北京大学自主招生数学题

　　家长是孩子zui.好的老师，

　　这是奥数君第1016天给出奥数题讲解。

　　今天的题目是数论问题，

　　来自2016年北京大学自主招生考试，

　　详细讲解后初中二年级学生可以听懂。

　　除因式分解的内容外，

　　小学5年级学生也可以听懂。

　　题目(单项选择题，4星难度)：

　　已知正整数a,b,c,d满足ab=cd，则a+b+c+d有可能等于( )?

　　A.101 B.301 C.401 D.前三个都不对

　　辅导方法：

　　将题目写给小朋友，

　　让他自行思考解答，

　　若20分钟仍然没有思路，

　　再由家长进行提示性讲解。

　　讲解思路：

　　这道题属于数论问题，

　　如果是不定项选择题，

　　题目难度会很大;

　　现在是单项选择题，

　　就容易处理多了。

　　先讲一个做题的小技巧，

　　对于单项选择题如果没有思路，

　　可以从答案着手分析。

　　原题选项中的101,301,401这3个数，

　　101和401都是质数，

　　只有301不是质数，

　　如果不会做可直接猜测答案为301，

　　严格求解考虑从因式分解的角度着手。

　　总的解题思路是:

　　先考虑是否存在4个正整数m,n,p和q,

　　使mn=c,pq=d,mp=a,nq=b;

　　再考虑对a+b+c+d分解因式，

　　从而确定原题目的答案。

　　步骤1：

　　先思考第一个问题，

　　是否存在4个正整数m,n,p和q,

　　使mn=c,pq=d,mp=a,nq=b?

　　由于ab=cd，

　　故c的质因数一定使ab的质因数，

　　且不是a的因数就是b的因数。

　　对c分解质因数，

　　把其中属于a的所有质因数相乘得到m,

　　把所有属于b的所有质因数相乘得到n。

　　注意相乘过程遵循以下三条：

　　每个质因数只参加一次乘法，

　　如果某个质因数既属于a也属于b,

　　则只把该质因数在a的质因数中相乘;

　　若没有属于a的质因数则令m=1;

　　同样若没有属于b的质因数则令n=1。

　　此时有m整除a,且n整除b。

　　令p=a/m, q=b/n，

　　则pq=ab/(mn)=ab/c=d,

　　显然m,n,p,q就是满足条件的4个数。

　　步骤2：

　　再思考第二个问题，

　　考虑原题目的答案。

　　在步骤1的基础上，

　　把mn=c,pq=d,mp=a,nq=b代入可得：

　　a+b+c+d=mp+nq+mn+pq

　　=(m+q)(n+p),

　　由于m,n,p,q都是正整数，

　　故m+q和n+p都是不小于2的正整数，

　　因此(m+q)(n+p)是合数。

　　在101,301,401这3个数，

　　只有301=7*43是合数，

　　所以原题目的答案是B。

　　思考题(3星难度)：

　　能否找到两个完全平方数a和b,使a+b=103?

　　获得思考题答案方法：

　　关注微信公众号“每天3道奥数题”(tiantianaoshu),

　　微信回复“20191104”可获得思考题答案。

　　注：过4个月之后，关键词回复可能失效。

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