考试前夕，创造一个良好的心境。

　　4.高质量的睡眠永远是最有效的休息方式。考前有的考生可能会因兴奋而失眠。所以，睡前不应喝咖啡、茶之类的刺激性饮料，也不应看紧张、扣人心弦的故事片。到了正常睡觉时间或是稍早一点(大可不必早早上床等着入睡)，躺到床上，全身放松，争取迅速入睡。若一时睡不着，千万不能着急，不要责备自己或胡思乱想，只管保持平和心情，采取重复放松技术。其实只要全身非常放松，大脑不兴奋，完全可以获得身心的休息。

　　“猫头鹰”式的考生如何应付上午的考试？有些考生习惯于夜间用功学习，夜越深精力越好；还有些考生为争取时间，拼命熬夜，以致养成习惯。这两种情况，都会使考生在白天，特别是上午精力不佳，但考试又都是在白天进行。为了解决这一矛盾，必须事先进行人体生物钟调整，逐步改变生活习惯，以适应考试的时间安排。调整生物钟，从临考前两周就要开始矫正作息时间，坚持晚上9点30分睡觉，早晨6点起床。开始时可能怎么也睡不着，不过没关系，睡不着就看书，但第二天早6点一定要起床。因为头天晚间没睡好，起床后昏昏沉沉。这时一定不可赖在床上，可以到附近公园、街道上跑跑步，边跑边背些单词。几天过后，就会慢慢适应早睡早起的习惯了。考前一周应按考试时间安排作息，早6点起床、运动、吃饭，8点钟准时开始复习，中间休息20分钟。zui.好按考试科目时间复习。这样经过一段适应训练，临场考试就不会有异常感觉了。

　　5.在高考前一两天，考生应该熟悉考场。在通常情况下，一个学校的考生可能要到另一个学校去考试，所以，熟悉考场尤为重要。所要熟悉的内容有：所在考场离居住地点有多远；用什么方式抵达比较迅速和安全；在路上要花多少时间；自己在哪个教室；坐哪个座位；座位是靠近门窗还是贴近墙角；教室是向阳还是背阳；厕所及其他服务设施在哪儿；附近有无可以休息和饮食的地方，这些问题在准备时都应该弄清楚。否则，临到考试时由于没有准备，一些意外情况可能会让你陷入混乱和迷茫，影响注意力和思维的灵活性。譬如出发过晚，气喘吁吁地赶到考场再匆匆忙忙找自己的座位，这样会影响情绪，耽误做题时间；如果开始考试时才发现窗户透进的阳光直射你的座位，这时抱怨着急只会起消极作用。还有在教室门口附近就座的考生，易受到巡视员进出的影响。若对这些事情早有准备的话，就能把这些所引起的心理冲击减小到最低程度。熟悉考场，早作准备，会给考生带来信心和安全感。

　　二、必要的物质准备是高考成功的先决条件

　　1.备齐考试用品。考试前一两天，要仔细检查一下高考时必备的文化用品(如手表、钢笔、三角板、圆规、铅笔、橡皮等)，如果用品不齐或有故障，一定要及时解决。高考的前一天晚上，临睡前要将包括准考证在内的所有必备品装在一个袋子里(zui.好是厚而透明的小塑料袋)，放在容易看到的地方。每次考试出发前，一定要检查一下。这些看起来是小事，但小事弄不好，有时也会误大事。如每年高考都会有人忘记带准考证，从而无法进入考场，延误了考试时间，平添一番烦恼；有时，手表未及时更换电池，在考试中途手表停了，很长时间自己也未发现，造成考生不能合理地分配答题时间；还有的考生，只带了一支钢笔，答卷不久，钢笔又不下水了，也十分狼狈…….总之，高考也应像打仗一样，要“兵马未动，粮草先行”，不打无准备之仗。

　　2.注意养精蓄锐。考生经过高中三年的学习，特别是最后的复习，目的就是迎接高考，接受国家的考核和选拔，可谓“养兵千日，用在一时”.所以，考前要注意“养精蓄锐”，注意饮食起居，预防突发感冒、腹泻等疾病，多补充一些优质蛋白质食品，如鸡蛋、瘦肉、肝、牛奶和豆制品等，多吃蔬菜和水果。这些食品营养丰富，有助于增强体力和记忆力。为了防止意外情况发生，考试前几天不要参加较为激烈、体能消耗过大的文体活动，同时不要到离家太远的地方。适当的放松和休息应是考前一周的主旋律。

　　3.女生在高考前应充分估计，高考那几天是否是月经期。如果是，应和家长、医生商量一个妥帖的处理方法。尤其是平时月经期身体不适，有痛经或其他不良反应的考生更应该考虑周到一些，以免到时手足无措，影响考试。

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