玉溪一中2014届高三第一次月考理科数学试题答案

发布于：百学网 2013-09-30

玉溪一中高2014届高三第一次月考数学试卷（理科）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合，集合，则等于
（A）（B）（C）（D）
（2）若复数是纯虚数，其中是虚数单位，则实数的值为
（A）（B）（C）      （D）
（3）若，则的值等于
（A）（B）（C）（D）
（4）若曲线与曲线在交点处有公切线，则
　　（A）            （B）           （C）                  （D）
（5）下列命题中，真命题的个数有
①； ②；
③“”是“”的充要条件； ④是奇函数.
（A）1个　（B）2个（C）3个（D）4个
（6）一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的全面积是
（A）（B）
（C）（D）
（7）设双曲线的左、右焦点分别为是双曲线渐近线上的一点，，原点到直线的距离为，则渐近线的斜率为
（A）或（B）或（C）1或（D）或
（8）在中，，，是边的中点，则
　　（A）4           （B）3           （C）2             （D）1
（9）已知函数若关于的方程有且只有两个不同的实根，则实数的取值范围为
（A）（B）（C）（D）
（10）的展开式中的常数项是
　　（A）（B）（C）（D）
（11）数列的首项为1，数列为等比数列且，若，则
（A）20（B）512（C）1013（D）1024
（12）设函数满足且当时，，又函数，则函数在上的零点个数为
　　（A）（B）（C）（D）
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡上.
（13）抛物线与直线所围成的图形的面积为．
（14）从某学习小组10名同学中选出3人参加一项活动，其中甲、乙两人都被选中的概率是．
（15）已知抛物线的焦点为，准线与y轴的交点为为抛物线上的一点，且满足，则的取值范围是．
（16）已知三棱锥的顶点都在球的球面上,且平面,则三棱锥的体积等于．

三．解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（12分）在中，角所对的边分别为，已知，
　　（Ⅰ）求的大小；
　　（Ⅱ）若，求的取值范围.

（18）（12分）某地区因干旱缺水，政府向市民宣传节�加盟⒔泄惴憾�.三个月后，统计部门在一个小区随机抽取了户家庭，分别调查了他们在政府动员前后三个月的月平均用水量（单位：吨），将所得数据分组，画出频率分布直方图（如图所示）
　　（Ⅰ）已知该小区共有居民户，在政府进行节水动员前平均每月用水量是吨，请估计该小区在政府动员后比动员前平均每月节约用水多少吨；
　　（Ⅱ）为了解动员前后市民的节水情况，媒体计划在上述家庭中，从政府动员前月均用水量在范围内的家庭中选出户作为采访对象，其中在内的抽到户，求的分布列和期望.

（19）（12分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，点M是A1B的中点，点N是B1C的中点，连接MN．
　　（Ⅰ）证明：MN//平面ABC；
　　（Ⅱ）若AB=1，AC=AA1=，BC=2，
　　求二面角A—A1C—B的余弦值的大小．

（20）（12分）已知是椭圆的右焦点，圆与轴交于两点，是椭圆与圆的一个交点，且.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）过点与圆相切的直线与的另一交点为，且的面积为，求椭圆的方程.

（21）（12分）设（且）．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若，证明：时，成立．

选考题（本小题满分10分）
　　　请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
（22）选修4-4：坐标系与参数方程
　　在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，得曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）直线： (为参数)过曲线与轴负半轴的交点，求与直线平行且与曲线相切的直线方程.

（23）选修4-5：不等式选讲
已知
（Ⅰ）解不等式：；
（Ⅱ）对任意，不等式成立，求实数的取值范围.

玉溪一中高2014届高三第一次月考数学试卷参考答案（理科）
一、选择题：
1、A2、A3、B4、C       5、C6、A
　7、D8、A       9、A10、C      11、D       12、C
二．填空题： 13. 14、15、16、12
三．解答题：
（17）（12分）解：（Ⅰ）由条件结合正弦定理得，
从而，∵，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
（Ⅱ）法一：由已知：，
　　由余弦定理得：
　　（当且仅当时等号成立）   ∴（，又，
　　∴，从而的取值范围是.．．．．．．．．．．12分
法二：由正弦定理得：.∴，，
.
∵，∴，
即（当且仅当时，等号成立）从而的取值范围是．．．12分（18）（12分）解：（Ⅰ）根据直方图估计该小区在政府动员后平均每户居民的月均用水量为（吨）
于是可估计该小区在政府动员后比动员前平均每月可节约用水
　　（吨）………………………………………6分
（Ⅱ）由动员前的直方图计算得月平均用水量在范围内的家庭有户，在范围内的有户，因此的可能取值有，
，   ，
，，
　　所以的分布列为


　　∴……………………………12分

(19)（12分）（Ⅰ）证明：连接AB1，
　　　∵四边形A1ABB1是矩形，点M是A1B的中点，
　　　∴点M是AB1的中点；∵点N是B1C的中点，
　　　∴MN//AC，∵MN平面ABC，AC平面ABC，
　　　∴MN//平面ABC．…………………6分
（Ⅱ）解：（方法一）如图，作，交于点D，
　由条件可知D是中点，
　　连接BD，∵AB=1，AC=AA1=，BC=2，
　　　∴AB2＋AC2= BC2，∴AB⊥AC，
　　　∵AA1⊥AB，AA1∩AC=A，∴AB⊥平面
∴AB⊥A1C, ∴A1C⊥平面ABD，∴∴为二面角A—A1C—B的平面角，在，，，
在等腰中，为中点，， ∴中，，

中，，
∴二面角A——B的余弦值是…………12分
（方法二）三棱柱为直三棱柱，
　　　∴，，，
　　　， ∴，∴
　　如图，建立空间直角坐标系，
　　则A(0,0,0), B(0,1,0), C(,0,0), A1(0,0,)，
　　如图，可取为平面的法向量，
　　设平面的法向量为，
　　则,，
　　则由又
　　，不妨取m=1，则，
可求得， ……………12分
（20）解：（Ⅰ）由题意，，，，
∵，，得，
　　由，得，
　　即椭圆的离心率………（4分）
（Ⅱ）的离心率，令，，则
　　直线，设
　　由得，
　　又点到直线的距离，
　　的面积，解得
　　故椭圆………（12分）

(21)（12分）解：（Ⅰ）的定义域为，，
　　（1）当时，解得或；解得
　　　所以函数在，上单调递增，在上单调递减；
　　（2）当时，对恒成立，所以函数在上单调递增；
　　（3）当时，解得或；解得
所以函数在，上单调递增，在上单调递减. ……（6分）
（Ⅱ）证明:不等式等价于
　　因为，所以，
　　因此
　　令，则
　　令得：当时，
　　所以在上单调递减，从而. 即，
　　在上单调递减，得:，
　　当时，.. ……（12分）

（22）解：（Ⅰ）曲线的普通方程为：；      ……………… 2分
　　　　由得，
　　　　∴曲线的直角坐标方程为：    ……………… 4分
　　　　(或：曲线的直角坐标方程为： )
（Ⅱ）曲线：与轴负半轴的交点坐标为，
　　　又直线的参数方程为：，∴，得，
　　　即直线的参数方程为：
　　　　得直线的普通方程为：，        …………… 6分
　　　设与直线平行且与曲线相切的直线方程为： ……… 7分
　　　∵曲线是圆心为，半径为的圆，
　　　得，解得或          ……………… 9分
　　　故所求切线方程为：或    …………… 10分
(23) 解：（Ⅰ）不等式为
当时，不等式为，即，此不等式恒成立，故，                              …………… 2分
　　　　　当时，不等式为，得，故，
　　　　　∴原不等式的解集为：                 …………… 4分
　　（Ⅱ）不等式为
　　　　　由于
　　　　　     …………… 7分
　　　　　作出函数的图象如右，
　　　　　当时，，
　　　　　所以对任意，不等式成立，则. …… 10分

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