广西桂林,崇左,防城港市2013高考一模数学试题答案【文科】
发布于：百学网
2013-04-27
广西桂林市、崇左市、防城港市2013届高考第一次联合模拟考试
数学试卷（文科）
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如果事件A、B互斥，那么 P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）＝P（A）·P（B）
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率（k=0，1，2…，n）
球的表面积公式S＝4R其中R表示球的半径
球的体积公式V＝其中R表示球的半径
一、选择题
1. 已知集合A＝{x｜|x|≤2，x∈R}，B＝{x｜≤2，x∈Z}，则A∩B＝
A. （0，2） B. [0，2] C. {0，2} D. {0，1，2}
2. 如果函数f（x）=sin（>0）的最小正周期为，则的值为
A. 8 B. 4 C. 2 D. 1
3. 函数y=1+2的反函数为y=g（x），则g（5）=
A. 2 B. －2 C. －4 D. 4
4. 设S是等差数列{a}的前n项和，S=3（a+a），则的值为
A. B. C. D.
5. 在正三棱柱ABC－ABC中，已知AB=2，AA=3，则BB与平面ABC所成的角为
A. B. C. D.
6. 下列4个数中，ZD的是
A. lg（lg2） B. （lg2） C. lg D. lg2
7. 已知双曲线x－my=m（m>0）的一条渐近线与直线2x－y+3=0垂直，则该双曲线的准线方程为
A. x= B. x= C. x= D. x=
8. 设（x－b）=b+bx+bx+…+bx，如果b+b=－6，则实数b的值为
A. B. － C. 2 D. －2
9. 在△ABC中，D为BC边上的点，=+，则的最大值为
A. 1 B. C. D.
10. 已知抛物线y=4px（p>0）与双曲线－=1（a>0，b>0）有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
11. 已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=2，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则球O的表面积为
A. 4 B. 12 C. 16 D. 64
12. 在8×8棋盘的64个方格中，共有由整数个小方格组成的大小或位置不同的正方形的个数为
A. 64 B. 128 C. 204 D. 408
第Ⅱ卷
注意事项：第Ⅱ卷共10小题，共90分。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 用简单随机抽样方法从含有300个个体的总体中抽取一个容量为20的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为______。
14. 若cos（－）=，则cos（+2）=________.
15. 若实数x，y满足则z=的最大值为 _______.
16. 已知六棱锥P—ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，且PA=2AB=2，则点A到平面PBC的距离为_______.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17. （本小题满分10分）
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若csinA=acosC，a+b=4（a+b）－8，求c的值。
18. （本小题满分12分）
在某国际高端经济论坛上，前六位发言的是与会的含有甲、乙的6名中国经济学专家，他们的发言顺序通过随机抽签方式决定.
（Ⅰ）求甲、乙两位专家恰好排在前两位出场的概率；
（Ⅱ）求发言中甲、乙两位专家之间恰有1位中国专家的概率.
19. （本小题满分12分）
如图，三棱柱ABC－ABC的侧面AACC与底面ABC垂直，AB=BC=CA=4，且AA⊥AC，AA=AC.
（Ⅰ）证明：AC⊥BA；
（Ⅱ）求侧面AABB与底面ABC所成二面角的余弦值.
20. （本小题满分12分）
已知等差数列{a}的首项a0，前n项和为S，且S+a=2S，等比数列{b}满足b=a，b=a.
（Ⅰ）求证：数列{b}中的每一项都是数列{a}中的项；
（Ⅱ）若a=2，设c=，求数列{c}的前n项和T.
21. （本小题满分12分）
已知函数f（x）=ax+bx－3x（a，b∈R）在x=1处取得极值.
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若过点A（1，m）（m－2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围.
22. （本小题满分12分）
如图，已知椭圆C：+=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F、F，A是椭圆C上的一点，AF⊥FF，O是坐标原点，OB垂直AF于B，且OF=3OB.
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）求t∈（0，b），使得命题“设圆x+y=t上任意点M（x，y）处的切线交椭圆C于Q、Q两点，那么OQ⊥OQ”成立.
【试卷答案】
评分说明：
1. 第一题选择题，选对得分，不选、错选或多选一律得0分.
2. 第二题填空题，不给中间分.
3. 解答与证明题，本答案给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.
4. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
5. 解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
6. 只给整数分数.
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D B B D A D B A D C C C
二、填空题
13. 14. 15. 3 16.
三、解答与证明题
17. （本小题满分10分）
解：由正弦定理得sinCsinA=sinAcosC. 2分
因为0<A<，所以sinA>0.从而sinC=cosC.
又cosC0，所以tanC=1，故C=. 5分
由a+b=4（a+b）－8，得（a－2）+（b－2）=0，则a=2，b=2. 7分
又由余弦定理得c=a+b－2abcosC=8－4， 9分
所以c=. 10分
18. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设“甲、乙两位专家恰好排在前两位出场”为事件A， 1分
则P（A）==. 4分
答：甲、乙两位专家恰好安排在前两位出场的概率为. 5分
（Ⅱ）设“发言中甲、乙两位专家之间恰有1位中国专家”为事件B，
则P（B）==. 10分
答：发言中甲、乙两位专家之间恰有1位中国专家的概率为. 12分
19. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）证明：（1）取AC的中点O，连结OA，OB，BA，则
， 2分
. 4分
∴AC⊥面BOA. 5分
∵BA面BOA，∴AC⊥BA. 6分
（Ⅱ）解法一：∵面AACC⊥面ABC，AO⊥AC，
∴AO⊥面ABC. 7分
过点O作OH⊥AB于H，连结AH，则AH⊥AB，
∴∠AHO为所求二面角的平面角. 9分
在等边△ABC中，OH=，AH=. ∴cos∠AHO==. 11分
∴侧面AABB与底面ABC所成的二面角为arccos. 12分
解法二：以O为坐标原点，OB，OC，OA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 7分
则A（0，－2，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2），
C（0，4，2），设n=（x，y，z）是面AABB的一个法向量，则n⊥，n⊥，
∵=（0，2，2）， =（2，2，0）， 8分
∴ 取x=1，得n=（1，－，）. 9分
易知平面ABC的法向量为m=（0，0，1）， 10分
所以cos<m，n>==. 11分
∴ 侧面AABB与底面ABC所成的二面角为arccos. 12分
20. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设等差数列{a}的公差为d，由S+a=2S，得4a+6d+a+d=6a+6d，
∴a=d. 2分
则a=a+（n－1）d=na，∴ b=2a，b=4a.
等比数列{b}的公比q==2. 4分
则b=2a·2=2·a，∵2∈N，
∴{b}中的每一项都是{a}中的项. 6分
（Ⅱ）当a=2时，b=2，c==2. 8分
则T=c+c+…+c=2=2
=. 12分
21. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）f′（x）=3ax+2bx－3，依题意，f′（1）=f′（－1）=0，
即解得a=1，b=0. ∴f（x）=x－3x. 4分
（Ⅱ）f′（x）=3x－3=3（x+1）（x－1）.
∵曲线方程为y=x－3x， ∴点A（1，m）不在曲线上.
设切点为M（x，y），则点M的坐标满足y=x－3x.因f′（x）=3（x－1），
故切线的斜率为3（x－1）=，整理得2x－3x+m+3=0. 7分
∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线，
∴关于x的方程2x－3x+m+3=0有三个实根. 8分
设g（x）=2x－3x+m+3，则g′（x）=6x－6x，由g′（x）=0，得x=0或x=1.
∴函数g（x）=2x－3x+m+3的极值点为x=0，x=1. 10分
∴关于x方程2x－3x+m+3=0有三个实根的充要条件是g（1）g（0）<0， 11分
即（m+3）（m+2）<0，解得－3<m<－2.
故所求的实数a的取值范围是－3<m<－2. 12分
22. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）解法一：由题设AF⊥FF及F（－c，0），F（c，0），不妨设点A（c，y），
其中y>0，由于点A在椭圆上，有+=1，
+=1，解得y=，从而得到A. 1分
直线AF的方程为y=（x+c），整理得 bx－2acy+bc=0. 2分
由题设，原点O到直线AF的距离为|OF|，即=， 3分
将c=a－b代入原式并化简得a=2b，即a=b.
∴e==.即椭圆C的离心率为. 4分
解法二：点A的坐标为. 1分
过点O作OB⊥AF，垂足为B，易知△FBC∽△FFA，
故=. 2分
由椭圆定义得|AF|+|AF|=2a，又|BO|=|OF|，
所以＝=. 3分
解得|FA|=，而|FA|=，得=.
∴e==.即椭圆C的离心率为. 4分
（Ⅱ）圆x+y=t上的任意点M（x，y）处的切线方程为xx+yy=t. 5分
当t∈（0，b）时，圆x+y=t上的任意点都在椭圆内，故此圆在点A处的切线必交椭圆于两个不同的点Q、Q，因此点Q（x，y），Q（x，y）的坐标是方程组
的解. 6分
（1）当y0时，由①式得y=.代入②式，得x+2=2b，
即（2x+y）x－4txx+2t－2by=0. 7分
于是x+x=，xx=，
yy=·=
==.
若QQ⊥QQ，则xx+ yy=+==0.
所以，3t－2b（x+y）=0.
由，得。 8分
在区间（0，b）内，此方程的解为t=b. 9分
（2）当y=0时，必有x0，
同理求得在区间（0，b）内的解为t=b. 10分
另一方面，当t=b时，可推出xx+ yy=0，从而QQ⊥QQ. 11分
综上所述，t=b∈（0，b）使得所述命题成立. 12分
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数学试卷（文科）
此版本为文字版本，省略了图片，完整版本在最后一页下载参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）＝P（A）·P（B）
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率（k=0，1，2…，n）
球的表面积公式S＝4R其中R表示球的半径
球的体积公式V＝其中R表示球的半径
一、选择题
1. 已知集合A＝{x｜|x|≤2，x∈R}，B＝{x｜≤2，x∈Z}，则A∩B＝
A. （0，2） B. [0，2] C. {0，2} D. {0，1，2}
2. 如果函数f（x）=sin（>0）的最小正周期为，则的值为
A. 8 B. 4 C. 2 D. 1
3. 函数y=1+2的反函数为y=g（x），则g（5）=
A. 2 B. －2 C. －4 D. 4
4. 设S是等差数列{a}的前n项和，S=3（a+a），则的值为
A. B. C. D.
5. 在正三棱柱ABC－ABC中，已知AB=2，AA=3，则BB与平面ABC所成的角为
A. B. C. D.
6. 下列4个数中，ZD的是
A. lg（lg2） B. （lg2） C. lg D. lg2
7. 已知双曲线x－my=m（m>0）的一条渐近线与直线2x－y+3=0垂直，则该双曲线的准线方程为
A. x= B. x= C. x= D. x=
8. 设（x－b）=b+bx+bx+…+bx，如果b+b=－6，则实数b的值为
A. B. － C. 2 D. －2
9. 在△ABC中，D为BC边上的点，=+，则的最大值为
A. 1 B. C. D.
10. 已知抛物线y=4px（p>0）与双曲线－=1（a>0，b>0）有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
11. 已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=2，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则球O的表面积为
A. 4 B. 12 C. 16 D. 64
12. 在8×8棋盘的64个方格中，共有由整数个小方格组成的大小或位置不同的正方形的个数为
A. 64 B. 128 C. 204 D. 408
第Ⅱ卷
注意事项：第Ⅱ卷共10小题，共90分。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 用简单随机抽样方法从含有300个个体的总体中抽取一个容量为20的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为______。
14. 若cos（－）=，则cos（+2）=________.
15. 若实数x，y满足则z=的最大值为 _______.
16. 已知六棱锥P—ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，且PA=2AB=2，则点A到平面PBC的距离为_______.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17. （本小题满分10分）
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若csinA=acosC，a+b=4（a+b）－8，求c的值。
- 1
18. （本小题满分12分）
在某国际高端经济论坛上，前六位发言的是与会的含有甲、乙的6名中国经济学专家，他们的发言顺序通过随机抽签方式决定.
（Ⅰ）求甲、乙两位专家恰好排在前两位出场的概率；
（Ⅱ）求发言中甲、乙两位专家之间恰有1位中国专家的概率.
19. （本小题满分12分）
如图，三棱柱ABC－ABC的侧面AACC与底面ABC垂直，AB=BC=CA=4，且AA⊥AC，AA=AC.
（Ⅰ）证明：AC⊥BA；
（Ⅱ）求侧面AABB与底面ABC所成二面角的余弦值.
20. （本小题满分12分）
已知等差数列{a}的首项a0，前n项和为S，且S+a=2S，等比数列{b}满足b=a，b=a.
（Ⅰ）求证：数列{b}中的每一项都是数列{a}中的项；
（Ⅱ）若a=2，设c=，求数列{c}的前n项和T.
21. （本小题满分12分）
已知函数f（x）=ax+bx－3x（a，b∈R）在x=1处取得极值.
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若过点A（1，m）（m－2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围.
22. （本小题满分12分）
如图，已知椭圆C：+=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F、F，A是椭圆C上的一点，AF⊥FF，O是坐标原点，OB垂直AF于B，且OF=3OB.
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）求t∈（0，b），使得命题“设圆x+y=t上任意点M（x，y）处的切线交椭圆C于Q、Q两点，那么OQ⊥OQ”成立.
【试卷答案】
评分说明：
1. 第一题选择题，选对得分，不选、错选或多选一律得0分.
2. 第二题填空题，不给中间分.
3. 解答与证明题，本答案给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.
4. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
5. 解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
6. 只给整数分数.
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D B B D A D B A D C C C
二、填空题
13. 14. 15. 3 16.
三、解答与证明题
17. （本小题满分10分）
解：由正弦定理得sinCsinA=sinAcosC. 2分
因为0<A<，所以sinA>0.从而sinC=cosC.
又cosC0，所以tanC=1，故C=. 5分
由a+b=4（a+b）－8，得（a－2）+（b－2）=0，则a=2，b=2. 7分
又由余弦定理得c=a+b－2abcosC=8－4， 9分
所以c=. 10分
18. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设“甲、乙两位专家恰好排在前两位出场”为事件A， 1分
则P（A）==. 4分
答：甲、乙两位专家恰好安排在前两位出场的概率为. 5分
（Ⅱ）设“发言中甲、乙两位专家之间恰有1位中国专家”为事件B，
- 2
则P（B）==. 10分
答：发言中甲、乙两位专家之间恰有1位中国专家的概率为. 12分
19. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）证明：（1）取AC的中点O，连结OA，OB，BA，则
， 2分
. 4分
∴AC⊥面BOA. 5分
∵BA面BOA，∴AC⊥BA. 6分
（Ⅱ）解法一：∵面AACC⊥面ABC，AO⊥AC，
∴AO⊥面ABC. 7分
过点O作OH⊥AB于H，连结AH，则AH⊥AB，
∴∠AHO为所求二面角的平面角. 9分
在等边△ABC中，OH=，AH=. ∴cos∠AHO==. 11分
∴侧面AABB与底面ABC所成的二面角为arccos. 12分
解法二：以O为坐标原点，OB，OC，OA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 7分
则A（0，－2，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2），
C（0，4，2），设n=（x，y，z）是面AABB的一个法向量，则n⊥，n⊥，
∵=（0，2，2）， =（2，2，0）， 8分
∴ 取x=1，得n=（1，－，）. 9分
易知平面ABC的法向量为m=（0，0，1）， 10分
所以cos<m，n>==. 11分
∴ 侧面AABB与底面ABC所成的二面角为arccos. 12分
20. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设等差数列{a}的公差为d，由S+a=2S，得4a+6d+a+d=6a+6d，
∴a=d. 2分
则a=a+（n－1）d=na，∴ b=2a，b=4a.
等比数列{b}的公比q==2. 4分
则b=2a·2=2·a，∵2∈N，
∴{b}中的每一项都是{a}中的项. 6分
（Ⅱ）当a=2时，b=2，c==2. 8分
则T=c+c+…+c=2=2
=. 12分
21. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）f′（x）=3ax+2bx－3，依题意，f′（1）=f′（－1）=0，
即解得a=1，b=0. ∴f（x）=x－3x. 4分
（Ⅱ）f′（x）=3x－3=3（x+1）（x－1）.
∵曲线方程为y=x－3x， ∴点A（1，m）不在曲线上.
设切点为M（x，y），则点M的坐标满足y=x－3x.因f′（x）=3（x－1），
故切线的斜率为3（x－1）=，整理得2x－3x+m+3=0. 7分
∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线，
∴关于x的方程2x－3x+m+3=0有三个实根. 8分
设g（x）=2x－3x+m+3，则g′（x）=6x－6x，由g′（x）=0，得x=0或x=1.
∴函数g（x）=2x－3x+m+3的极值点为x=0，x=1. 10分
∴关于x方程2x－3x+m+3=0有三个实根的充要条件是g（1）g（0）<0， 11分
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即（m+3）（m+2）<0，解得－3<m<－2.
故所求的实数a的取值范围是－3<m<－2. 12分
22. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）解法一：由题设AF⊥FF及F（－c，0），F（c，0），不妨设点A（c，y），
其中y>0，由于点A在椭圆上，有+=1，
+=1，解得y=，从而得到A. 1分
直线AF的方程为y=（x+c），整理得 bx－2acy+bc=0. 2分
由题设，原点O到直线AF的距离为|OF|，即=， 3分
将c=a－b代入原式并化简得a=2b，即a=b.
∴e==.即椭圆C的离心率为. 4分
解法二：点A的坐标为. 1分
过点O作OB⊥AF，垂足为B，易知△FBC∽△FFA，
故=. 2分
由椭圆定义得|AF|+|AF|=2a，又|BO|=|OF|，
所以＝=. 3分
解得|FA|=，而|FA|=，得=.
∴e==.即椭圆C的离心率为. 4分
（Ⅱ）圆x+y=t上的任意点M（x，y）处的切线方程为xx+yy=t. 5分
当t∈（0，b）时，圆x+y=t上的任意点都在椭圆内，故此圆在点A处的切线必交椭圆于两个不同的点Q、Q，因此点Q（x，y），Q（x，y）的坐标是方程组
的解. 6分
（1）当y0时，由①式得y=.代入②式，得x+2=2b，
即（2x+y）x－4txx+2t－2by=0. 7分
于是x+x=，xx=，
yy=·=
==.
若QQ⊥QQ，则xx+ yy=+==0.
所以，3t－2b（x+y）=0.
由，得。 8分
在区间（0，b）内，此方程的解为t=b. 9分
（2）当y=0时，必有x0，
同理求得在区间（0，b）内的解为t=b. 10分
另一方面，当t=b时，可推出xx+ yy=0，从而QQ⊥QQ. 11分
综上所述，t=b∈（0，b）使得所述命题成立. 12分
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2013-04-27