用消点法解2020年CMO第4题
一年一度的中国数学奥林匹克(即数学冬令营，简称CMO)于11月22日至28日在湖南长沙长郡中学举行。来自全国的近500名数学高手逐鹿中原，大显身手。
昨天和今天早上8：00-12：30进行考试，每天三个题目。6个题目中今天的第4题为几何题。题目如下：
WINTER
锐角△ABC中，AB>AC,M为其外接圆上劣弧BC中点，K为A的对径点。过O作OD//AM交AB于D，交CA的延长线于E。直线BM交直线CK于P。直线CM交BK于Q。
求证：∠OPB+∠OEB=∠OQC+∠ODC
第一步，根据题意画出准确图形。
本题条件比较普通，没有特别的限制，
按条件准确画图就行，没什么难度。
但是要注意图形中EOQ不共线。
第二步：老规矩，先从条件入手，看看图
形中有哪些隐藏的性质。
由M为弧BC中点知AM为∠BAC角平分线，
由OD//AM知∠AED=∠ADE,
由直径知∠ABK=∠ACK=∠AMK=90°,
当然还有OM⊥BC.
其他的似乎就是圆周角相等之类的性质了，
暂时没有发现很好的结论了。
第三步：从证明结果入手。
这个结果还是比较奇怪的，
要证明两个角的和等于另两个角的和，
一定要把角度看清楚，
稍微看走眼就会南辕北辙、误入歧途。
zui.好把这四个角都标记出来，
要证∠OPB+∠OEB=∠OQC+∠ODC
基本思路就是倒角，把这两组角都倒
到某个三角形或者其他图形中。
但是四个角似乎都不好倒出去，
没法直接传递到其他的角。
如果根据四边形内角和，把求证结论等价转化为
∠PBA+∠POE=∠DOQ+∠DCQ,
还是没法传递出去，似乎意义不大。
到这里就陷入了迷茫，分析法好像走不下去了。
第四步，下面只能结合求证，进一步挖掘已知图形的性质了。
直接证明不行，估计要适当添加一些辅助线，
已知中最重要的线显然是直线EO，可以考虑做出整个
直线，这样它与图形下半部分其他线也会相交。
还是希望倒角，我们先关注其中的一个，例如∠OPB,
最常用的倒角技巧当然是通过共圆，
在准确的图形下面，似乎OBPG共圆，其中G为
OE和CK交点。这个倒角不难证明。
这应该是一个重要的结论，因为这样就能把∠OPB和∠OEB
转移到△EBG中，看到了希望!
对称的QNOC共圆，其中N为OE，QB交点。
这样本题就转化为求证∠EBG=∠DCN。
第五步，至此把证明简化了，应该在正确的道路上越走越远了。
然而乱花渐欲迷人眼，
图形太乱了，到了这里就能考虑消点，
就能把无关的P,Q,M及与他们相关的元素消去。
得到下图，
条件变为：已知AK为直径，过O的直线满足AD=AE,
求证：∠EBG=∠DCN。
要证明此两角相等，基本思路是倒角或相似，
但是似乎也都不太容易。
只能进一步挖掘图形性质，
容易发现△BDN∼△CEG,
结合准确的图形，可以大胆猜测，
图形中还有很多等角，
即∠DBG=∠DCG,∠EBN=∠ECN。
由对称性，只需证明第一个，
第六步：
这样就能进一步消去点E，N及相关元素，
简化图形，得到下图：
已知AK为直径，求证∠DBG=∠DCG,
因为没有其他条件了，证明的基本思路当然还是倒角，
考虑到圆周角，所以自然的思路是延长BG，CD交圆于I，J,
下面只需证明IOJ共线即可，而这显然是帕斯卡定理。
这样就能对称的得到另一对等角，从而水落石出，本题得证。
第七步：
最后将证明过程整理好，书写如下：
证明：设DO交CK,BK于G,N。CD,CN,BG,BE交圆于J,T,I,S，
由AK为直径知∠ACK=90°，
由M为弧BC中点知AM为∠BAC角平分线，
结合OD//AM知
∠EGC=90°-∠AED=90°-∠CAM
=90°-∠BAM=∠OBP,
故OBPG共圆。
对称的ONQC共圆。
对圆内接六边形CKABIJ利用pascal定理知IJO共线。
故弧JK=弧IA，故∠DBG=∠DCG。故∠KBG=∠ACD。
对称的，对CAKBST由pascal定理有SOT共线，
故∠EBN=∠ECN。
则∠EBG=∠DCQ。
故∠OGB+∠OEB=∠ONC+∠ODC
即∠OPB+∠OEB=∠OQC+∠ODC。
第八步：简单总结。
综合上面的思考过程，可以看出本题是一个难得的好题。
难度合适，题目新颖，既朴素自然，中规中矩，结果又出人意料，不落窠臼。
证明不太容易入手，四个角度都不好处理转化，然而找到了入手点后，不需要太多过程。
当然本题思路比较多，应该还有更简洁明了的证明方法。
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