学生的数学成绩，从什么时候开始分层的?
昨天在一个小群里，有两位老师发生了激烈争执。
争执的问题很简单，关于数学成绩分层的事。你肯定也发现了，明明小学数学成绩都挺好甚至基本满分的两个学生，上初中后往往会出现成绩差距逐渐拉大的现象，这种现象被称为分层。
A老师说成绩的分层主要出现在七年级下学期，B老师说主要出现在初二。这两位老师都是经验丰富的老师，都有十多年教龄。就在双方争执不下的时候，有另一位老师突然插了一句：会不会是你们的教材不一样，讲课次序也不一样?
最后大家一核对，原来是闹了个大乌龙。A老师用的是北师大的数学教材，调整教学次序后，他们学校把几何放在初一下学期集中开始;B老师用的是人教社的数学教材，同样也调整了教学次序，他们学校把几何放在初二上学期重点讲授。
导致分层的原因其实相同，那就是几何。
在大多数人的固有印象中，初二新增了物理课，更容易导致学生时间紧张，从而出现成绩分层。这当然是对的，时间紧张会造成一部分不善于利用点滴时间的学生成绩落后。
单单就数学这门学科而言，平面几何是导致成绩分层的罪魁祸首。原因很简单，因为初等数学到了平面几何后，画风突然大变。
在平面几何之前的小初中数学，主要侧重于计算;到了平面几何，主要侧重于证明。计算强调会应用不出错，证明强调每一步都有理有据，这是两种完全不同的风格，把∵∴写得很清楚，对大部分孩子来说都是一个难点。再加上平面几何中有许多辅助线要画，凭空构造这种事，对没有深度思考能力不足的孩子来说，简直难于登天。
顺便说一句，有许多人都觉得平面几何没用，因为这门学科中的所有结论都可以用建立坐标系或者向量结合三角函数的方法推导出来。这种观点当然没错，但你不能因为这个就不学好平面几何。原因有三个方面：一是中考需要，在中考题里，平面几何题基本是三分天下有其一，几何学不好，中考好不了;二是对高考有帮助，高考中的立体几何，经常需要用到平面几何的知识;三是培养逻辑思维能力需要，咱们的教育中没有逻辑学，要补上这个短板，平面几何是个很大的助力。
问题的关键来了，怎么才能学好平面几何?我的建议是两条：
一是系统性的深度提前学。注意啊，这句话里有三个关键词，系统性、深度和提前学。提前学好理解，尽量在学校开课前自己先学一遍;深度代表的是不能水过地皮湿，要在提前学的时候就直接到达中高考难度;系统性指的是把初中几何的所有知识点放在一起贯穿学。
注意，提前学不要采用现行教材。一方面是因为现行教材采用的是螺旋式的编排方式，前一章还在讲代数，后一章就跳到了几何，再后一章又跳到了概率，不是系统学;另一方面是现行教材现行教材非常强调探究式学习，很多东西都是提示性地点一点，不直接给出结论，要学生自己研究。这种方式听起来很好，对天才型牛娃来说也是好事，但对普娃自学来说是一场灾难，因为教材讲不透，普娃很难只靠自学全部掌握。至于牛娃，人家被苹果砸一下都能悟出个万有引力，普娃根本学不来。
提前学的时候，最好选用上世纪八九十年代老教材的几何分册，学完知识点并完成课后习题，然后搭配现在的教辅书，一步到位把几何学到中考难度。
二是多琢磨。学几何经常要用到辅助线，这是大难点。学会做辅助线的关键是琢磨，从结论反推，看看图形为什么要这么做辅助线，是为了形成什么样的完整图形。
平面几何中的难题，往往是把几个知识点集中，形成一个复杂的图形，然后去掉几条关键的线，让学生去做辅助线解决。
要学会做辅助线，得靠自己多总结。碰见不会的难题时，先让孩子琢磨半小时，如果还是不会做，再看答案。对答案不能看过就算了，必须合上答案再让孩子重新写一遍过程。此后定期把那些不会的题目拿出来翻一翻，时间久了，也就能总结出一些作辅助线的规律。
需要注意的是，不要一上来就背诵各种作辅助线规律，别人总结的套路再好，自己在实战中也很难应用。要等到自己总结差不多的时候，再借鉴别人总结的辅助线规律和口诀。
不要担心提前学了几何之后，孩子上课会不听。对平面几何，大部分孩子都不可能一遍掌握。多学一遍，掌握才能更深入。
都看到这里了，点个赞再走吧。下面进入数学时间，今天总结一下昨天思考题的几种解法，解题所用知识不超过初中二年级。题目只针对竞赛生，不打算参加竞赛的学生请忽略本题。
思考题(弱4星难度)：
正整数m使(m+2)(m-1)是一个完全平方数，问满足条件的m有多少个?
这道题本身不难，但却特别适合练习一题多解，而且是完全不同的解题思路，是一道难得的好题。
解法一：用两边夹的方法。因为(m+2)(m-1)=m2+m-2,只可能等于0或(m-1)2或者m2,所以m只能是1或者2。
解法二：假设(m+2)(m-1)=n2,把这个式子看成关于m的一元二次方程，当它有整数解时，用求根公式求解。
解法三：用配方法， (m+2)(m-1)=(m+1/2)2-9/4,然后两边乘以4，然后求解。
解法四：把m+2和m-1分解因数，公因数只可能是1或3，根据这个再讨论就得到m只能是2或1;
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文章来源于每天3道奥数题 ，作者九章学徒
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