浙江大学自主招生考试试题

　　家长是孩子zui.好的老师，

　　这是奥数君第932天给出奥数题讲解。

　　今天的题目是概率问题，

　　来自2019年浙江大学自主招生考试，

　　解题所用知识不超过小学5年级。

　　题目(4星难度)：

　　一枚质地均匀的硬币，甲扔硬币2019次，乙扔硬币2018次，则甲正面朝上次数比乙正面朝上次数多的概率是多少?

　　辅导方法：

　　将题目写给小朋友，

　　让他自行思考解答，

　　若20分钟仍然没有思路，

　　再由家长进行提示性讲解。

　　讲解思路：

　　这道题属于概率问题，

　　如果按常规思路计算每种可能性，

　　容易陷入思维的泥潭，

　　很难得到正确答案。

　　注意到对于质地均匀的硬币来说，

　　每一次扔硬币，

　　正面和反面出现的概率是相同的，

　　因此正面和反面朝上存在对称性，

　　这就是本题的突破口。

　　总的解题思路是：

　　定义事件A为甲正面朝上次数多，

　　定义事件B为甲反面朝上次数多。

　　先考虑事件A和B发生的概率之和，

　　再考虑事件A和B发生的概率关系，

　　最后根据概率关系解题。

　　步骤1：

　　先思考第一个问题，

　　考虑事件A和B出现的概率和。

　　甲扔2019次硬币，

　　正面和反面出现次数和是2019;

　　乙扔2018次硬币，

　　正面和反面出现次数和是2018。

　　由于2019比2018大，

　　故如果甲正面朝上次数不大于乙，

　　则甲反面朝上次数一定大于乙。

　　这说明扔硬币的结果只有两种，

　　要么是甲正面朝上次数多，

　　要么是甲反面朝上次数多。

　　即扔硬币结果不是A就是B，

　　因此A和B发生的概率之和是1。

　　步骤2：

　　再思考第二个问题，

　　考虑事件A和B发生的概率关系。

　　由于正面和反面朝上存在对称性，

　　对于事件A来说，

　　如果把所有正面朝上改成反面朝上，

　　把所有反面朝上改成正面朝上，

　　根据对称性，

　　概率依然是不变的。

　　注意到做上述正反面交换后，

　　事件A就变成了事件B。

　　因此A和B发生的概率是相同的。

　　步骤3：

　　综合上述两个问题，

　　考虑原题目的答案。

　　根据步骤1的结论，

　　事件A和B发生的概率之和是1;

　　根据步骤2的结论，

　　事件A和B发生的概率是相同的。

　　因此事件A发生的概率是0.5，

　　所以原题的答案是0.5。

　　注：这种对称性思维，

　　是非常典型的数学思维。

　　思考题(3星难度)：

　　一枚质地均匀的硬币，小明扔硬币2019次，正面朝上次数比反面朝上次数多的概率是多少?

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