2009年清华大学自主招生数学试题

　　1、(5^0.5+1)/(5^0.5-1)整数部分为A，小数部分为B。求：(1)A、B(2)B+B^2+B^3+……+B^n

　　2、求证：(1)当x+y=1，x^2n+y^2n≥0.5^(2n-1) (2)a,b,c>0,任意将其排序为x,y,z。求证：a/x+b/y+c/z>=3

　　3、问x^2+2px+2q=0,p、q是奇数时是否有有理数根，证明之。

　　4、椭圆x^2/(a^2)+y^2/(b^2)=1,过A(-a，0)做l交椭圆与P交y轴于R，过O做l’平行于l交椭圆于Q。求证：AP、根二倍OQ、AR成等比数列

　　5、写出所有公差是8的三项等差质数列。

　　6、sin t+cos t=1，z=cos t+i sin t(i是虚数单位)，求z^0+z^1+z^2+z^3+……+z^n

　　7、求证：a1,a2,a3,a4……a2n+1各项相等的充要条件是数列‘an’满足条件：从中任取2n项，均可分成各含n项的两组使两组各项之和相等

　　8、四面体ABCD中，AB=CD,AC=BD,AD=BC，求证：(1)其四个面都是锐角三角形(2)若同一面上三个二面角是a,b,c，cosa+cosb+cosc=1

　　9、三位数中任取一数，求：它是5的倍数的概率;它恰有两位数字相等的概率。

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