来自北京大学自主招生,一道考察思维的好题

　　家长是孩子zui.好的老师，

　　这是奥数君第1062天给出奥数题讲解。

　　今天的题目是数论问题，

　　来自北京大学2009年自主招生考试，

　　详细讲解后初中1年级学生能听懂。

　　题目(4星难度)：

　　某次考试共有333名学生做对了1000道题。做对3道及以下为不及格，6道及以上

　　为优秀。问不及格和优秀的人数哪个多?

　　辅导方法：

　　将题目写给小朋友，

　　让他自行思考解答，

　　若20分钟仍然没有思路，

　　再由家长进行提示性讲解。

　　讲解思路：

　　这道题属于综合应用题,

　　由于平均值1000/333更靠近3道，

　　故从直觉上就感觉优秀的人不多。

　　解题的方法有很多种，

　　既可以采用极端构造问题的方法，

　　构造极端条件来说明结论;

　　也可以采取不等式的方法严格说明。

　　采用第一种方法时很难说清楚，

　　容易出现表述不清的情况，

　　从而让阅卷人误解产生丢分。

　　今天我们采用不等式的方法解题。

　　假设不及格的人数为x，

　　优秀的人数为y，

　　中间的人数为z。

　　总的解题思路是：

　　先考虑x与y之间的不等式关系，

　　再通过讨论得到x与y之间的大小。

　　步骤1：

　　先思考第一个问题，

　　考虑x与y之间的不等式关系。

　　先考虑总得分，

　　由于优秀的人每人最少答对6道，

　　故优秀的人共答对题目不少于6y道，

　　类似有中间的人共答对题目不少于4z道，

　　而不及格的人共答对题目不少于0道，

　　故6y+4z<=1000,

　　化简即3y+2z<= 500。

　　接着由总人数可得x+y+z=333，

　　即z=333-x-y，代入上面不等式：

　　得到3y+666-2x-2y<= 500，

　　化简得：y+166<= 2x。

　　步骤2：

　　再思考第二个问题，

　　考虑原题目得答案。

　　在步骤1的基础上继续思考，

　　对x与166的大小关系分类讨论：

　　第一种情况，当x大于166时，

　　x最小是167，由于x+y不大于333，

　　故y一定不大于166，

　　这种情况显然有x>y;

　　第二种情况，当x<=166时，

　　步骤1的不等式即y-x <= x-166,

　　此时有x-166 <=0,

　　故y-x <= x-166<= 0,即x >= y。

　　因此对上面两种情况都有x >= y。

　　下面我们将说明x可能等于y：

　　如果有166个人每人做对6道题，

　　且有166个人每人做对0道题，

　　且有1个人做对4道题，

　　则此时x=y。

　　所以不及格的人数不少于优秀的人数。

　　思考题(2星难度)：

　　某次考试共有333名学生做对了1000道题。做对3道及以下为不及格，4道或5道为及格，6道及以上为优秀。问及格的人数和优秀的人数相比哪个多?

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