2013年孝感高三二统数学试题答案【文科】

2013年孝感高三二统数学试题答案

孝感市２０１２—２０１３学年度高中三年级第二次统一考试
数学（文科）参考答案
一、选择题（每小题５分，共５０分）
１?Ｄ　　２?Ａ　　３?Ｃ　　４?Ｃ　　５?Ｂ　　６?Ｄ　　７?Ｄ　　８?Ｂ　　９?Ｄ　　１０?Ｃ
二、填空题（每小题５分，共３５分）
１１?８　　１２?１３　　１３?７２　　１４?７５００　　１５?槡２－１
２ 　　１６?３ｎ２－３ｎ＋１　　１７? ６４
３６１π
三、解答题（共５大题，共６５分）（非参考答案的正确解答酌情给分）
１８．（Ⅰ）由题意得ｍ·ｎ＝（ａ＋ｃ，ｂ－ａ）（ａ－ｃ，ｂ）＝ａ２－ｃ２＋ｂ２－ａｂ＝０，
即ｃ２＝ａ２＋ｂ２－ａｂ． ……（３分）
由余弦定理得ｃｏｓＣ＝ａ２＋ｂ２－ｃ２
２ａｂ ＝１ ２，
∵０＜Ｃ＜π，∴Ｃ＝π
３． ……（６分）
（Ⅱ）∵ ｓ＋ｔ＝（ｃｏｓＡ，２ｃｏｓ２ Ｂ
２－１）＝（ｃｏｓＡ，ｃｏｓＢ）， ……（７分）
∴ ｓ＋ｔ２＝ｃｏｓ２Ａ＋ｃｏｓ２Ｂ＝ｃｏｓ２Ａ＋ｃｏｓ２（２π
３ －Ａ）＝－１２
ｓｉｎ（２Ａ－π
６）＋１．……（９分）
∵ ０＜Ａ＜２π
３，∴ －π
６＜２Ａ－π
６＜７π
６，∴ －１２
＜ｓｉｎ（２Ａ－π
６）≤１．
∴ １２
≤ ｓ＋ｔ２＜５ ４，故槡２
２≤ ｓ＋ｔ＜槡５
２． ……（１２分）
１９．（Ⅰ）∵当ｎ≥２时，ａｎ＝２ａｎ－１＋２ｎ，即ａｎ
２ｎ－ａｎ－１
２ｎ－１＝１，
又ａ１２
＝２．∴数列ａｎ
{２ｎ}是以２为首项，１为公差的等差数列． ……（４分）
∴ａｎ
２ｎ＝２＋（ｎ－１）×１＝ｎ＋１，故ａｎ＝（ｎ＋１）２ｎ． ……（６分）
（Ⅱ）∵ａｎ＝（ｎ＋１）２ｎ，
∴Ｓｎ＝２×２１＋３×２２＋… ＋ｎ×２ｎ－１＋（ｎ＋１）×２ｎ，
　２Ｓｎ＝２×２２＋３×２３＋… ＋ｎ×２ｎ＋（ｎ＋１）×２ｎ＋１，
两式相减得：
－Ｓｎ＝４＋（２２＋２３＋… ＋２ｎ）－（ｎ＋１）×２ｎ＋１＝４＋４（１－２ｎ－１） １－２ －（ｎ＋１）×２ｎ＋１＝－ｎ×２ｎ＋１
∴ Ｓｎ＝ｎ·２ｎ＋１ ……（１２分）
高三数学（文科）答案　第１页

２０．（Ⅰ）连结Ａ１Ｃ１，设Ａ１Ｃ１∩Ｂ１Ｄ１＝Ｏ１，连结ＡＯ１，
∵ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１是正方体，∴Ａ１ＡＣＣ１是平行四边形，
∴ＡＣ瓛Ａ１Ｃ１，又Ｏ１，Ｏ分别是Ａ１Ｃ１，ＡＣ的中点，
∴ＡＯ瓛Ｏ１Ｃ１，∴ＡＯＣ１Ｏ１是平行四边形，
∴Ｃ１Ｏ∥ＡＯ１ ……（４分）
∵ＡＯ１?平面ＡＢ１Ｄ１，Ｃ１Ｏ?平面ＡＢ１Ｄ１∴Ｃ１Ｏ∥平面ＡＢ１Ｄ１． ……（６分）
（Ⅱ）∵ＣＣ１⊥平面Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１，∴ＣＣ１⊥Ｂ１Ｄ１，
又Ａ１Ｃ１⊥Ｂ１Ｄ１，∴Ｂ１Ｄ１⊥平面Ａ１Ｃ１Ｃ，
∴Ａ１Ｃ⊥Ｂ１Ｄ１， ……（１０分）
同理可证Ａ１Ｃ⊥ＡＢ１， ……（１１分）
又Ｂ１Ｄ１∩ＡＢ１＝Ｂ１，
∴Ａ１Ｃ⊥平面ＡＢ１Ｄ１， ……（１３分）
（其它解答酌情给分）
２１．（Ⅰ）∵ ＭＮ ＝２ａ 槡＝２２，∴ａ 槡＝ ２，又∵ ＰＭ 槡＝ ２ ＭＦ，
∴ｅ＝槡２
２，∴ｃ＝１，ｂ２＝ａ２－ｃ２＝１，
∴椭圆的标准方程为ｘ２２
＋ｙ２＝１ ……（６分）
（Ⅱ）由题知：Ｆ（－１，０），Ｐ（－２，０），ｌＡＢ：ｙ＝槡６
６（ｘ＋２），Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），
由
ｘ２２
＋ｙ２＝１
ｙ＝槡６
６（ｘ＋２ { ）
　　消ｙ得：２ｘ２＋２ｘ－１＝０， ……（９分）
∴ ＡＢ ＝ １＋ 槡
１６
（ｘ１＋ｘ２）２ 槡－４ｘ１ｘ２＝槡１４
２ ．
点Ｆ到直线ＡＢ的距离：ｄ＝
槡
１７， ……（１２分）
∴Ｓ△ＡＢＦ＝１２
×槡１４
２ ×
槡
１７＝槡２
４，即三角形ＡＢＦ面积为槡２
４． ……（１４分）
２２．（Ⅰ）由ｆ（ｘ）＝－ｘ３＋ｘ２＋ｂ，得ｆ′（ｘ）＝－３ｘ２＋２ｘ＝－ｘ（３ｘ－２），
令ｆ′（ｘ）＝０，得ｘ＝０或２３
．
当ｘ变化时，ｆ′（ｘ）及ｆ（ｘ）的变化如下表：
高三数学（文科）答案　第２页

ｘ －１２
（－１ ２，０） ０ （０，２ ３） ２３
（２ ３，１）
ｆ′（ｘ） － ０ ＋ ０ －
ｆ（ｘ） ｆ（－１ ２） ? 极小值? 极大值?
由ｆ（－１ ２）＝３８
＋ｂ，ｆ（２ ３）＝４
２７＋ｂ，∴ｆ（－１ ２）＞ｆ（２ ３），
即最大值为ｆ（－１ ２）＝３８
＋ｂ＝３ ８，∴ｂ＝０． ……（４分）
（Ⅱ）由ｇ（ｘ）≥ －ｘ２＋（ａ＋２）ｘ，得（ｘ－ｌｎｘ）ａ≤ｘ２－２ｘ．
∵ｘ∈［１，ｅ］，∴ｌｎｘ≤１≤ｘ，且等号不能同时取，∴ｌｎｘ＜ｘ，即ｘ－ｌｎｘ＞０
∴ａ≤ｘ２－２ｘ
ｘ－ｌｎｘ恒成立，即ａ≤（ｘ２－２ｘ
ｘ－ｌｎｘ）ｍｉｎ． ……（６分）
令ｔ（ｘ）＝ｘ２－２ｘ
ｘ－ｌｎｘ，（ｘ∈［１，ｅ］），求导得，ｔ′（ｘ）＝（ｘ－１）（ｘ＋２－２ｌｎｘ）
（ｘ－ｌｎｘ）２ ，
当ｘ∈［１，ｅ］时，ｘ－１≥０，０≤ｌｎｘ≤１，ｘ＋２－２ｌｎｘ＞０，从而ｔ′（ｘ）≥０，
∴ｔ（ｘ）在［１，ｅ］上为增函数，∴ｔｍｉｎ（ｘ）＝ｔ（１）＝－１，∴ａ≤ －１． ……（８分）
（Ⅲ）由条件，Ｆ（ｘ）＝ －ｘ３＋ｘ２，　ｘ＜１
{ａｌｎｘ，　　　ｘ≥１，
假设曲线ｙ＝Ｆ（ｘ）上存在两点Ｐ，Ｑ满足题意，则Ｐ，Ｑ只能在ｙ轴两侧，
不妨设Ｐ（ｔ，Ｆ（ｔ））（ｔ＞０），则Ｑ（－ｔ，ｔ３＋ｔ２），且ｔ≠１．
∵△ＰＯＱ是以Ｏ为直角顶点的直角三角形，∴?Ｏ→Ｐ· ?Ｏ→Ｑ＝０，
∴ －ｔ２＋Ｆ（ｔ）（ｔ３＋ｔ２）＝０　　　……（?），
是否存在Ｐ，Ｑ等价于方程（?）在ｔ＞０且ｔ≠１时是否有解． ……（１０分）
①若０＜ｔ＜１时，方程（?）为－ｔ２＋（－ｔ３＋ｔ２）（ｔ３＋ｔ２）＝０，化简得ｔ４－ｔ２＋１＝０，此方
程无解；
②若ｔ＞１时，方程（?）为－ｔ２＋ａｌｎｔ·（ｔ３＋ｔ２）＝０，即１