高一春季数学不学数列？改学向量复数？导数什么时候学？

　　家长和学生们最为关心的，就是新教材的变动会对春季学期的学习造成哪些影响，新教材难不难?我们先来看一下旧版教材是怎样安排的：以往春季学期学生们要学习2本书(一本三角、一本数列)，三角和数列是春季学期的核心课程。尤其是数列部分，它是高考数学的压轴大题，最让孩子们头痛。而新教材目前只公布到必修第2册，内容包含了三角、平面向量、复数。如此一来，按照新教材必修2的教学计划授课，相当于将数列这个高考数学重头戏直接从高一下学期删掉，代替为向量和复数。这意味着，春季学期孩子们的数学学习压力将大幅减弱(当然向量压轴题也未必简单)。然而这部分压力将会转嫁到高二学年，届时会对孩子们的学习造成一定压力(想象一下生物地理等级考与物理电路电磁感应、化学平衡等重难点伴随着数学解析几何和数列等巨头扑面而来的感觉......当然了还有新大纲增加的导数...)。

　　PS：提到导数，有许多同学和家长都比较关心，主要关注点在于：导数什么时候学?导数难不难?高考压轴题会不会由数列改为导数?关于这些问题，我们在本文末予以详细解读。那么接下来，让我们一起来细细品味一下新老教材之间的不同吧!

　　1. 三角比与三角函数

　　作为老师，最为关注的自然是新教材知识脉络的调整、知识细节的变动。这一章节的变化不大，主要在于“和差化积公式”和“积化和差公式”的引入(通过例题)。实际上以往的授课实践中，许多学校和老师是会讲这两个公式的，那么现在学生对该公式的掌握和在考试中的运用就更加顺理成章了。

　　另一个变化是旧教材中“反三角函数”和“三角方程”这一节被整体删去。新教材只是在例题中出于求解的需要，对反三角的概念作了一下简单引入，而没有详细地展开讨论，尤其是反三角的定义域和值域没有进行详细而完整的讲解。从这个角度来看，如同人教版教材一样，反三角的知识被弱化掉了。至于三角方程的内容则是完全删掉。

　　2. 平面向量与复数

　　平面向量以往会在高一春末、或者是高二秋初进行讲解。而复数部分则放在高二。鉴于三角、向量、复数三者之间千丝万缕的联系，新教材将它们合并在必修2进行统一讲解，从知识脉络上讲更趋连贯、更加合理。

　　平面向量部分内容基本无变化，只是在正文部分给出定比分点公式之后，继而给出中点公式，又通过例题给出了重心公式。

　　至于平面向量基本定理、共线定理、运算律、数量积、坐标表示、鸡爪定理(例题中)等等知识没有变化。

　　复数部分主要知识点(四则运算、共轭公式、复平面与坐标表示、向量表示、模公式、实系数二次方程)基本无变化，主要变化在于增加了复数的三角形式一节(选讲)，讲解了复数的三角形式、乘除公式、乘方开方公式，作为课外拓展，老师们也可以顺势给学生们讲解欧拉公式等等，为学生大学学习复变函数开开胃口。

　　相比老版教材，新教材给人的最直观感受是：取材丰富、图文并茂、趣味性强，非常有利于学生自主研读。新教材的色泽更鲜艳、图片更精美，除了知识体系的不同之外，新教材每个章节的“探究与实践”与“课后阅读”部分提供了丰富有趣的数学史料、趣闻轶事、物理知识，值得一读。

　　例如，复数这一章的最后(教材P160)为学生介绍了三次方程求根公式和复数的起源，提到了卡尔丹公式，这对目前只掌握了二次方程求根公式的高一学生来讲是比较有吸引力的新知识，从卡尔丹公式中所隐含的复数思想萌芽最终发展成为完善的复数的理论，类似的进程在数学史上还有很多，比如著名的“费马大定理”的300年证明之路极大促进了数论理论的发展，这些素材无疑会增加学生学习数学的趣味性。

　　另外，新教材对数学知识的跨学科应用方面的科普有所加强，这使得学科之间的知识联系变得更为立体。例如，P70和P81“课后阅读”为学生介绍了圆周运动与简谐运动、声音中的三角函数，并提到了高等数学中的傅里叶级数，让学生感受到，数学的三角知识并不是静态的孤立的，而是可以作为一个强有力的工具，在物理学圆周运动、机械振动的规律的刻画和公式的表达上大显身手的。学生对生活中的物理现象的理解得以数学化，能够感受到三角知识在物理中的重要地位与应用，这样既富含趣味性，又能够增强数学物理的学科素养。

　　以上是新旧教材的细节对比(相信老师们会相对关注这些细节)。

　　那么，我们回到本文初学生和家长们最为关心的那个问题：新教材的变动会对春季学期的学习造成哪些影响，新教材难不难?

　　从高考命题难度上来讲，向量、复数相比数列要简单得多，但向量的学习也不可轻视，向量专题(比如数形结合、四心问题等)常常是填选压轴题考察的重点。从整个春季学期来看，学习强度会比学习数列的时候有所降低，但不排除一些学校会为学生们加餐(比如有些学校会利用周中晚自习为学生提前讲解三角、数列、建模、甚至导数等知识，还有一些学校可能选择继续沿用过去的教学计划，在春下补充学习数列)。根据新大纲的标准，数列的学习放在了高二(选修第1册第4章)，会导致高二学习压力增大(需要学习解析几何、数列两大重难点，以及立体几何、计数原理、概率统计等，还有难度和地位尚未可知的导数)，可能会挤压等级考的备考空间。

　　还有些学生和家长们关心的另一个问题是：导数什么时候学习?难易程度如何?重要性如何?导数会不会取代数列成为高考压轴大题?

　　关于这个问题，我们可以横向对比人教版数学和全国卷考纲对导数的考察来寻求借鉴。人教版苏教版数学，导数是放在高二学习的。高考全国卷、江浙卷对导数的考察是以压轴题形式出现(既考压轴大题、又考压轴小题)，“函数与导数”综合题是整张试卷中最难的，地位相当于上海卷的数列。导数知识的系统学习，有利于更加深入和全面地掌握数学的函数部分，对相关学科(物理等)的知识与模型的精准分析提供了更严谨更有力的数学工具，也是大学学习微积分的基础，重要性是毋庸置疑的。根据沪教新版大纲，导数的知识放在了选修第2册第5章进行学习，鉴于沪教版数学大纲对导数的学习一直是不作要求的，高考题型也不考察导数的相关知识，上海卷高考数学命题风格自成体系，预计2023届的高考数学对导数的考察会有一个逐步调整和深入的过程，题目难度和风格应不至于骤变(个人观点)。多年来数列作为高考数学压轴题，无论是试题的素材积累、命题经验、还是题型成熟度，都相对更加完善，考虑到命题的均衡，数列的地位一时难以撼动。至于未来导数是否会取代数列成为压轴大题，个人认为更具可能性的结果是三强鼎立(解几、数列、导数)、轮换压轴。让我们拭目以待!

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